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高中数学必修2第二章知识点+习题+答案


第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1) 平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 0 D C 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平 α 面β等, 也可以用表示平面的平行四边

形的四个顶点或者相对 A B 的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α· C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 · L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );

2

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③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a

α来表示

a

α

a∩α=A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

β∥α

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:
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a∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α互相垂直, 记 作 L⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A组 一、选择题 1.设 , 为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ∥ ,则 l∥m;②若 l⊥m,则 ⊥ .那么( ,m ? ? ,有如下 ).

的两个命题:①若

A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题

B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面 ①m∥ ⊥ n; ③m⊥ ∥n. 其中真命题的序号是( A.①② ). B.③④ C.①④ , n∥ 且 ∥ ,则 m⊥n; , n∥ 且 ∥ , ,有下列四个命题: ,则 m∥n;

(第 2 题)

②m⊥ ,n⊥



⊥ ,则 m

④m∥ ,n⊥



⊥ ,则 m

D.②③

4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . A.1 B.2 ). 内,则 l∥ 内的任意一条直线都平行 ). C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是( ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ②若直线 l 与平面

平行,则 l 与平面
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③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 A.0 个 平行,则 l 与平面 B.1 个 内的任意一条直线都没有公共点 C.2 个 D.3 个 ). D.只有两个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° B.60° ). ). C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 B.3 ). C.2 D.1 ).

10. 异面直线 a, b 所成的角 60°, 直线 a⊥c, 则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 120°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°]

D.[30°,

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别 为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 12.P 是△ABC 所在平面 外一点,过 P 作 PO⊥平面 . ,垂足是 O,连 PA,PB,

PC.

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(1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的

心; 心; 心; 点; 线上.

(3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的 中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中点,将△ABC 沿 DE , EF , DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的度数 为 . J

(第 13 题)

14.直线 l 与平面 值范围 是 .

所成角为 30°,l∩

=A,直线 m∈

,则 m 与 l 所成角的取

15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,

d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为
16.直二面角 -l- ,AC ?

. 的棱上有一点 A,在平面 ,则∠BAC= , . 内各有一条射线 AB,

AC 与 l 成 45°,AB ?

三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-

BC-D 的正弦值;
(3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ,猜想 为何

值时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明)

(第 17 题)

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18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,

EC,EB 和 DB.
(1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

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19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,

SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= .
(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

1 2

(第 19 题)

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱 柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系 参考答案

一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面∩平面=直线 n,

l ? ,m ? ,
且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面不垂直平面 (第 1 题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有无数点 在平面 ABCD 外,但 AA1 与平面 ABCD 相交,①不正确;A1B1∥ 平面 ABCD, 显然 A1B1 不平行于 BD, ②不正确; A1B1∥AB, A1B1∥ 平面 ABCD,但 AB ?平面 ABCD 内,③不正确;l 与平面α平 行,则 l 与 无公共点,l 与平面 内的所有直线 (第 5 题) , ,

都没有公共点,④正确,应选 B. 6.B 解析:设平面 与

过 l1,且 l2∥ ,则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面

的交线 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有

唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而 共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确 了. 9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10.A 解析:异面直线 a , b 所成的角为 60°,直线 c ⊥ a ,过空间任一点 P,作直线

a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’, b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角, 否则 b ’

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与 c ’ 所成的角的范围为(30°,90°],所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30°,90°] . 二、填空题 11. 则 ∴
1 3 2 S1 S 2 S 3 .解析:设三条侧棱长为 a,b,c.

1 1 1 ab=S1, bc=S2, ca=S3 三式相乘: 2 2 2 1 2 2 2 a b c =S1S2S3, 8

∴ abc=2 2 S1 S 2 S 3 . ∵ 三侧棱两两垂直,
1 1 1 ∴ V= abc· = 3 2 3 2 S1 S 2 S 3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°.解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°. 14.[30°,90°].解析:直线 l 与平面 小值,当 m 在 15. 所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最

内适当旋转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°.

6 1 3 1 3 6 .解析:作等积变换: ? ×(d1+d2+d3+d4)= ? ·h,而 h= . 3 3 4 3 4 3

16.60°或 120°.解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. (第 17 题) , 则过点 D 作 DE⊥AD,

解: (2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角, 设∠AOD=

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垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=
3 BD=2 3 , 2 3 DE = , 2 DO 3 . 2

在 Rt△DEO 中,sin =

故二面角 A-BC-D 的正弦值为 (3)当

=90°时,四面体 ABCD 的体积最大.

18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点.∴△

DD1E 为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC.
在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE. 又 EC ? BC ? C , ∴DE⊥平面 EBC. ∵平面 DEB 过 DE, ∴平面 DEB⊥平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO⊥DC 于

O. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, ∵面 ABCD⊥面 D1DCC1 ,
∴EO⊥面 ABCD. 过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F, 连结

EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角 E-DB-C 的平面角.利
用平面几何知识可得 OF=
1 5



(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .
1 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= ( BC+AD )? AB = 2 1+ 1 2 ? 1= 3 , 2 4

1 1 3 1 ∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V= ·SA·M 底面= ×1× = . 4 4 3 3

(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线.

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又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB= SA2+AB 2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BC 2 , = SB 2 2 . 2

(第 19 题)

即所求二面角的正切值为

20*.解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面 积为 10,A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一点 P 作截面

PQR,使 AA1⊥截面 PQR,AA1∥CC1,∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6.
∴V 斜=S△PQR·AA1=
1 ·QR·PO·AA1 2
(第 20 题)

= =

1 ·PO·QR·BB1 2 1 ×10×6 2

=30.

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