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中国古代数学1


中国古代数学史

专题一:萌芽和初创期
? 中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科 学中一门重要学科,其发展源远流长,成就辉 煌。根据它本身的特点,可以分为5个时期, ? 古代史: ? (1) 先秦萌芽时期; ? (2) 汉唐初创时期; ? (3) 宋元全盛时期; ? (4) 西学输入时期; ? 近现代史: ? (5) 近现代数学发展时期。

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一、先秦萌芽时期-算筹制度
? 早在远古时代,人们通过生产和生活的实践活 动,逐渐有了数量概念和认识了各种简单的几 何图形。《易· 系辞》说:“上古结绳而治。后 世圣人易之以书契”。距今约5—6千年的仰韶 文化时期出上的陶器上已刻有表示数目字的符 号,说明此时人们已开始用文字符号取代结绳 记事了。西安半坡村出土的陶器上有直线、三 角、方、菱形等各种对称及一些较复杂的几何 图案,半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。 《史记.夏本记》说夏禹治水时已使用了规、 矩、准、绳等作图和测量工具。农业和天文的 需要促使早期数学知识萌发。

商代中期(约公元前13世纪)
? 出现了甲骨文,其中有十进位制的记数法,共 有13个独立的符号,记数用合文书写,出现的 最大数字为三万。商代人还用10个天干和l 2个 地支组成甲子、乙丑等60个名称来记60天的日 期。到周代(公元前11世纪到公元前3世纪)又将 以前的八卦发展成为六十四封,表示64种事物。 西周初期能用矩测量高、深、广、远,知道勾 股形中的勾三、股四、弦五及环矩为圆等知识。 西周青铜器上的金文数字与商代数字基本一致, 是我们今天文字记数的源泉。此时我国已有整 数和分数的四则运算,《韩诗外传》中还记载 了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事,将会背 诵“九九”乘法表的人当作贵客款待,而这在

春秋战国时期(公元前8世纪- 公元前3世纪)
算筹已得到普遍使用。算筹是一种特制的小竹 棍,也有用木、骨、铁等材料制做的。解放以 后在湖南、陕西、湖北、河北等地均有出土的 实物。算筹式记数法采用10进位值制。 《墨经》(约公元前4世纪)中说“一少子二而多子 五,说在建位”。即一在个位少于二,在十位 就多子五,每个数字的大小除由它本身表示的 数值决定外,还要看它在整个数中所处的位置。 《孙子算经》(约公元4世纪)中对算筹式记数法描 述说:“一纵十横,百立千僵,干、十相望, 万、百相当……”,说明记数有纵横两种形式。 记数时为避免混淆将纵横式交错放置,以空位

二、汉唐初创时期
? 这一时期包括从秦汉一直到隋唐l000多年间的 数学发展,秦汉是封建社会的上升时期,经济、 文化和科学技术都得到迅速发展。中国古代四 人发明之—的造纸术就是东汉形成的,它对数 学教育的发展和数学知识的传播起到不可估量 的作用。雕版印刷术的发明也在这一时期,对 数学的发展同样起了重要作用。中国古代数学 体系正是形成于这个时期,其主要标志是算术 已成为—个专门的学科,以及一大批数学书籍 的出现。

? 《汉书· 艺文志》记载有《杜忠算术》16卷和 《许商算术》2卷,这是最早见于著录的数学 专著,但均已失传。1983年12月在湖北江陵张 家山出土3大批竹简,其中有数学著作《算数 书》。该书抄写于西汉初年(约公元前2世 纪).成书时间应更早,是一部比较完整的,也 是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书 采用问题集形式,共有60多个小标题,90多个 题目,内容包括整数和分数四则运算、比例问 题、面积和体积问题等等。农业生产要求更精 确的历法,约在战国晚期,已有了每年365又 ? 1/4日的“四分历”。

? 随着天文学的发展,数学知识也不断丰 富。《周髀算经》正是在这样的条件下 出现的。《周髀算经》还有较复杂的开 方问题和分数运算,并创造许多数学名 词(如勾、股、弦、开方等),是研究古 代天文学史和数学史的较完整的宝贵文 献。

? 《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系 的形成。它经历了几代人的整理、删补和修订, 约成书于东汉初年。内容采用问题集形式,共 246问,列为九章,分别是方田(各种形状的 田地面积计算)、粟米(各种粮食谷物间按比例 交换)、衰分(按比例分配)、少广(开平方、开立 方)、商功(体积计算问题)、均输(按比例摊派赋 税和徭役)、盈不足(根据两次假设求解问题)、 方程(求解一次方程组)相勾股(有关勾股测量的 各种问题),是战国、秦、汉封建社会创立并巩 固时期数学发展的总结。

主要成就
? 世界上最早的系统分数理论,包括分数的四则 运算和约分、通分、求最大公约数等方法; ? 先进的比例算法,提出从已知三个数求第四个 数的今有术;开平人与开立方的方法,包括二 次方程数值解法,是世界上最早记载这一具体 运算法则的文献,在运算过程中还发展了筹算 的位值制,并开辟了求解数字高次方程的途径; ? 各种面积和体积公式,包括各种直线形以及圆、 环、圆锥、圆台等面积和体积的正确的计算公 式;

? 勾股形解法,包括勾股定理的应用和求 勾股数的方法,以及二次方程的解法等; ? 线性方程组解法,用算筹表示一次联立 方程组,类似于由方程各系数构成的矩 阵,创立遍乘、直除、连减等消元方法, 比西方同类算法要早1500多年; ? 负数概念和正、负数加、减法则,反映 出对意义相反数量的正确理解,实现数 量范围的一次新扩充,在世界数学发展 史上遥遥领先。

《九章算术》的特点
? 它形成了—个以筹算为中心,与古希腊数学完 全不同的独立体系。它注重应朋,内容大多来 自生产和生活实践,理论密切联系实际,对以 后中国数学发展的影响非常深远。 ? 此后一千多年中《九章算术》—直被当作教科 书,隋肩时期还曾传到朝鲜、日本,成为这些 国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进 位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿 拉伯,并通过这些国家传到欧洲,促进世界数 学的发展。

魏晋时期
? 中国数学在理论上有了较大发展。其个赵爽和 刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的 开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行 证明的最早的数学家之一,他约公元3世纪初 对《周髀算经》做了深入研究,为该书写了序, 并作了详细的注释,其中补充的“勾股圆方图 及注”和“日高图及注”是数学史上极有价值 的文献。“勾股圆方图”注文共有530余字, 简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就, 最早给出勾股定理的证明和解勾股形的5个公 式,并对二次方程的解法提出新的见解。“日 高图及注”亦用图形面积证明了汉代普通应用

? 刘徽注释《九章算术》的年代是根据《隋书· 律历志》 确定的,他的注不仅对《九章算术》的方法、公式和定 理进行一般的解释和推导,而且在论述过程中多有创新, 还撰写《重差》作为该书第10卷。 ? 唐初以后,《重差》以《海岛算经》为名单行。他重视 逻辑推理,同时又注意几何直观的作用。主要成就有: 创立割圆术,为圆周率的研究工作奠定了理论基础和提 供了科学的算法。他的基本思想是将圆内接正多边形的 边数不断加倍.使其周长和面积逐渐通近团的周长和面 积,他指出“割之弥细.所失弥少,割之又割,以至于 不可割,则与圆合体,而无所失矣。”他利用这种极限 思想证明了圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆 周率的近似值157/50和3927/1250,其计算程序较古 希腊数学家阿基米德的割圆方法简便;提出用无穷分割 的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1, 解决了一般立体体积的关键问题。

南北朝时期
? 中国长期处于战争和分裂状态,但由于 社会的需要,数学仍在继续发展。《孙 子算经》给出“物不知数问题”,导致 求解一次同余组“N三2(mod 3)三3(mod 5) 三2(mod 7),解答为N=7×2十21×3十 15×2—2×105=23。”该问题与古代历 法中推算上元积年有关,南宋数学家秦 九韶创造“大衍求一术”,完满地解决 了这一问题。

祖冲之父子
? 的工作在这一时期具有代表性,他们在《九章 算术》刘徽注的基础上,将传统数学大大向前 推进了一步,成为重视数学思维和数学推理的 典范。他们同时在天文学上做出突出贡献《大 明历》。 ? 隋朝大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐 初王孝通撰《缉古算经》(约630年),主要是讨 论木土工程中计算土方、工程的分工与验收以 及仓库和地窖的计算问题。

? 唐朝在数学教育方面有了长足发展。656年国子监 设立算学馆,设有算学博士和助教。王孝通等人做 过算学博士。算学馆共招生30人,由太史令李淳风 等人编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的 课本,科举取士还设置明算科.考试内容也从十部 算经中选题。《算经十书》除了巳提到《周髀算 经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算 经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古 算经》外,还有《五曹算经》、《五经算术》和 《缀术》。后来《缀术》失传,南宋时用《数书记 遗》补齐十书。李淳风等人编纂的《算经十书》对 于保存古代数学经典起了重要作用,他们对《周髀 算经》、《九章算术》及《海岛算经》所作的注解 长期为人称道。特别是在《周髀算经》注中,不仅 修改了缺陷,还给出测量中计算的新方法


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