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2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案


2008 年河北省高中数学竞赛试题参考答案
(时间:5 月 18 日上午 8:30~11:30)

一、 选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 1.函数 y ? f ( x ? 2) 的图像过点(-1,3) ,则函数 f ( x) 的图像关于 y 轴对称的图 形一定过点( ) . A (1,-3) B (-1,3) C (-3

,-3) D (-3,3) 答案:B. 2.把 2008 表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( A 4 B6 C 8 D 16 答案:C.

)种.

解: 设 x2 ? y2 ? 2008 ,即 ( x ? y)( x ? y) ? 2008 .2008 有 8 个正因数,分别为 1, 2,4,8,251,502,1004,2008.而且 ( x ? y ) 与 ( x ? y ) 只能同为偶数,因此对 应的方程组为

?2 ?4 ?502 ?1004 2 4 502 1004 ?x ? y ? ? ?2 1004 502 4 2 ? x ? y ? ?1004 ?502 ?4
故 ? x,? 共有 8 组不同的值: (503,501), (?503, ?501), (?503,501), (503, ?501) ; y
(253, 249), (?253, ?249), (?253, 249), (253, ?249) .

3.若函数 y ? log a ? x 2 ? ax ? 1? 有最小值,则 a 的取值范围是( A 0 ? a ?1 答案:C. B 0 ? a ? 2, a ? 1 C 1? a ? 2 D a?2

) .

解:当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 是递减函数,由于 t ? x 2 ? ax ? 1 没有最大值,所以
y ? log a ? x 2 ? ax ? 1? 没有最小值;当 a ? 1 时, y ? loga ? x2 ? ax ? 1? 有最小值等价

于 t ? x 2 ? ax ? 1 有大于 0 的最小值.这等价于 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,因此 1 ? a ? 2 . 4.已知 a ? b, ab ? 1, 则 A 2 2 答案:A. B

a2 ? b2 的最小值是( a ?b

) . D 1

2

C2

第 1 页

共 8 页

t2 ? 2 2 a2 ? b2 解 : 记 a?b ? t , 则 t ? 0 , ( ? ?t? ?2 2 , 当且仅当 t t a ?b t ? 2, 即a ? 6? 2 6? 2 时取等号) .故选 A. ,b? 2 2

5.已知 cos x ? cos y ? 1,则 sin x ? sin y 的取值范围是( A ??1 1? , 答案:D. 解: sin x ? sin y ? t , 设 易得 cos x cos y ? sin x sin y ? 于 ?1 ? cos ? x ? y ? ? 1,所以 ?1 ?
t 2 ?1 s , c 即o 2

) .

B ??2,2?

C ?0, 3 ? ? ?

D

? ? 3, 3 ? ? ?

? x ? y? ?

t 2 ?1 . 由 2

t 2 ?1 ? 1 ,解得 ? 3 ? t ? 3 . 2

6 . 函 数 f ( x) 是 (0, ??) 上 的 单 调 递 增 函 数 , 当 n ? N * 时 , f (n) ? N * , 且
f [ f ( n) ] 3n ? ,则 f (1) 的值等于(

) . C 3 D 4

A 1 答案:B

B 2

解: (用排除法)令 n ? 1 ,则得 f [ f (1)] ? 3 . 若 f (1) ? 1 ,则 f [ f (1)] ? f (1) ? 3 ,与 f (1) ? 1 矛盾; 若 f (1) ? 3 ,则 f [ f (1)] ? f (3) ? 3 ,与“ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增”矛盾; 若 f (1) ? 4 ,则 f [ f (1)] ? f (4) ? 3 ,也与“ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增”矛盾. 故选 B. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,满分 54 分) 7.设集合 S ? ?1 2 ?, ? , A ? ?a1,2,3? 是 S 的子集,且 ? a1,a2,a3 ? 满足: ,, 15 a a

1 ? a1< a2 < a3 ? 15 , a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的子集的个数为
答案:371.



解: 2 ? a2 ? 9 时,a1, a2 ? 有 C92 种选择方法, a3 有 6 种选择方法, 当 所以 ? a1 , a2 , a3 ? ?
2 共有 6 ? C9 ? 216 种选择方法;当 10 ? a2 ? 14 时,一旦 a2 取定, a1 有 a2 ? 1 种选择

第 2 页

共 8 页

方 法 , a3 有 15 ? a2 种 选 择 方 法 , 所 以 选 择 ? a1 , a , a 2

?3 的

方 法 有

a2 ?10

? ?a

14

2

? 1??15 ? a2 ? ? 9 ? 5 ? 10 ? 4 ? 11? 3 ? 12 ? 2 ? 13 ?1 ? 155 种.

综上,满足条件的子集共有 371 个. 8. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 1 ? 2 1 ? an (n ? 1,2,?) , an =___ 则 答案: an ? n 2 ? 1 . 解:由已知得 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 2 1 ? an ? 1 ? ( an ? 1 ? 1) 2 ,且 an ? 1 ? 0 . 所以 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1 ,即{ an ? 1 }是首项、公差均为 1 的等差数列,所以 .

an ? 1 =n,即有 an ? n 2 ? 1 .
9.已知坐标平面上三点 A ? 0, 3? , B ? 3, 0 , C 且 PA ? PB ? PC ,则 P 点的轨迹方程为 答案: x 2 ? ? y ? 1? ? 4
2

?

? ?

3, 0 , P 是坐标平面上的点,

?



? y ? 0? .
A

解:如图,作正三角形 PCD ,由于 ?ABC 也是正三角形,所以 可证得
?ACP ≌ ?BCD ,所以 BD ? AP .

又因为 BD ? PB ? PC ? PB ? PD ,所以点 B, P, D 共线.
?CBP ? ?PAC , 所 以 P 点 在 ?ABC 的 外 接 圆 上 , 又 因 为
B C

PA ? PB PA PC , ? ,所以所求的轨迹方程为

P

D

x 2 ? ? y ? 1? ? 4
2

? y ? 0? .


SA SB SC AB BC AC 10. 在三棱锥 S ? ABC 中, ? 4 , ? 7 , ? 9 , ? 5 , ? 6 , ? 8 . 则

三棱锥 S ? ABC 体积的最大值为 答案: 8 6 . 解:设 ?SAB ? ? ,根据余弦定理有 cos ? ?

SA2 ? AB 2 ? SB 2 42 ? 52 ? 72 1 ? ?? , 2 ? SA ? AB 2? 4?5 5

故 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 2 6 , S?SAB ? ? SA ? AB sin ? ? 4 6 .由于棱锥的高不超 2 5

1 过它的侧棱长,所以 VC ? SAB ? S ?SAB ? BC ? 8 6 .事实上,取 SB ? 7 , BC ? 6 且 3
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CB ? 平面SAB 时,可以验证满足已知条件,此时 VSABC ? 8 6 ,棱锥的体积可以

达到最大. 11. 从 m 个男生,n 个女生( 10 ? m ? n ? 4 )中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同.如果 A 的概 率和 B 的概率相等,则(m,n)的可能值为 答案:(10,6). 解: P ? A? ?
2 2 Cm ? Cn C1 C1 2 2 1 1 , P ? B ? ? m2 n ,由于 P ? A? ? P? B? ,所以 Cm ? Cn ? CmCn , 2 Cm? n Cm? n
2



整理得 ? m ? n ? ? m ? n .即 m ? n 是完全平方数,且 9 ? m ? n ? 19 ,因此

?m ? n ? 9 ?m ? n ? 16 ?m ? 6 ?m ? 10 ,? ,解得 ? (不合条件) ? , . ? ?n ?3 ? n?6 ?m ? n ? 3 ? m ? n ? 4
所以 ? m, n? ? ?10,6? .

? ? ??? ? 12. O, A, B 是平面上不共线三点,向量 OA ? a , OB ? b ,设 P 为线段 AB 垂直

? ? ? ? ? ? 平 分 线 上 任 意 一 点 , 向 量 OP ? p . 若 | a |? 5, | b |? 3 , 则 p ? (a ? b ) 的 值 是
____ 答案:8. ____.

??? ???? ??? ? ? 解:如图, QP 是线段 AB 的垂直平分线, OP ? OQ ? QP ,
???? 1 ? ? ??? ??? ? ? OQ ? a ? b , QP ? BA , 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? p ? (a ? b ) ? (OQ ? QP) ? BA ? OQ ? BA ? QP ? BA

P

?

?

A

Q O B

? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? ? a ?? ? ? b ? ? ? 8 . 2 2 三、解答题(本大题共 5 小题,每题的解答均要求有推理过程,13 小题 10 分,17 小题 14

?

?

分,其余每小题 12 分,满分 60 分)

13. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 ,求所有可能的整数 c,使 得 c ? 9ab . 解:由 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 得 a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ,所以 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 , 由此得到 a ? b ? 1 . 1 4 又因为 (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ,故 1 ? a ? b ? .………………………4 分 4 3

第 4 页

共 8 页

4 又因为 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) , 令 t ? a ? b ? (1, ) 则 ab ? t 2 ? t .……………6 分 3 4 当 t ? 1 时, t 2 ? t 关于 t 单调递增,所以 0 ? ab ? , 0 ? 9ab ? 4 . 9 因此 c 可以取 1,2,3. …………………………………………………………………10 分

14.如图,斜三棱柱 ABC? A1 B1C1 的所有棱长均为 a ,侧面

B1C1CB ? 底面 ABC ,且 AC1 ? BC .
(1) 求异面直线 AA 与 B1C1 间的距离; 1

A1 C1

B1
(2) 求侧面 A1 B1 BA 与底面 ABC 所成二面角的度数. 解: (1)如图,取 BC 中点 D,连 AD, C1D . A

B1
B

C

AD ? BC ? ? ? BC ? 平面ADC1 ? C1 D ? BC . AC1 ? BC?
? 平面B1C1CB ? 底面ABC ,

A1

C1

B1
A C D B O E

∴ C1D ? 平面ABC. 由 AD ? BC知AD ? 平面BB1C1C .……………4 分

AA ∥ CC1 ? AA1 ∥平面 BB1C1C . 1
所以异面直线 AA 与 B1C1 间的距离等于 AD ? 1

3 a .……………6 分 2

(2)如图, 过B1作B1O ? BC, 交BC于O, 则B1O ? 底面ABC.

过O作OE ? AB, 交AB于E, 连B1E. 则?B1EO与所求二面角的平面角互补.………………………………..……8 分
3 a B1O 3 a 3 B1O ? C1 D ? a, OB ? , OE ? a.tan ?B1EO ? ? 2 ? 2. 2 2 4 OE 3 a 4

?B1EO ? arctan 2.所以二面角的度数为? ? arctan 2 .……………………12 分
15.设向量 i, j 为直角坐标平面内 x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量
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? ? a ? ( x ? 2)? y j , b ? ( x ? 2)? y j ,且 ? a ? ? ? b ?? ? . i i
(1)求满足上述条件的点 P( x, y) 的轨迹方程;

1 2 ,) 0 0 (2) A(?, (,) F 设

, 问是否存在常数 ? (? ? 0) , 使得 ?PFA ? ??PAF

恒成立?证明你的结论. ? ? 解: (1)由条件 ? a ? ? ? b ?? ? 可知: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 .
y2 ? 1( x ? 0) .…………………4 分 由双曲线定义,得点 P 的轨迹方程: x ? 3
2

? ( 2 ) 在 第 一 象 限 内 作 PF ? x轴,P点坐标为(2,3) , 此 时 ?PFA ? 9 0 ,

?PAF ? 45?. ? ? 2 .…………………………………….………………….……6 分

以下证明当 PF 与 x 轴不垂直且 P 在第一象限时, ?PFA ? 2?PAF 恒成立.

kPA ?

y1 y 2kPA 2( x1 ? 1) y1 , kPF ? 1 ,则 tan 2?PAF ? ? . 2 x1 ? 1 x1 ? 2 1 ? (kPA ) ( x1 ? 1)2 ? y12
y2 ? 1 ,得 y12 ? 3( x12 ? 1) ? 3( x1 ? 1)(x1 ? 1) . 3

由 x2 ?

代入上式并化简得 tan 2?PAF ? ?

y1 y , tan ?PFA ? ?k PF ? ? 1 . ……10 分 x1 ? 2 x1 ? 2

即 tan 2?PAF ? tan ?PFA,所以?PFA ? 2?PAF.

由对称性知,当 P 在第四象限时,同样成立. 故存在常数 ? ? 2 ,使得 ?PFA ? 2?PAF 恒成立.………………….………12 分 16.在数列 ?an ? 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an?2 ? an?1 ? an . (1)若 a15 ? 2 , a16 ? ?1 ,求 a2008 ; (2)证明:从 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列. 解: (1)∵ a15 ? 2 , a16 ? ?1 , a17 ? 3 , a18 ? 4 , a19 ? 1 , a20 ? 3 , a21 ? 2 ,

a22 ? 1 , a23 ? 1 , a24 ? 0 , a25 ? 1 , a26 ? 1 , a27 ? 0 ,……
∴自第 22 项起,每三个相邻的项周期地取值 1,1,0,故 a2008 =1.……4 分 (2)首先证明数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.假设 ?an ? 中没有零项,
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由于 an?2 ? an?1 ? an ,所以. n ? 3 时,都有 an ? 1 .……………………6 分 当 an?1 ? an 时, an?2 ? an?1 ? an ? an?1 ? 1( n ? 3 ) ; 当 an?1 ? an 时, an?2 ? an ? an?1 ? an ? 1 ( n ? 3 ) , 即 an?2 的值要么比 an ?1 至少小 1,要么比 an 至少小 1.…………………8 分
? a2 n ?1 令 bn ? ? ? a2 n +2 (a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ) (a2 n ?1 ? a2 n ? 2 )

, n ? 1, 2,... ,则 0 ? bn?1 ? bn ? 1 .

由于 b1 是确定的正整数,这样下去,必然存在某项 bk ? 0 ,这与 bk ? 0 矛盾, 从而 ?an ? 中必有零项.……………………………………………………….……10 分 若第一次出现的零项为 an ,记 an?1 ? M (M ? 0) ,则自第 n 项开始,每三个
? an ? 3 k ? 0 ? 相邻的项周期地取值 0, M , M ,即 ? an ?3k ?1 ? M , k ? 0,1, 2... ?a ? n ?3k ? 2 ? M

所以数列 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12 分 17. 设定义在[0,2]上的函数 f ( x) 满足下列条件: ①对于 x ? [0, 2] ,总有 f (2 ? x) ? f ( x) ,且 f ( x) ? 1 , f (1) ? 3 ; ②对于 x, y ? [1, 2] ,若 x ? y ? 3 ,则 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y ? 2) ? 1. 证明: (1) f (
1 2 ) ? n ? 1 ( n ? N * )(2) x ? [1, 2] 时, 1 ? f ( x) ? 13 ? 6 x . ; n 3 3

证明:由 f (2 ? x) ? f ( x) 知,函数 f ( x) 图像关于直线 x ? 1 对称,则根据②可 知:对于 x, y ? [0,1] ,若 x ? y ? 1 ,则 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1.……………2 分 设 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? [0,1] . ∵ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 ,
∴ f ( x) 在[0,1]上是不减函数.………………………………………………4 分

第 7 页

共 8 页

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( n ? n ? n ) ? f ( n ? n ) ? f ( n ) ?1 ? 3 f ( n ) ? 2 , 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ∴ f ( n ) ? f ( n ?1 ) ? ? 2 f ( n ? 2 ) ? 2 ? ? ... ? n f ( n ? n ) ? n ? ... ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ? 1 .…………………………………………………………8 分 3 3 3 1 1 (2)对于任意 x ? (0,1] ,则必存在正整数 n ,使得 n ? x ? n ?1 . 3 3 1 1 因为 f ( x) 在(0,1)上是不减函数,所以 f ( n ) ? f ( x) ? f ( n ?1 ) , 3 3 1 2 1 由(1)知 f ( n ?1 ) ? n ?1 ? 1 ? 6 n ? 1 ? 6 x ? 1 . 3 3 3

(1)∵ f (

n ?1

由①可得 f (2) ? 1 ,在②中,令 x ? y ? 2 ,得 f (2) ? 1 ,∴ f (2) ? 1 . 而 f (2) ? f (0) ,∴ f (0) ? 1 ,又 f (
1 1 ) ? f (0) ,∴ f ( n ) ? 1 , n 3 3

∴ x ? [0,1] 时, 1 ? f ( x) ? 6 x ? 1 ..………………………………………12 分 ∵ x ? [1, 2] 时, 2 ? x ? [0,1] ,且 f ( x) ? f (2 ? x) , ∴ 1 ? f (2 ? x) ? 6(2 ? x) ? 1 ? 13 ? 6 x , 因此, x ? [1, 2] 时, 1 ? f ( x) ? 13 ? 6 x .…………………….………….14 分

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