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三角形五心(一)


三角形五心 (一 )
垂心 :三 角形三边上的高的交点。 上 角 角形的垂心在三角形外。 锐角三角形的垂心在三角形内;直 角三角形的垂心在直角顶点 ;钝 ≡

ABC的 三 条高为 AD、 BE、 设Δ
1、

CF,其 中 D、

E、

F为 垂是 ,垂 心为 H。


垂心

ABC的 外接 圆上 。 H关 于 三边 的对称 点 ,均 在 Δ
三 角形 ,且 AH? HD〓 BH? HE〓 CH? HF。

2、

ABC中 ,有 六 组四点共 圆 ,有 三组(每 组 四个)相 似 的直角 Δ
H、
A、 B、

A

3、

C四 点中任 一 点是其余 三 点为顶 点的三 角形 的垂 心(并 称

这样 的四点为 一 垂 心组)。 卜 接 圆是等 圆 。 ABC,Δ ABH,Δ BCH,Δ ACH的 夕 4、 Δ 三 角形任 一 顶 点到垂 心 的距离 ,等 于外 心到对边 的距离 的

5、

2倍 。

6、

ABC的 外心和垂心 ,则 ZBAo=ZHAC,ZABH= 设 O,H分 别为 Δ

zOBC,ZBCo=ZHCAo
7、

圆半径之和 的 2倍 。 锐角 三 角形 的垂 心到三顶 点的距离之和等 于其 内切 圆与外接 锐角 三 角形的垂心是垂足 三 角形 的内心 ;锐 角 三 角形 的内接 三 角形 (顶 点在 原 三 角形的边上)中

,以 垂足 三 角形 的

8、

周长最短 。

内心 :三 角形的内切圆的圆心,即 三角形三个角平分线的交点
1、

?

ABC ABC的 内心 ,则 l为 其 内心的充分不必要条件是:∶ 到Δ 设 I为 Δ
三边的距离相等 。

2、

ABC的 内心 ,则 ZBlC〓 90° +1rzZA。 设 :为 Δ ABC的 外接圆于 ABC内 一 点,Al所 在直线交Δ 设 l为 Δ 内心的充要条仵是 ID〓 DB=DC。
D。

3、

ABC !为 Δ

4、

F;内 切圆半径为 r, ABC的 内心,BC=a,AC〓 b,AB=C,l在 BC、 AC、 AB上 的射影分别为 D、 E、 设 l为 Δ (1)sΔ ABC=pr; (2)F2sΔ ABC/a+b+c; (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p~b,CE=CD=p-C; 刂 令 p口 (1丿⒓ Xa+b+c9, 贝
f△

AI? BIcI° ,abc卩 ρ

5、

心的距离相等;反 之,若 |为 AABC的 ZA平 分 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内 ABC的 内心。 为Δ ABC的 外接圆上)上 的点,且 D卜 DB,则 丨 线 AD(D在 Δ

6、

ABC的 内心,BC=a,AC=b,AB=G,ZA的 平分线交 设 l为 Δ =D1`Dκ 〓tb+c,ra。

BC于

ABC的 外接圆于 D,则 AⅣ KI=AD`Dl K,交 Δ


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