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2008年新知杯上海市高中数学竞赛


20 第 6 09年 期 


3  5

一 赘上窗  兄j    竞赛/ 图 - _

20 年新 知杯上海 市高 中数学竞赛  08
说 明 : 答本 试卷 不 得使用 汁算 器 . 解  


离 的平方 和 为 . 当  变 化时 , s的最 小 值 为 
8 正整 数 r使得 集 合 { , , , 0 } . t 12 … 20 8 的 



填 空题 ( 1 第 ~4小题 每 小 题 7分 , 第 

5~8 题 , 小 每小 题 8分 , 6 分 ) 共 0   1 已知 恒 等式  .
4+ a
1  


每一个 n 元 子 集 中都 有 2个 元 素 ( 以 相  可
3   + a4  

3+ a
2  

2+ a

同 )它们 的 和是 2的正 整 数 幂 . , 则  的 最小 
值 是  .  

( +1 +b ( +1 +b ( +1 +   ) l  ) 2  )  
6 ( +1 +b .    ) 4  

二 、 答题 ( 6 ) 解 共 0分   9 (4 ) .1 分 已知数列 {  的通 项 为  a}
a  =1 +2+… +n( - )  EN+ ,  

用 a 、 2 a 、 4表 示 b , 么 , 3= l a、 3 a 3那 b  
● 
  . ........... . ..  一

2 有 一个 1   . 9X1 9的正 方 形 棋 盘 , 中任  从

把 此 数列 中所 有 3的倍 数 依 次 取 出 , 成 一  构

取 两条水 平 线 , 两条 垂直 线 . 围成 的图形 恰好 
是 正方形 的概率 是  3 一 条长 为 4的 线 段 A 在  轴 正 半轴  . B

个 新 的数列 b,  … ,  … . 数列 { } .b , b , 求 b 的 
前 2 项 的和 S . m    1 . 1 ) △ A C 中 , C=a, A: 0 ( 4分 在 B B C   b 以边 A , B为一 边 长 向外作 正 方 形 A E  0 B k,  
为 正方形 A E 的 中心 , 、 分 别 为边 B   BF     C、

上 移动 , 另一 条 长为 2的线 段 c D在 Y轴 正 
半轴 上移 动 . 果这 两 条线段 的 4个 端点 A、 如   B、 D 四 点 共 圆 , 这 个 圆 的 圆 心 轨 迹 是  C、 则 4 已知 a、 正实 数 , EN . 函数  . b是 n- 则
=  

的 中点 . 当  B A 变 化 时 , O + O   C 求 M N
的最大 值 .  

1 . 1 ) A( , ) 示 集 合 { , , 1 (6分 用 n k表 1 2 


;  
.  



n} 不 含 连 续 整 数 的 k元 子 集 的 个 数 . 的   1 .1 ) 2 (6分 在直 角坐 标 平 面上 , 横 、 称 纵 

求 A /k. ( ,) 2   坐标都 是 有 理数 的点 为 有理 点 . 满 足 如 下  求

的最 大值 是 

5 如 图 l 正 方  . ,

形 A C 所 在平 面 与  BD
正方 形 A E 所在 平  BF 面构 成 4 。 5的二 面 角 .   则 异 面 直 线 A 与  C B F所成 角 的大小 为一   6 数 列 {  定 义如 下 : . a}  
aI 1, 2: 3, = n   .  
阁 1  

条件 的最 小 正 整 数 k 每 一 个 圆 周 上 含 有 k :  
个 有理 点 的 圆 , 的 圆 周 上一 定含 有 无穷 多  它
个 有理 点 .  

参 考 答 案 
— —

一  



1.一4 + 3aj一 2a2+ a   3.

在 已知恒 等式 中令  = 一1 得 
b 4= 1一 al+ a2一 n3+ n   4.

a + =2   l  +2(   2 a + —a n=12 … )  ,, .

则它 的前 n项 和 为

.  
一 — —

移 项 整理得 
(4 1 +a(。 ) 2 一1 +a(   — ) I +1+a (     ) 3  +1 )  


7 直 角 坐 标 平 面 上 的 4个 点 /( , )  . 4 12 、 B 3 1 、 ( ,) D( ,) ( ,) C 23 、 40 到直 线 Y: 的距   

( 1 + l 1 +6( +I + 3  + ) b( ) 2    + 。   ) 6( )    +1  ,

中 等 数 学 

I ( +1 [ 一1 (   )   _   ! l J )( ) X +1 + 0 ( 一 +1 +n ( f     ) : 一1 +n ] ) 3 


( +1[ +1   )(   )  +b( l  +1    )+
b ( +1 +b ] ,   )  .  
一 +  

故 (— ) ! 1 n( 一 1+ 2_ I+ 3   1  + ) l  + ) n( ) n ( +   卜  


(f  ̄ (+  nJ / \ 、  ++    , )   √  nb /
2   a = b

(  +1  1 ) +b(  +1 +b ( +1 +b . )   2   ) 3  

当 H仅 当 t   =

时, 七式 等 号成 立 .  

再令  = 一1 得 
b 1= 一4+3Ⅱ1—2n 2+ n3  .
1  3 ‘’ 9   1 0‘
一  '

的大为 ) 最值(    
一  

5?W C  —    ̄C O ■一‘  

2一/  、 2

边长 为 1 l 方 形 有 1。个 , 长 为 2 的I J ! 9 边   的正 方形 有 l  , …边 长 为 l 正方 形  8个 … 9的
有 1 .  个 故正方 形共 有 
,j

不 妨设正方 形 的边 长为 1则  .

cs , )  o  碲 = (
( )  个 .

二 、 l +2,  . 9 :     z . +1    
 

( + )( + )     .葡    
— — — — —   — 一 一  

=  

寸   的概  ¨   ● n O  H > 一   率为    所求 一(  
P=—  2   3 1 x 0x 9 9 旦 ÷  = 一   6 丑u 一 10.     9 ‘   _  _ 2一 十  
,  




A .A+ D-F+ C 菌 +D   F D  +A . +D .A+ C    ? 初     ?   . 一 B 一 A B 一 。 一 A
— — — — —   一 — — …  



0+cs 5 +( )   o  。 一1 +0 4

一  2

3  一 =3  >2 )>1 . .   ( , )  
  女 图+ 一 设 I 口 2 +  心 ,


一  



——  ~

一  丁

‘  

D 一  

£ 

M( Y ( > ,  , )   2 Y>1 . 0 )贝 

因此 , C与 B A F所 成 角的大小 为 
2一  
arcc0  一—  一 ?  

A( 一2, 、   0) 

一 + 

『  ( +2 0 、   ,) 
C( Y一 1 、 0, ) 

6  z n +2 .l, 2 ) (
. 

o( , o v+1 . )   【l   {  l       j MA =l l   MC ,

由题设得 0 + —0 + =(   l   +2    2 ,I 0 + 一口 ) .  
图2  

得 2 +Y = +1. 2      

则数列 {  一n } o   是公 差 为 2的等 差 数 列 ,   首项 为 0 —0 =2 故 0+ 一。 2 . 2 l .   l  = n 于是 ,  
n  =(     1 +… +( 2 I +0 口 一n 一 ) n 一口 ) I  
=2 n一1 +… +2+1 ( ( ) =n n一1 +1  ) ,

故 所求 的轨 迹是一 段 双曲线 , 其方 程 为 



Y =3(    >2 Y>1 . , )  

4.

(  
t  +( n+b t b ) —a  

令 t   “ 则 t 0 且  = . > , 1

S ∑ [(一) 1= ( 一 +)      1+1 ∑ k k 1    
=l   =I  
: 

。  
1  
:  

±  

6  

翌   一 !  2   ±    ± +
2   ’  



n n +2 . (2 )  
.  

一 _   _  
l+  
= 一

『 _  
2 0+b)  ( f
7. 2一 2  

t  +( n+b t+a   ) b

设点 A、 C、 到 直线  —Y=0的距  B、 D
离分 别 为 d 、 , d 、   则  。d 、 d .

t 0时 , = f:一1  ;

20 第 6期  09年
3 一l    
=  
’ 

3  7

上 面每 一 个集 合 都 有 2个 元 素 ( 以相  可
同 )它 们 的和是 2的幂 . { , . , 0   , 故 12 … 20 8 的  每 个 10 3元 子 集 , 含 有 { ,6 3 ,  2 {  0 或 4 1 ,2 l0 4 

d  

:  

l  l 4  

 ̄ +1 /    
( 2  (k )+( 3 + 4 )  一 ) + 3 一1   2  一 ) (k    故 S  =
— — 一 一   一 ~  

中的一个元 素 , 含有前 1 0 个集 I 的某  或   2 0 { 1


个 . 而 , 2个 元 素 ( 以相 同 )它 们 的  从 有 可 ,
综 上所述 , n的最 小 值为 1 0 .   3  0
二 、. 9 显然 ,     n: .  

和是 2的 幂 .  
3   一2   + 1  0 2 4
一  

| +l l }    

‘  

于是 ,3 (0一S   一2 k+(4一S = . ) 2 1 ) 0 

当 : 时 =吾 s3 , 一 . 0   
当 S≠3 0时 ,  
△=2  (O—S (4一S t0  2 一4 3 )1 ) . >

若 “  =3 ( ∈Z , 由 n、 +l 质 , £ t +)则 , 2 互   n 与几+1 中必有 一 个足 3的倍数 .  

当 门 3( =    ∈z ) + 时 
,  

1; )  

解得 2 2一 ̄_ ≤S≤2 +、  /l   2 / /

当 n+1 k H n=3 一1 ∈Z+ 时 , :3 , I 】 k ( )  
3 ( k一 1  k3 )
“3 k


I S=2 1 _ I   2一v / 时. =      

l  



一   —



?  

8+ ̄ 8  /1 5

为2 2一 ̄ 15<3 , 以 , 的最 小 值  /8 0所 S 为2   2一 亏  .

则数 列 { }   中的 连 续 j 项 n : n  ,   、, 、   r z  中有连续 两项 n 。a k 3的倍 数 .   、 3是  
炙, =r , 2 z, =n , 4 6  J 上 6 =(  3 5 6 =0 , I 2 3

8.  03. 1o  

前 先 , n=1 0 , 若   2 取  0
A={ , , : B= 7 1 , ,4 , 5 6 7 ,  1 。8 … 2 }  

6  

l= n   I 6  = n3 . 3 ,2   

C={3 3 , ,9 , 3 ,4 … 3 }  
D = { 0 5 l 2 , , 0 } 1 2 , 0 6 … 20 8 .      



∑ ( . )    + :  
m( m+1 ( m+1 . )2 )  

3  


则 S=AU           BU CU D.
故 l :3+8   SI +7+ 8 9 4=1 0 .   2  0

1 . 图 3 在  O如 ,

容 易验 证 5中 任 意 两 个 ( 以相 同 ) 可 元  素的 和都 不是 2的幂 .   其次 , 明 : 证 集合 { , , , 0 } 每 个  12 … 20 8 的 10   3元子 集 中都 有 2个元 素 ( 以相 同 ) 它  0 可 ,
们 的和 足 2的幂 .  

△ O M 中 , 余  B 由 弦 定 理 得 ( A  记 B
=c  A C=p   , B )
OM  

(  

B3 C      图  M



事实 上 , 集 合 { , , ,  0 } 成 如  把 1 2 … 20 8 分 下 l0   3个 两两不 相 交 的子集 的 并 : 0   { , } { , } { , } { ,4 ,9 2 } 17 ,2 6 ,3 5 ,8 2 } { ,3 ,  
{0 2 } … , 1 ,7 ,2 ,9 , , 1 ,2 , {5 1  {5 3 }…   { l3  { 20 8 ,4 , 0 } 3 ,3 ,4  0 } {1207 , 0,  
:  

() 2   ( ) 号 _  ? 卢    .    - g
2 2



+ 



 

( 一       i)

{2 206 , ,20 3 1 2 } 4 , O } … { 0 , 0 5 ,    
{ ,6 3 . 0 4 . 4 l ,2 1 2 :    

= 

+ 一 op  s .     。 + ip 警c    s “ n   ?
+  一

在△ A C中, B 由余 弦定 理 及正 弦  理得 

3  8

中 等 数 学 

。   —   。 卢:— —
敞 O M 
:  

, 。 朋    :b i c.   “ ,‘ L? s    n

点 P( ,  ( =12 3 , 。 ,) i ,,) 圆心 C ( Y )   。   。.   由于 线段 P。  P P P 、    的垂 直 平 分 线 过 

一 +   一 1 Ⅱ +C 一b )   i     +一   (    2  2 + (z 。+ )  C “  
一   一





圆心 C  则 

b 2
:  



+_ + 4 _  
+  +  

m   jC    
_

f-(半 )"  - ) (YY +-(半 - ylo (XX 0 z - 1I0 '   2   【-(  )3 一 ) (Y) +- 半 一 Ylo (; 3 - XI   [   o   .
由于  、 (   i=1 2 3 都 是 有 理 数 , ,,) 因  此 ,一 关 于 ‰ 、。的二 元 一 次方 程 组 的 解  一述 I Y

= 

1 。 +b (2 2

2 o c + s   以cs )   i c   n

=一    。    n 一c   ) : 2 +   + (i c—csc)  一+一 s  ‘ o 。  
:  + 72 1 ,

( ,, 都是有 理数 , C 是有 理点 .  。))   即 。  
设 有理 点  ( … 的坐标 为    Y)
f,  0   3  ( 一, ( 3 I ,    = +Ⅱ ( 一 ) J Y 一Y ) )   】 
【, (   3  { +n ( 3 I , y =Y +b ( 一 )   ) )   Y 一y ) J 

+ + a s (  4  .     b i c- 5 ) n ‘一4 o ’    

同理 , N :( O 2  2 / + +    
所以,   C=15时 , 3。  

s ( 4o. i c一 5) n  

其 = = (4 . 中 客    n —. =5 ) .  
则1 C l      


c 、 ++n(+6    = 等 6 号 )   = 。 ,
( x  o +  

[  3  o 一6( 3 o]   0( 一 )   y 一Y) +
[  3  0 +口 ( 3   ] 6 ( 一 )   Y 一) )  0

故 ( M +O …  O N)
=  +   +  



( j I [ 一 ) +(3 。 ] n +c )(  ,       Y 一Y )    
( 一 J  3  【 +( 3  o =l 3 o   ) Y一 )     PCl  .



故 点 J ( =4 5 … ) 在 o  的 圆 周  P  ,   ,, 都 C, 即④ C  的圆周上 有无 穷 多个 有理点 .   其次 , 构造 一 个 圆 周 上 只 禽 有两 个 有理  点 的实例 .  
G: 一 ) +(   ) (     Y一  :6    .

1 . 然 , ( 1 =n  1   1 , n,) .
∈Z+ 七 , . <2 , ≥2 H   k一1 0    ‘ H,
/(l =0  i ,’  ) .

E Z+, ≥ 2 且 凡≥2     , k一1时 , 设  }  n , ,  是 { , , , 中不 含连 续 整  n , ! … n } 12 … 凡}

容 易验证 , ( , ) P ( , ) 在  P。 一1 1 、   1 一1 都 圆周 C上 . 圆周 C 还 有不 同于 P.P 的  若   、  有理 点 P ( , )则  ,  , ,  ,
( 一 )  ,    +( ,   ) =6  y一 。 ,

数 的  元子 集 , “ <Ⅱ <… <( . 且 l 2 z   
贝 { l n —1 n —2 … ,  一( 一1 } 0Ⅱ,2 , 3 , Ⅱ   )   是 {,, , l2 … 凡一( 一1 }   ) 的  元 子集 .  

I n , 2 … ,   与 { I —1 —2    ln , n } f , z  2 ,  3 ,


即 ; ; 2 2 (, , .   +Y 一 =     +))   
因为左 端 为有理数 , 2 √ 为无 理 数 , 以 , 所  
3 3=0 进 而  = 1 故  3: ±1 Y   +Y . . , 3=



0 一( 一1 }     )一

对应 , 以 , 所  

A n )   一 川 . ( , = (    

1. 2 首先 证 } : 一个 圆 的 圆周 含有 3 J I若 j 个  有理 点 , 该圆 周上 一 定 含有 无 穷 多 个有理  则 点.   设平 面 E④ C  的 圆 周 E含 有 3个 有理 

T 1这 与 P 不 同于 P,P -. , 、  的假 定矛 盾 .  


综 上 所述 , 的最小 值为 3    . ( 熊 斌 顾 鸿 达  刘鸿 坤  李 大 元 

叶 声扬

命题)  


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