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空间向量法解决立体几何问题全面总结


数学专题二

利用空间向量解决立体几何问题

学习提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。

二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空

间中的角度; 3、求解空间中的距离。

一.引入两个重要的空间向量 引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向 量都称为直线的方向向量 直线的方向向量.如图,在空间直角 直线的方向向量 坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直 线AB的方向向量是 z

uuu r A =(x2 ?x, y2 ?y,z2 ?z1) B 1 1

B A x y

2.平面的法向量 ? 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直 于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α, ⊥ 这时向量n叫做平面 的法向量 平面α的法向量 平面 的法向量.
n

α

? 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢? ? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内 的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话 ⊥ ⊥ ⊥ 说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α. ⊥
n

a α

b

(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:
? 第一步 设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第一步(设 ? 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 ? x1x + y1y + z1z = 0 ? ?x2x + y2 y + z2z = 0 ? 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. ? 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越 好),便得到平面法向量n的坐标.

? 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1

A

A O D C

y

x

B

解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2)
uuur uuuu r 由 OA1 =(-1,-1,2),OD1 =(-1,1,2)

??x ? y +2z = 0 得: ? ??x + y +2z = 0

?x = 2z 解得:? ? y=0

取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).

(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:
? 第一步:写出平面内两个不平行的向量 ? a = (x1,y1,z1), b = (x2,y2,z2), ? 第二步:那么平面法向量为

i n = x1 x2

j y1 y2

k z1 z2

二.立体几何问题的类型及解法 立体几何问题的类型及解法
? 1.判定直线、平面间的位置关系 ? (1)直线与直线的位置关系 ? 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b ⊥
a

a b b

? 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B1 A1

C1

D1

B

A

C

D

? 证明:设 CD= a, CB = b, CC1 = c, ? 依题意有| a |=| b |, ? 于是 BD = CD?CB= a – b ? ∵ CC1 ? BD = c (a – b)= c·a –c·b ? = |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0 ? ∴C C1⊥BD

? (2)直线与平面的位置关系 ? 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L ? α. ? ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ? ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α. ⊥
n a L n a

α L

α

? ? ? ?

例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; A1 (2)AB1 ∥ 平面DBC1
z C1 B1 A E D C x B y

? 解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 ? A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3,2), C1(1,0,2). ? 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 ? x = ?2 z ?x + 2z = 0 ? ? 3 y = 0 解之得 ? y = 0 , ? ? ? 取z = 1得n=(-2,0,1) ? (1) A1E = (2,0,?1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 ? (2) AB1 = (1, 3 ,2) ,而 AB ? n =-2+0+2=0 ? ∴AB1 ∥平面DBC1
1

? (3)平面与平面的位置关系 ? 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ? n α ? n α ? n
1 1

n2

2

β

β

? ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ? ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β

? 例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是 BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD
z A1 B1 C1 D1

E D A F x B C y

? 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐 标系A- xyz, 设:正方体的棱长为2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ) 于是 AE = (2,0,1, AD = (0,2,0) 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 AED n =(x,y,z)
1 ? ?2 x + z = 0 解得:? x = ? 2 z ? ? ? ? 2y = 0 y = 0 ?

取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ∵n1 ·n2 = -2+0+2=0 ∴平面AED⊥平面A1FD

2.求空间中的角
? (1)两异面直线的夹角 ? 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用 再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角 就行了.

? 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z A1 B1 C1 D1

A M

D
C

y

x

B

C

? 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0), 于是: = (?1,?2,0) DB = (2,?2,2) CM 1 设DB1与CM所成角为θ, DB1 CM 与 所成角为α, ∴cosθ =|cosα|
?2+4+0 2 15 = = = 1+ 4 + 0 4 + 4 + 4 5 ? 4 ? 3 30

? (2)直线与与平面所成的角 ? 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量, 设L与α所成的角θ, n与a所成的角α 与 π π ? 则 θ= α或θ= -α 2 2 n a ? a ? θ θ ? ? n
a?n |a?n| |= ? 于是, sin θ =| cos α |=| | a |?| n | | a |?| n | ? 因此 θ = arcsin | a ? n |
| a |?| n |
α α

? 例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ,求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z C1

A1

B1 C O

A B x y

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解:建立如图示的直角坐标系,则 a a a 3 A( 2 ,0,0),B(0, 2 a ,0) A1( 2 ,0,). C(- 2 ,0, 2a) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) a 3 AB = (? , a,0), AA = (0,0, 2a ) 得 2 2 ? a 3 ?x = ?? x + ay + 0 = 0 由? 2 2 ,解得 ? z = 03 y , ? ? 2 az = 0 ? 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0), 设 AC = (?a,0, 2a) 与n夹角为 夹角为α 夹角为 | ?3a + 0 + 0 | 3a 1 而 sin θ =| cos α = = = 2 2 2 3 ? 3a 2 9 + 3 + 0 a + 0 + 2a o ∴ θ = 30 . 故:AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
1

1

? (3)二面角 ? 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法 向量,由几何知识可知,二面角α-L-β的大小 与法向量n1 、n2夹角相等(选取法向量竖坐 标z同号时相等)或互补(选取法向量竖坐标 z异号时互补),于是求二面角的大小可转化 为求两个平面法向量的夹角,这样可避免了 二面角的平面角的作图麻烦.
n1 α n2 β n2 n1

? 例7 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°, 侧棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求 二面角A-SD-C的大小.
z S

y A B x C D

解:建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则 B(1, 0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),S(0, 0,1). ? 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 SC = (1,1,?1), CD = (?1,1,0) 得 ? z ? x = ? ?x + y ? z = 0 2 , 取 z = 2 得 n =(1,1,2). ? , 解得 ? ? 1 z
? ? x + y = 0 ?y = 2 ?

? 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). ? 于是二面角A-SD-C的大小θ满足 1 ? cosθ = cos < n , n >= 1 2 ? ∴二面角A-SD-C的大小为

1 6 = = , 6 1+1+ 4 1+ 0 + 0 6
arccos 6 . 6

3.求解空间中的距离
? (1)异面直线间的距离 ? 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算. n ? 如图,设两条异面直线a、b的公 a A 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n b 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离. ∴ d = | AB ? n |= | AB ? n | , |n| |n| B ? ? 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值. 线的方向向量模的比值

? 例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线AC1与BD间的距离.
z A1 D1

B1

C1

A D

y

x

B

C

? 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面 直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则由AC1 = (1,1,1), BD = (?1,1,0,得 ) z ? x = ? ? ? x + y + z = 0 , 解得 ? 2 ,取 z = 2得 ? ? z ? ? x + y = 0 ?y = ? ? 2 n=(-1,-1,2). ? ? ∵ AB = (1,0,0) , ? ∴异面直线AC1与BD间的距离
| AB ? n | | ?1 ? 0 + 0 | 6 d= = = |n| 6 1+1+ 4

? (2)点到平面的距离 ? A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. ? | AH |=| AB | ? sin θ =| AB | ? | cos < AB, n >| n ? = | AB | ? | AB ? n |
| AB | ? | n |
θ

?

| AB ? n | = |n|

B

H

.

α

? 于是,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值. 的比值

| AB ? n | d= |n|

? 例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°, ? 求B1到面A1BC的距离.
z C1 A1 B1

C A x B y

? 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, 2 ),B(0,1,0),B1(0,1, 2). 设面A1BC的 法向量n=(x,y,z),由 CA 1 = (1, 0 , 2 ), CB = ( 0 ,1, 0 ), 得 ? ? x + 2 z = 0 , 得 ? x = ? 2 z , 取 z = 1 , 得n=(- 2 ,0,1). ? ? y = 0 y = 0 ? ? ? ? ∵ BB1 = (0,0, 2 ) , | BB ? n | | 0 + 0 + 2 | 2 6 d = = = = ? ∴ n 3 2 +1 3 ? 或∵ A1B1 = (?1,1,0) , ? ∴ d = | AB ?n| = | 2 +0+0| = 2 = 6 3 n 2 +1 3 ? 或∵ CB = (0,1, 2 ) , 1 ? ∴ | CB ? n | | 0 + 0 + 2 | 2 6
1

1 1

d=

1

n

=

2 +1

=

3

=

3

? 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无 关.

? 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平 面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. ? 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA 的中点,求PC与平面PED间的距离.
z P

E A B F C

D y

x

解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高 AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F ? 为CD的中点,于是 ? A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 3 ,0), C(2, 2 3 ,0), ? D(-2, 2 3 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). ? 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 ? BE = (?4,0,2), DE = (2,?2 3 ,2), 得 ? n=(1, 3 ,2). ? ∵ PC = (2,2 3,?4) ? ∴n· PC = 2+6-8=0,故PC∥面BED, ? ∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离, ? ∵ EP = (0,0,2) | EP ? n | 4 d= = = 2 ? ∴. |n| 1+ 3 + 4
? 4x + 2z = 0 ? ,得 ? ?2 x ? 2 3 y + 2 z = 0 ? ? x = ? ? ?y = ? ? z 2 ,取 z = 2,得 3z 2

? 空间向量理论引入立体几何中,通常涉及到 夹角、平行、垂直、距离等问题,其方法是 不必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空 建立适当的空 间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向 间直角坐标系,写出相关点的坐标, 量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标 化、符号化、数量化,从而将推理问题完全 转化为代数运算,降低了思维难度,这正是 在立体几何中引进空间向量的独到之处。


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