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5-4第四节 数列求和练习题(2015年高考总复习)


第四节

数列求和

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=
? ?2an ?n为奇数?, ? 则其前 6 项之和是( ? ?an+1 ?n为正偶数?,

)

A.16 C.33

/>
B.20 D.120

解析 ∵a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7, a6=2a5=14,∴S6=1+2+3+6+7+14=33. 答案 C ,若前 n 项和为 10, n+ n+1 1

2.数列{an}的通项公式是 an= 则项数 n 为( A.120 C.11 )

B.99 D.121

n+1- n 解析 由 an= = ? n+ n+1?? n+1- n? n+1- n, 得 a1+a2+…+an=( 2-1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)= 10,即 n+1-1=10,即 n+1=11,解得 n+1=121,n=120. 答案 A a1+a2+…+an ,n∈N*, n

3.若数列{an}的通项为 an=4n-1,bn= 则数列{bn}的前 n 项和是( A.n2
1

) B.n(n+1)

C.n(n+2) 解析

D.n(2n+1)

a1+a2+ …+an= (4×1-1)+ (4×2-1)+ …+ (4n-1)=

4(1+2+…+n)-n=2n(n+1)-n=2n2+n, ∴bn=2n+1, b1+b2+…+bn =(2×1+1)+(2×2+1)+…+(2n+1) =n2+2n=n(n+2). 答案 C

4. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2, 则|a1|+|a2|+…+|a10| =( ) A.66 C.61 B.65 D.56

解析 当 n=1 时,a1=S1=-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5. 即 a2=-1,a3=1,a4=3,…,a10=15. 得|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+ 答案 A
? ?

8?1+15? =2+64=66. 2

?1? 5.(2014· 潍坊模拟)已知 an=?3?n,把数列{an}的各项排列成如下

的三角形状, 记 A(m, n)表示第 m 行的第 n 个数, 则 A(10,12)=( a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 …

)

2

?1? A.?3?93 ? ? ?1? C.?3?94 ? ?

?1? B.?3?92 ? ? ?1? D.?3?112 ? ?

解析 前 9 行共有 1+3+5+…+17=

?1+17?×9 =81(项),∴ 2
? ?

?1? A(10,12)为数列中的第 81+12=93(项),∴a93=?3?93.

答案

A

6.(2014· 青岛模拟)已知函数 f(n)=n2cos(nπ),且 an=f(n)+f(n+ 1),则 a1+a2+a3+…+a100 等于( A.0 C.100 解析 ) B.-100 D.10 200 ∵ f(n) = n2cos(nπ) ,∴ a1 + a2 + a3 + … + a100 = [f(1) + f(2)

+…+f(100)]+[f(2)+…+ f(101)]. f(1)+ f(2)+ …+ f(100)=- 12+ 22- 32+42- …- 992+ 1002= (22 - 12)+ (42- 32)+ …(1002- 992)= 3+ 7+ …+ 199 = 50×?3+199? =5 2

050,f(2)+…+f(101)=22-32+42-…-992+1002-1012=(22-32) + (42 - 52) + … + (1002 - 1012) =- 5 - 9 - … - 201 = 50×?-5-201? 2

=-5 150,∴a1+a2+a3+…+a100=[f(1)+f(2)+…+f(100)]+[f(2) +…f(101)]=-5 150+5 050=-100. 答案 B

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 19 , a5 + b3 = 9 ,则数列 {anbn} 的前 n 项和 Sn =
3

__________. 解析 由条件易求出 an=n,bn=2n-1(n∈N*). ∴Sn=1×1+2×21+3×22+…+n×2n-1,① 2Sn=1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n.② 由①-②,得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n, ∴Sn=(n-1)· 2n+1. 答案 (n-1)· 2n+1

1 2 n 2 8.在数列{an}中,an= + +…+ ,又 bn= , n+1 n+1 n+1 anan+1 则数列{bn}的前 n 项和为__________. n?n+1? 2 n 解析 ∵an= =2, n+1
?1 1 ? 8 ∴bn= =8?n-n+1?. n?n+1? ? ?

∴b1+b2+…+bn
? 1 1 1 1 1 ? 8n =8?1-2+2-3+…+n-n+1?= . ? ? n+1

答案

8n n+1

9.若数列{an}是正项数列,且 a1+ a2+…+ an=n2+3n(n∈ a1 a2 an N*),则 2 + 3 +…+ =__________. n+1 解析 令 n=1,得 a1=4,∴a1=16. 当 n≥2 时, a1+ a2+…+ an-1=(n-1)2+3(n-1). 与已知式相减,得 an=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2. ∴an=4(n+1)2.∴n=1 时,a1 适合 an.∴an=4(n+1)2.
4



an =4n+4. n+1

n?8+4n+4? a1 a 2 an ∴ 2 + 3 +…+ = =2n2+6n. 2 n+1 答案 2n2+6n 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.(2014· 石家庄质检一)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=a4+6,且 a1,a4,a13 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+1,求数列{bn}的前 n 项和. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d≠0. ∵S3=a4+6,∴3a1+ 3×2d 2 =a1+3d+6,解得 a1=3.

∵a1,a4,a13 成等比数列, ∴a1(a1+12d)=(a1+3d)2,解得 d=2. ∴an=3+2(n-1)=2n+1. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n+1(n∈N*). (2)由题意,得 bn=22n+1+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=(23+25+27+…+22n+1)+n 23?1-22n? = +n 1-22 22n+3-8 = 3 +n. 11.已知数列{an}的通项为 an,前 n 项的和为 Sn,且有 Sn=2- 3an. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和.
5



1 (1)∵S1=a1,n=1 时,S1=2-3a1?4a1=2,a1=2;

当 n≥2 时,3an=2-Sn,① 3an-1=2-Sn-1,② an 3 ①-②得 3(an-an-1)=-an,∴4an=3an-1? = . an-1 4 3 1 ∵{an}是公比为4,首项为2的等比数列, 1?3? an=2?4?n-1.
? ?

1?3? (2)∵an=2?4?n-1
? ?

2 3?3?n-1 2 ?3?n ? ? ? ? =3· 4 4 4 =3·
? ? ? ? ?3?2 ?3?n? 2? ?3? ? ?+2· ? ? +…+n· ? ? ?,① Tn=3?1· 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ??

3 4Tn=
?3?3 ?3?n+1? 2? ?3?2 ?1· ? ? +2· ? ? +…+n· ? ? ?,② 3? ?4? ?4? ?4? ?

1 ①-②得4Tn=
?3? ?3?n+1? 2? ?3? ?3?2 ?1· ? ?+? ? +…+? ?n-n· ? ? ?. 3? ?4? ?4? ?4? ?4? ? ?3? ? 3? ? ?1-? ?n? ? ?4? ? ?3?n 8 4? ? ? - n · ∴Tn=3? 3 ?4? 1-4 ? ? ? ?3? ? 8 ?3?n+1 ? ? =8?1-?4?n?-3n· 4 ? ? ?? ? ? ?3? 8 ?3? =8-8?4?n-3n?4?n+1 ? ? ? ?



? ? 1 ? ? ?

6

8 3? ?3? ? ?3? ?8+ n·?=8-? ?n(8+2n). =8-?4?n· 3 4 4
? ? ? ? ? ?

12.(2013· 广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,
* 满足 4Sn=a2 n+1-4n-1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成等比数列.

(1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有a a +a a +…+ <2. anan+1 1 2 2 3 解
2 (1)证明:在 4Sn=a2 n+1-4n-1 中,令 n=1 得 4a1=a2-5.又

an>0,所以 a2= 4a1+5.
2 2 (2)由 4Sn=an +1-4n-1,得 4Sn-1=an-4(n-1)-1,n≥2,两式 2 相减化简得(an+2)2=an +1,n≥2,又 an>0,所以 an+1-an=2,n≥2. 2 又 a2,a5,a14 成等比数列,所以 a2 5=a2a14,即(a2+6) =a2(a2+24),

解得 a2=3,代入(1)解得 a1=1,所以 a2-a1=2,所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 an=2n-1. 1 1 (3)因为 = = anan+1 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? 1 - ? ? 2?2n-1 2n+1?, 1 1 1 所以a a +a a +…+ anan+1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 ? 1? =2?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1?
? ? ?

1 ? 1 1? =2?1-2n+1?<2.
?

7


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