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全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲 平面几何中的几个著名定理


第十九讲 平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量, 几千年来, 人们对几何学进行了深入的研究, 现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支. 人们从少量的公理出 发,经过演绎推理得到不少结论,这些结论一般就称为定理.平面几何中 有不少定理,除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理, 以这些定理为基础,可以推出不少几何事实,得到完美的结论,以至巧妙 而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身,给我们许多有价值的数 学思想方法,对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及 其引伸出的结论体现了数学的美, 使人们感到对这些定理的理解也可以看 作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理. 1.梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus,约公元 100 年,他和斯巴达的 Menelaus 是两个人)曾著 《球面论》 着重讨论球面三角形的几何性质. , 以 他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中,是 证明点共线的重要定理. 定理 一直线与△ABC 的三边 AB,BC,CA 或延长线分别相交于 X,Y, Z,则 证 过 A,B,C 分别作直线 XZY 的垂线,设垂足分别为 Q,P,S,见 图 3-98.由△AXQ∽△BXP 得

同理

将这三式相乘,得

说明 (1)如果直线与△ABC 的边都不相交,而相交在延长线上,同样 可证得上述结论,但一定要有交点,且交点不在顶点上,否则定理的结论 中的分母出现零,分子也出现零,这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA, 仍然成立. (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立,即“在△ABC 的边 AB 和 AC 上分 别取点 X,Z,在 BC 的延长线上取点 Y,如果

那么 X,Y,Z 共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线. ∠A 例 1 已知△ABC 的内角∠B 和∠C 的平分线分别为 BE 和 CF, 的外 角平分线与 BC 的延长线相交于 D,求证:D,E,F 共线. 证如图 3-99 有

相乘后得

由梅内劳斯定理的逆定理得 F,D,E 共线.

2(戴沙格定理 戴沙格定理) 例 2(戴沙格定理) 在△ABC 和△A′B′C′中,若 AA′,BB′,CC′ 相交于一点 S,则 AB 与 A′B′,BC 与 B′C′,AC 与 A′C′的交点 F,D, E 共线.

证 如图 3-100,直线 FA′B′截△SAB,由梅内劳斯定理有

同理,直线 EC′A′和 DC′B′分别截△SAC 和△SBC,得

将这三式相乘得

所以 D,E,F 共线. 2.塞瓦定理 意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在 1678 年发表了下面的十分有用的定 理,它是证明共点线的重要定理.

定理 在△ABC 内任取一点 P,直线 AP,BP,CP 分别与边 BC,CA,AB 相交于 D,E,F,则

证 如图 3-101,过 B,C 分别作直线 AP 的垂线,设垂足为 H 和 K, 则

由于△BHD∽△CKD,所以

同理可证

将这三式相乘得

说明 (1)如果 P 点在△ABC 外,同样可证得上述结论,但 P 点不能在 直线 AB,BC,CA 上,否则,定理的结论中的分母出现零,分子也出现零, 这时,定理的结论应改为 BD×CE×AF=DC×EA×FB, 仍然成立. (2)塞瓦定理的逆定理也成立,即“在△ABC 的边 BC,CA,AB 上分别 取点 D,E,F,如果

那么直线 AD,BE,CF 相交于同一点.”

设 作直线 CP, 交直线 AB 于 F′, 证 如图 3-102, AD 和 BE 相交于 P, 由塞瓦定理得

所以 F′B=FB, 即 F′与 F 重合,所以 AD,BE,CF 相交于同一点. 塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点.

例 3 求证:三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直 线分别相交于同一点. 证 (1)如果 D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,则

由塞瓦定理的逆定理得中线 AD,BE,CF 共点. (2)如果 D,E,F 分别是△ABC 的内角平分线 AD,BE,CF 与边 BC,CA, AB 的交点,则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线 AD,BE,CF 共点. (3)设 D,E,F 分别是△ABC 的高 AD,BE,CF 的垂足.

(i)当△ABC 是锐角三角形时(如图 3-103),D,E,F 分别在 BC,CA, AB 上,有 BD=ccosB,DC=bcosC,CE=acosc, EA=ccosA,AF=bcosA,FB=acosB, 所以

由塞瓦定理的逆定理得高 AD,BE,CF 共点. (ii)当△ABC 是钝角三角形时,有 BD=ccosB,DC=bcosC,CE=acosC, EA=ccos(180°-A)=-ccosA,

AF=bcos(180°-A)=-bcosA, FB=acosB, 所以

由塞瓦定理的逆定理,得高 AD,BE,CF 共点. (iii)当△ABC 是直角三角形时,高 AD,BE,CF 都经过直角顶点,所 以它们共点. A B C 例 4 在三角形 ABC 的边上向外作正方形, 1, 1, 1 是正方形的边 BC, CA,AB 的对边的中点,证明:直线 AA1,BB1,CC1 相交于一点.

证 如图 3-104.设直线 AA1,BB1,CC1 与边 BC,CA,AB 的交点分别 为 A2,B2,C2,那么 BA2:A2C 等于从点 B 和 C 到边 AA1 的垂线的长度之比, 即

其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1.同理

将上述三式相乘得

根据塞瓦定理的逆定理,得 AA1,BB1,CC1 共点. 3.斯台沃特定理

定理 △ABC 的边 BC 上任取一点 D,若 BD=u,DC=v,AD=t,则

证 过 A 作 AE⊥BC,E 为垂足(如图 3-105),设 DE=x,则有 AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2, (若 E 在 BC 的延长线上,则 v-x 换成 x-v.)于是得

消去 x 得 (u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v),

这就是中线长公式. (2)当 AD 是△ABC 的内角平分线时,由三角形的内角平分线的性质

设 a+b+c=2p,得

这就是内角平分线长公式. (3)当 AD 是△ABC 的高时, AD2=b2-u2=c2-v2. 再由 u+v=a,解得

所以

若设 AD=ha,则

这就是三角形的高线长公式.当 D 在 BC 的延长线上时,用-v 代替 v,同 样可得高线长线公式.

这就是三角形的面积公式.

伦公式

例 5 如图 3-106.在△ABC 中,c>b,AD 是△ABC 的角平分线,E 在 BC 上,BE=CD.求证: AE2-AD2=(c-b)2. 证 为方便起见,设 BD=u,DC=v,则 BE=v,EC=u.由斯台沃特定理得

所以

因为 AD 是角平分线,所以

于是

4.托勒密定理 托勒密(Ptolemy,约公元 85~165 年)是古代天文学的集大成者.一 般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角 线之积),实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒 密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理 如果四边形内接于圆,那么它的两对对边的乘积之和等于它的 对角线的乘积.

证 设四边形 ABCD 有外接圆 O,AC 和 BD 相交于 P,∠CPD=α(图 3- 107).若四边形 ABCD 的四边都相等,则四边形 ABCD 为圆内接菱形,即正 方形,结论显然成立.若四边不全相等,不失一般性,设

∥ BD,于是△ABD≌△EDB,从而 AD=BE.



而 所以

S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDE,



(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα. 由于 ∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC, 所以 AD×BC+AB×CD=AC×BD. 说明 (1)托勒密定理可以作如下推广:“在凸四边形 ABCD 中, AB×CD+AD×BC≥AC×BD. 当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时,等号成立.” 由此可知,托勒密定理的逆定理也成立. (2)托勒密定理的证明方法很多,这里采用的是面积证法.还可采用 相似三角形或余弦定理证明,请读者自行完成.

过 例 6 如图 3-108. A 的圆截平行四边形 ABCD 的边和对角线分别于 P,Q,R,求证: AP×AB+AQ×AD=AR×AC. 证 连结 PQ,PR,QR.在圆内接四边形 APRQ 中,由托勒密定理得 AP×QR+AQ×PR=AR×PQ. 又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以△PQR∽△CAB,于是

设上面的比值为 k,并考虑到 BC=AD,有 QR=k·AB,PR=k·AD,PQ=k·CA,于是可推得

AP×AB+AQ×AD=AR×AC.

例 7 如图 3-109.等边△ABC 内接于△XYZ,A 在 YZ 上,B 在 ZX 上, C 在 XY 上,证明:

证 对四边形 ABXC 运用托勒密定理,得 AX·BC≤BX·AC+XC·AB, 所以 AX≤BX+XC. 同样地 BY≤CY+YA,CZ≤AZ+ZB. 将上述三式相加就得所要证明的不等式. 等号成立的充分必要条件是 X,Y,Z 在△ABC 的外接圆上,但∠ZBX, ∠XCY,∠YAZ 都等于π,因此等号成立只能是 X,Y,Z 分别与 C,A,B 重合的情况. 平面几何中的著名定理, 除了上述所介绍的梅内劳斯定理、 塞瓦定理、 斯台沃特定理、托勒密定理外,还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、 蝴蝶定理、莫莱定理等等.这里,限于篇幅,因此不作讨论. 练习十九 1.已知△ABC 的内角∠B 和∠C 的平分线分别为 BE 和 CF,∠A 的外 角平分线与 BC 的延长线相交于 D.求证:D,E,F 共线.

2.过△ABC 的三个顶点 A,B,C 分别作△ABC 的外接圆的切线,分别 和 BC,CA,AB 的延长线交于 D,E,F.求证:D,E,F 三点共线. 3.在△ABC 的边 BC 上任取一点 D,设∠ADB 和∠ADC 的角平分线分别 交 AB,AC 于 F 和 E.求证:AD,BE,CF 相交于同一点. 4.在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AD⊥BD,DC=3,BC=7,DA=8,求 AB, BD 和 AC 的长.

PA(PA+PC)=PB(PB+PD). 6.设 P 是等边三角形 ABC 所在平面上的任意一点,那么根据 P 落

PC+PA=PB 或 PC+PA>PB.


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