当前位置:首页 >> 数学 >> 第20讲:高频考点分析之三角函数探讨

第20讲:高频考点分析之三角函数探讨


【备战 2013 高考数学专题讲座】 第 20 讲:高频考点分析之三角函数探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对数 学解题方法进行了探讨,从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨。 三角函数是高考数学的必考内容,从题型的角度,高考中三角函数问题主要有以下几种: 1.

同角、和差倍三角函数的应用;

2. 正弦定理和余弦定理的应用; 3. 三角函数的图象和性质; 4. 三角函数的综合问题; 5. 三角函数与其它知识的综合问题。 结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从以上五方面探讨三角函数问题的求解。

一、同角、和差倍三角函数的应用: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? = A. ?

3 ,则 cos 2? = 【 3



5 3

B. ?

5 9

C.

5 9

D.

5 3

【答案】A。 【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。 【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的 正 弦值和余弦值的问题: ∵ sin ? ? cos ? =

3 1 2 ,∴两边平方,得 1 ? sin 2? = ,即 sin 2? = ? 。 3 3 3

∵ ? 为第二象限角,∴因此 sin ? > 0, ? < 0 。 cos ∴ cos ? ? sin ? = ?

? cos? ? sin ? ?2 = ?

2 15 1 ? sin 2? = ? 1 ? = ? 。 3 3
3 ? 15 ? 5 ??? ? 3 ? = 3 。故选 A。 ? 3 ? ?

∴ cos 2? = cos 2 ? ? sin 2 ? = ? cos ? ? sin ? ?? cos ? ? sin ? ? = 例 2. (2012 年全国大纲卷文 5 分)已知 ? 为第二象限角,sin ? =

3 ,则 sin2 ? =【 5



A. ?

24 25

B. ?

12 25

C.

12 25

D.

24 25

【答案】A。 【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。 【解析】∵ ? 为第二象限角,∴ cos ? < 0 。又∵sin ? =

9 4 3 2 =? 。 ,∴ cos ? = ? 1 ? sin ? = ? 1 ? 25 5 5

∴ sin 2? =2sin ? cos ? =2 ? ? ? ?

3 ? 4? 24 。故选 A。 ?= ? 5 ? 5? 25


3 7 ?? ? ? 例 3. (2012 年山东省理 5 分)若 ? ? ? , ? , sin 2? = ,则 sin ? = 【 8 ?4 2?
A

3 5

B

5 4

C

7 4

D

3 4

【答案】D。 【考点】倍角三角函数公式的应用。 【解析】由 ? ? ? , ? 可得 2? ? [ , ? ] , 2 ?4 2? ∵ sin 2? =

?? ? ?

?

3 7 1 ,∴ cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 。 8 8

∴ sin ? ?

1 ? cos 2? 3 ? ,故选 D。 2 4
1 】 ? 4 ,则 sin 2? ? 【 tan ? 1 1 C. D. 3 2

例 4. (2012 年江西省理 5 分)若 tan ? ? A.

1 5

B.

1 4

【答案】D。 【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。 【解析】∵ tan ? ?

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? 4 ,∴ sin 2? ? 。故选 D。 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? 2 sin 2? 2
sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? =【 sin ? ? cos ? 2 4 4 C. - D. 3 3


例 5. (2012 年江西省文 5 分)若 A. -

3 4

B.

3 4

【答案】B。 【考点】二倍角的正切,同角三角函数间的基本关系。 【解析】将等式左边分子分母同 时除以 cos? 得 ∴ tan 2? ?

tan ? ? 1 1 ? ,解得 tan ? ? ?3 。 tan ? ? 1 2

2 ? ? ?3? 3 2 tan ? ? ? 。故选 B。 2 1 ? tan ? 1 ? ? ?3?2 4


例 6. (2012 年辽宁省理 5 分)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π),则 tan ? =【 (A) ? 1 【答案】A。 【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。 【解析】∵ sin ? ? cos ? ? (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

2 ,∴ (sin ? ? cos ? )2 ? 2 。∴ sin 2? ? ?1。

又∵ ? ? (0,? ) ,∴ 2? ? (0, 2? ) 。∴ 2? ? ∴ tan ? ? ?1 。故选 A。 另析: sin ? ? cos ? ?

3? 3? ,即 ? ? 。 2 4

2 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ? sin(? ? ) ? 1 , 4 4 3? ? ? (0,? ) ? ? ? ? tan ? ? ?1 。 4


?

?

例 7. (2012 年辽宁省文 5 分)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π),则 sin 2? =【 (A) ? 1 【答案】A。 【考点】三角函数中的倍角公式。 【解析】∵ sin ? ? cos ? ? (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

2 ,∴ (sin ? ? cos ? )2 ? 2 。∴ sin 2? ? ?1。故选 A。
sin 47? ? sin17? cos 30? =【 cos17?


例 8. (2012 年重庆市文 5 分)

(A) ?

3 3 1 1 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C。 【考点】两角和的正弦函数,特殊角的三角函数值。

【分析】将原式分子第一项中的度数 47° =17° +30° ,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并约 分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值:

sin 47? ? sin17? cos 30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos 30? ? cos17? cos17? ? sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? 1 ? ? sin 30? ? 。 ? ? cos17 cos17 2

故选 C。

? ?? 4 ? 例 9. (2012 年江苏省 5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

?? 4 ?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 6? 5 6? 5 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

例 10. (2012 年广东省文 12 分)已知函数 f ( x) ? A cos( x ? ? ), x ? R ,且 f ( ) ? 2 . 3 4 6 (1)求 A 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?

?
2

], f (4? ?

4? 30 2? 8 ? ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 3 17 3 5

【答案】解: (1) f ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?
4 ? ? ?? ?? 30 15 ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 sin ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 17 ? ?

(2) f ? 4? ?

? ?

2 ? ? ?? 8 4 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ,即 cos ? ? 3 ? 6 6? 5 5 ? ?
∵ ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ? ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 17 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 。 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

∵ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

【考点】特殊角三角函数值,诱导公式,同角三角函数关系式,两角和的余弦公式。 【解析】 (1)将 f ( ) ? 2 代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得 A 的值。 3 (2)先将 f (4? ?

?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? 代入函数解析式,利用诱导公式即可得 sin ? 、 3 17 3 5

cos ? 的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得 cos? 、sin ? 的值,最后利用两角和的余弦公式
计算所求值即可。 例 11. (2012 年福建省理 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; (2)sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; (3)sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos55° . (I)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】解: (I)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin15° cos15° =1- sin30° =1- = 。 2 4 4 3 (II)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= 。证明如下: 4 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) =sin2α+(cos30° cosα+sin30° sinα)2-sinα(cos30° cosα+sin30° sinα) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sinαcosα+ sin2α- sinαcosα- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= 。 4 4 4 【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。 【解析】 (I)选择(2)式,应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。 3 (II)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= 。应用差的余弦公式和同角函数关系 4

式即可证明。

二、正弦定理和余弦定理的应用: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年上海市理 5 分)在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是
2 2 2



A.锐角三角形 【答案】C。

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

【考点】正弦定理和余弦定理的运用。 【解析】由正弦定理,得

a b c ? sin A, ? sin B, ? sin C , 代入得到 a 2 ? b2 ? c 2 。 2R 2R 2R
a 2 ? b2 ? c2 ? 0。 2ab

由余弦定理的推理得 cos C ?

∴C 为钝角,即该三角形为钝角三角形。故选 C。 例 2. (2012 年广东省文 5 分)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC = 【
° °



A. 4 3 【答案】B。

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

【考点】正弦定理的应用。 【解析】由正弦定理得

BC AC 3 2 AC ,即 ,解得 AC =2 3 。故选 B。 ? ? 0 sin 60 sin 450 sin A sin B

例 3. (2012 年湖北省文 5 分)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长为连续的三 个正整数,且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为【 A.4∶3∶2 【答案】D。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用。 【解析】∵ a, b, c 为连续的三个正整数,且 A ? B ? C ,∴ a ? b ? c 。∴ a ? c ? 2, b ? c ? 1①。 又∵已知 3b ? 20a cos A ,∴ cos A ? B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 】

3b ②。 20a

b2 ? c 2 ? a 2 由余弦定理可得 cos A ? ③。 2bc
则由②③可得

3b b 2 ? c 2 ? a 2 ? ④。 20a 2bc

联立①④,得 7c ? 13c ? 60 ? 0 ,解得 c ? 4 或 c ? ?
2

15 (舍去) ,则 a ? 6 , b ? 5 。 7

∴由正弦定理可得, sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5: 4 。故选 D。 例 4. (2012 年湖南省文 5 分) 在△ABC 中, AC ? 7,BC ? 2,B ? 60? ,则 BC 边上的高等于【 A. 】

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B。 【考点】余弦定理、三角形面积公式。 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 2 2

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2c ? 3 ? 0,即(c - 3)(c ? 1)=0 。
2 ?
2

又 c ? 0 ,∴ c ? 3 。 设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?

1 1 AB?BC ? B ? BC ?h ,知 sin 2 2

3 3 1 1 。故选 B。 ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? 2 2 2
例 5. (2012 年北京市理 5 分)在△ABC 中,若 a =2,b+c=7, cos B= ? 【答案】4。 【考点】余弦定理的应用。 【解析】由余弦定理和 a =2, cos B= ?

1 ,则 b= 4



a 2 +c2 ? b2 4+c2 ? b 2 1 1 得 cos B= = =? 。 2ac 4c 4 4
2

4+ ? 7-b ? ? b 2 1 4+c2 ? b 2 1 =? 。 由 b+c=7 得 c=7-b,代入 = ? ,得 4 ? 7 -b ? 4 4c 4
解得,b=4。 例 6. (2012 年北京市文 5 分)在△ABC 中,若 a=3,b= 3 , ?A ? 【答案】

?
3

,则 ?C 的大小为





? 。 2

【考点】正弦定理的应用。

【解析】由已知△ABC 中, a=3,b= 3 , ?A ?

?

3 5? ? ? ? ∴ ?B= ( ?B= 舍去)。∴ ?C=? ? ? = 。 6 6 3 6 2

,根据正弦定理得 sin ?B=

bsin ?A = a

3?

3 2 =1, 3 2

?

例 7. (2012 年湖北省理 5 分) 设△ABC 的内角 A, C, B, 所对的边分别是 a, c.若 ? a +b-c ?? a +b +c ? =ab , b,

则角 C=





【答案】 120? 。 【考点】余弦定理的运用 【解析】由

? a +b-c ?? a +b+c ? =ab 得 ? a +b ?

2

? c 2 =ab ? a 2 +b 2 ? c 2 = ? ab ,

∴根据余弦定理得 cos C =

a 2 +b2 ? c 2 ?2ab 1 = = ? 。∴ C =120? 。 2ab 2ab 2
▲ .

例 8. (2012 年福建省文 4 分) 在△ABC 中, 已知∠BAC=60° ∠ABC=45° BC= 3, AC= , , 则 【答案】 2。 【考点】正弦定理 AC BC AC 3 sin45° 【解析】在△ABC 中,由正弦定理得: = ? = ?AC= 3 = 2。 sin45° sin60° sin45° sin60° sin60°

三、三角函数的图象和性质: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国课标卷理 5 分)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 取值范围是【 】

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的 2 4

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】 A 。 【考点】三角函数的性质。

1 3 ( B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断:

5? 9? , ] ,不合题意,∴排除 ( D) 。 4 4 4 ? 3? 5? ∵ ? ? 1 时, (? x ? ) ? [ , ] ,合题意,∴排除 ( B)(C) 。故选 A 。 4 4 4
∵ ? ? 2 时, (? x ?

?

) ?[

π 5π 例 2. (2012 年全国课标卷文 5 分)已知 ? >0,0< ? <π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin( ? x+ ? )图像的两 4 4 条相邻的对称轴,则 φ=【 π (A) 4 【答案】A。 【考点】正弦函数的性质。 【解析】∵函数 f(x)=sin( ? x+ ? )图像的对称轴是函数取得最大(小)值时垂直于 x 轴的直线, π (B) 3 】 π (C) 2 3π (D) 4

π 5π ∴不妨设 x=4时,f(x)=1;x= 4 时,f(x)=-1。

? ?? ? ? ?? ?? =1 ?sin ? 4 ? ? ? ? =1 ? 4 ? ? ? =2n? + 2 ? ? ? ? ? 则由 ? 得? ,解得 ? ?。 ?sin ? 5? ? ? ? ? = ? 1 ? 5? ? ? ? =2n? + 3? ?? =2n? + 4 ? ? ? 4 ? ? 4 2 ? ? ? ?
∵0< ? <π,∴ ? =

?
4

。故选 A。

例 3. (2012 年上海市理 5 分)设 a n ? 个数是【 A.25 【答案】 D。 【考点】正弦函数的周期性。 】 B.50

1 n? , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,在 S1 , S 2 , ?, S100 中,正数的 sin n 25

C.75

D.100

【解析】∵对于 1 ? k ? 25,ak ? 0(只有 a25 =0 ),∴ Sk ?1 ? k ? 25? 都为正数。 当 26 ? k ? 49 时,令

?
25

? ? ,则

k? ? k? ,画出 k? 终边如右, 25

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) ,

1 1 1 1 1 1 ∴ Sk ? sin ? + sin 2? + ??? + sin 24? +0+ sin 26? + sin 27? + ??+ sin k? 1 2 24 26 27 k
1 1 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? sin ? + sin 2? + ??? + ? ? ? sin 24? + ? ? ? sin 23? + ??+ ? ? ? sin ? 50 ? k ?? 1 2 ? 24 26 ? ? 23 27 ? ? 50 ? k k ?
其中 k =26,27,…,49,此时 0 ? 50 ? k ? k 。 ∵

1 1 ? ? 0 , 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,∴ sin(50 ? k )? ? 0 。 50 ? k k

从而当 k =26,27,…,49 时, S k 都是正数。 又 S50 ? S49 ? a50 ? S49 ? 0 ? S49 ? 0 。 同上可得,对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 S k 都是正数,故选 D。 例 4. (2012 年上海市文 5 分)若 Sn ? sin 数的个数是【 A、16 【答案】C。 】 B、72 C、86 D、100

?
7

? sin

2? n? ? ( n? N ) ,则在 S1 , S2 ,..., S100 中,正 ? ... ? sin 7 7

【考点】正弦函数的周期性和对称性。 【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项:

??? 14 ??? 在 S1 , S2 ,..., S100 中,分成 7 部分 n ? ? i, 2i, , i ??i =1,2 , 7 ? ,加上 S99,S100 。在 7 部分中,
每一部分正数的个数是相同的。 讨论一个周期的情况:

??? 14 如图, n ? ?1, 2, , ? 中,当 n=1, 2, ,时, sin ??? 7

n? ? 0 ,所 7

以 S n 均为正数; n=8,9, , 时, 当 由于正弦函数的性质, S n 也为正数; 知 ??? 12 当 n=13,14 时,由于正弦函数的性质,知 S n 为 0。因此共有 12 个正数。 另 S99 =S1,S100 =S2 为正数。 ∴在 S1 , S2 ,..., S100 中,正数的个数是 12 ? 7+2=86 。故选 C。 例 5. (2012 年天津市文 5 分)将函数 f ? x ? ? sin? (其中 ? >0)的图像向右平移 像经过点(

3? ,0) ,则 ? 的最小值是【 】 4 1 5 (A) (B)1 (C) 3 3

? 个单位长度,所得图 4

(D)2

【答案】D。 【考点】函数 y ? Asin ?x ? ? 的图象变换。 ( ) 【分析】将函数 f ? x ? 的图像向右平移

? ? ? ?? 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? )。 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ∵此时函数过点 ( ,0) ,∴ sin ? ( ? ) ? 0 ,即 ? ( ? ) ? ? k? 。 4 4 2 4 4 4
∴ ? ? 2k , k ? Z 。 又∵ ? >0,∴ ? 的最小值为 2。故选 D。

例 6. (2012 年安徽省文 5 分)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象【



( A) 向左平移 1 个单位

( B) 向右平移 1 个单位

1 (C ) 向左平移 个单位 2
【答案】 C 。 【考点】函数图象平移的性质。

1 ( D) 向右平移 个单位 2

【解析】∵ y = cos(2 x ? 1)= cos 2 ? x ?

? ?

1? ?, 2?

∴只要将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移

1 个单位即可得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象。 故选 C 。 2


??x ? ? 例 7. (2012 年山东省文 5 分)函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为【 ? 6 3?

A 2? 3 【答案】A。

B0

C -1

D ?1 ? 3

【考点】三角函数的值域。 【解析】∵ 0 ? x ? 9 ? 0 ?
3? ? ? x ? 7? , ?? ? ? ? 6 2 3 6 3 6 ?x ? ? ??x ? ? ? ?? ∴当 ? ? 最小,为 2sin ? ? ? = ? 3 ? = ? 时, y ? 2sin ? 6 3? 6 3 3 ? ? 3? ?

?x

? ??x ? ? 时, y ? 2sin ? ? ? 最大,为 2sin =2 。 6 3 2 2 ? 6 3? ??x ? ? ∴函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 2 ? 3 。故选 A。 ? 6 3?


?x ? ?
? =

例 8. (2012 年浙江省理 5 分)把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是【 】

【答案】A。 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1, 向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得:y3=cos(x+1)。 取特殊值进行判断:令 x=0,得:y3>0;x= 故选 A。 例 9. (2012 年湖北省理 5 分)函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的零点个数为【
2

?
2

? 1 ,得:y3=0。比对所给选项即得答案。



A.4 【答案】C。

B.5

C.6

D.7

【考点】函数的零点与方程,三角函数的周期性。
2 【解析】由 f ? x ? =x cos x =0 得 x =0 或 cos x =0 。
2

当 x =0 时, f ? 0 ? =0 ,∴ x =0 是函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的一个零点。
2

当 cos x =0 时,∵ 0<x ? 4 ,∴ 0<x ? 16 。
2 2

∵使余弦为零的角的弧度数为 k? +

?
2

,k ? Z ,∴令 k? + 2 , 2 ,

?
2 ,

? 16 。 2 , 2
均 满 足 条 件 , 当 k =5 时 ,

则 k =0,k =1,k =2,k =3,k =4 时 对 应 角 分 别 为

? 3? 5 ? 7 ? 9 ?
2

11? >16 不满足条件。 2
2

综上所述,函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个。故选 C。 例 10. (2012 年湖北省文 5 分) 函数 f ? x ? =x cos 2 x 在区间 ? 0, 2π ? 上的零点个数为【 A2 B3 C 4 D 5
[来源:21 世纪教育网]



【答案】D。 【考点】函数的零点与方程,三角函数的周期性。 【解析】由 f ? x ? =x cos 2 x =0 得 x =0 或 cos 2 x=0 。 当 x =0 时, f ? 0 ? =0 ,∴ x =0 是函数 f ? x ? =x cos 2 x 在区间 ? 0, 2π ? 上的一个零点。 由 cos 2x ? 0 ,得 2 x ? k? ?

?

2 π 3π 5π 7π 又∵ x ? ? 0, 2π? ,∴ x ? , , , 。 4 4 4 4

? k ? Z ? ,即 x ?

k? ? ? ? k ? Z? 。 2 4

综上所述,函数 f ? x ? =x cos 2 x 在区间[ ? 0, 2π ? 上的零点个数为 1 ? 4 ? 5 个。故选 D。 π 例 11. (2012 年福建省文 5 分)函数 f(x)=sin?x-4?的图象的一条对称轴是【 ? ? π A.x= 4 【答案】C。 【考点】三角函数的图象和性质。 【解析】因为三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点,所以可以把四个选项代入验证,知只有当 x= π B.x= 2 π C.x=- 4 π D.x=- 2 】

π π π π - 时,函数 f?-4?=sin?-4-4?=-1 取得最值。故选 C。 ? ? ? ? 4 例 12. (2012 年湖南省文 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 所示. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】解: (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,∴ ? ? ? 2。 12 12 T 5? 5? 5? ∵点 ( , 0) 在函数图像上,∴ A sin(2 ? ? ? ) ? 0,即sin( ? ? ) ? 0 。 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又∵ 0 ? ? ? ,∴ 。∴ ? ?? ? ? ? =? ,即 ? = 。 6 2 6 6 3 6
又∵点 0,1) 在函数图像上,∴ A sin (

?

6

? 1, A ? 2 。

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ) g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ?

?
6

)。

? ? ? ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ?

? ? ??

1 3 ? cos 2 x) ? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? 2 2 3
? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 。 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

3

? 2 k? ?
? ?

?

2

, 得 k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? ,k ? z 12

∴ g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? 【考点】三角函数的图像和性质。 【解析】 (Ⅰ) 结合图形求得周期 T ? 2(

?
12

, k? ?

5? ? ,k ? z 。 12 ? ?

11? 5? 2? ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 12 12 T

? , A ,从而求出 f ( x) 的解析式。
(Ⅱ)用(Ⅰ)的结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得。 例 13.(2012 年天津市理 5 分)设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R) 为偶函数”的【 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A。 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数奇偶性的判断。 【分析】∵ ? =0 ? f (x)= cos (x+? ) (x ? R) 为偶函数,成立; (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 】

f (x)= cos (x+? )(x ? R) 为偶函数 ? ? =k?,k ? Z ,推不出 ? =0 。
∴“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R) 为偶函数”的充分而不必要条件。故选 A。 例 14. (2012 年山东省文 5 分)设命题 p:函数 y ? sin 2x 的最小正周期为 象 关于直线 x ? A p 为真 【答案】C。 【考点】真假命题的判定,三角函数的周期和对称性。 【解析】∵函数 y ? sin 2x 的最小正周期为

? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图 2

?
2

对称.则下列判断正确的是【 B ?q 为假

】 D p ? q 为真

C p ? q 为假

2? =? ,∴命题 p 为假。 2 ∵函数 y ? cos x 的图象的对称轴为 x=k? ? k ? Z ? ,∴命题 q 为假。
∴ p ? q 为假。故选 C。

四、三角函数的综合问题: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国大纲卷文 5 分)若函数 f ( x) ? sin A.

? 2

B.

2? 3

C.

3? 2

D.

5? 3

x ?? (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,则 ? =【 3



【答案】C。 【考点】偶函数的性质,和的三角函数公式。

【解析】∵函数 f ( x) ? sin 展开,得 sin ? ? 即 ? sin

x ?? ?x ? ? x ?? 。 (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,即 sin = sin 3 3 3

? x ? x ? ? x? ? x? ? ? cos ? cos ? ? ? sin = sin cos ? cos sin , 3 3 3 3 3 3 ? 3? ? 3?

x ? x ? x ? x ? x ? cos ? cos sin = sin cos ? cos sin ,即 2sin cos =0 。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? 3? ∴ cos =0 ,解得 =2k? ? ? ? =6k? ? 。 3 3 2 2 3? 又∵ ? ? [0, 2? ] ,∴ ? = 。故选 C。 2
例 2. (2012 年四川省理 5 分)如图,正方形 ABCD 的边长为1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、

ED 则 sin ?CED ? 【


D C

E

A

B

A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B。 【考点】余弦定理,同角函数关系式。 【解析】∵ AE ? 1 ,正方形 ABCD 的边长为 1 , ∴ ED ?

AE 2 +AD 2 ? 2, EC ? AE 2 +AB 2 ? 5,CD ? 1 。

ED 2 +EC 2 ? CD 2 3 10 ? ∴ cos ?CED ? 。 2ED ? EC 10
∵ ?CDE 为钝角,∴ ?CED 为锐角。 ∴ sin ?CED ? 1 ? cos 2 ?CED ?

10 。故选 B。 10

例 3.(2012 年天津市理 5 分) ?ABC 中, 在 内角 A , , 所对的边分别是 a, b, c , 已知 8b=5c , =2B , C B C 则 cosC =【 (A) 】 (B) ?

7 25

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

【答案】A 。 【考点】正弦定理,二倍角的三角函数公式。

【分析】∵ 8b=5c ,由正弦定理得 8sin B=5sin C 。 又∵ C =2B ,∴ 8sin B=5sin 2B 。∴ 8sin B=10sin B cos B , ∵ sin B ? 0 ,∴ cos B =

例 4. (2012 年湖南省理 5 分)函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? A. ? ?2, 2? 【答案】B。 【考点】三角恒等变换。 B. ? ? 3, ?

4 7 2 , cos C = cos 2 B=2cos B ? 1 = 。故选 A 。 5 25 ?
6 ) 的值域为【
】 C. ? ?1, 1?

3? ?

? 3 3? , D. ? ? ? 2 ? ? 2

【解析】利用三角恒等变换把 f ( x) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ? ? ?1,1? ,求得 f ( x) 的 值域:

? 3 ? ? 3 1 3 3 1 f ? x ? ? sinx ? cos( x ? ) ? sinx ? cosx ? sinx ? sinx ? cosx ? 3 ? sinx ? cosx ? ? 2 ? 6 2 2 2 2 2 ? ?

? ? ?? ? ? ? ? 3 ? cos sinx ? sin cosx ? ? 3sin ? x ? ? 6 6 6? ? ? ?
∵ sin( x ?

?
6

?? ? ) ? ? ?1,1? ,∴ 3sin ? x ? ? ? ? ? 3, ? 6
? ?

? 3? 。

∴函数 f ? x ? ? sinx ? cos( x ?

?
6

) 的值域为 ? ? 3, ?

3 ? 。故选 B。 ?
▲ 。

例 5. (2012 年全国大纲卷理 5 分)当函数 y =sin x ? 3 cos x ? 0 ? x < 2? ? 取得最大值时, x=

5 【答案】 ? 。 6
【考点】三角函数性质的运用。 【解析】求解值 域的问题,首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图 像得到最值点。

?1 ? ? 3 ? ? ?? ? ? y = sin x ? 3 cos x =2 ? sin x ? cos x ? =2 ? cos sin x ? sin cos x ? =2sin ? x ? ? ?2 ? ? 2 3 3 3? ? ? ? ?
∵ 0 ? x < 2? ,∴ ?

?
3

? x?

?
3

<

5? 。 3

?? ? ∵ ?2 ? 2sin ? x ? ? ? 2 , 3? ?

∴当且仅当 x ?

? ?
3 = 2

即 x=

5? 时,函数取得最大值。 6

例 6. (2012 年重庆市理 5 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , cos A ? ,cos B ? 设 且 则c ? 【答案】 ▲

3 5

5 , b ? 3, 13

14 。 5

【考点】同角三角函数的基本关系式,两角和的三角公式,正弦定理的应用。 【分析】∵ cos A ?

3 4 5 12 ,∴ sin A ? 1 ? cos2 A = 。∵ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B = 。 5 5 13 13 56 ∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 。 65 b sin C 14 由正弦定理得, c ? ? 。 sin B 5
的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且

例 7. ( 2012 年 重 庆 市 文 5 分 ) 设 △ ABC 的 内 角 A、B、C

1 a=1, b=2,o s C? ,则 sin B ? c 4
【答案】



源:21 世纪教育网]

15 。 4

【考点】同角三角函数间的基本关系,余弦定理应用,等腰三角形的性质。 【分析】由 C 为三角形的内角,及 cos C 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin C 的值,再由 a 与

b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sin C , c 及 b 的值,利用正弦
定理即可求出 sin B 的值: ∵ C 为三角形的内角, cos C ? 又∵ a=1,b=2, C ? cos
2 1 15 ?1? ,∴ sinC ? 1 ? ? ? ? 。 4 4 ?4?

1 , ∴由余弦定理 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 得:c 2 ? 1 ? 4 ? 1 , 解得:c ? 2 。 4
15 15 ,∴由等腰三角形等边对等角的性质得: sin B ? sinC ? 。 4 4

又∵ b=2 , c ? 2 , sinC ? (或用正弦定理求解)

例 8. (2012 年全国大纲卷理 10 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos ? A ? C ? ? cos B ? 1, a ? 2 c ,求 C 。
【答案】解:∵ A + B + C ? ? ,∴ B ? ? ? ? A + C ? 。 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C ①, ∴ cos ? A ? C ? ? cos B = cos ? A ? C ? ? cos ?? ? ? A ? C ?? = cos ? A ? C ? ? cos ? A ? C ? ? ?

? cos Acos C ? sin Asin C ? cos Acos C ? sin Asin C ? 2sin Asin C 。
由 cos ? A ? C ? ? cos B ? 1 得 2sin Asin C=1 ②。

1 将①代入②,得 4sin 2 C =1 ,∴ sin 2 C = 。 4
∵ C 为三角形的内角且 a ? 2c > c ,∴ 0 < C < ∴ sin C =

?
2



1 ? 。∴ C = 。 2 6

【考点】解三角形的运用,三角形的内角和定理,正弦定理,和与差的三角函数。 【解析】给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好。 先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结合 a ? 2c ,得到两角的二元一次方程组,自然很 容易得到角 C 的值。 例 9. ( 2012 年 全 国 课 标 卷 理 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ,

a c o sC ?
(1)求 A

3 s i n ? b c? 0 a C ?
(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

【答案】解: (1)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ,根据正弦定理得:

sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ,
∵ sin B = sin ?? ? A ? C ? ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C , ∴ sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C 。
0 ∴ 3 sin A ? cos A ? 1 。∴ sin( A ? 30 ) ?

1 。 2
0

∴ A ? 30 ? 30 或 A ? 30 ? 150 (不合题意,舍去) 。∴ A ? 60 。
0 0 0 0

(2)由 S ?
2

1 bc sin A ? 3 得 bc ? 4 , 2
2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? c ? 4 , 解得: b ? c ? 2 。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和与差的三角函数。 【解析】 (1)根据正弦定理可将已知等式化为 sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ,应用和与差的 三角函数变形后可得 sin( A ?

?
6

)?

1 ,从而求出 A 。 2

(2)根据已知和余弦定理,可得关于 b, c 的方程组,求解即可。 例 10. (2012 年全国课标卷文 12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = -ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】解: (1)由 c = 3asinC

3asinC ? cosA ,根据正弦定理,得 c 1 1 1= 3sinA ? cosA ,即 cos300 sinA ? sin300 cosA = , sin A ? 300 = 。 2 2
3asinC-ccosA 得 1=

?

?

∴ A ? 30 ? 30 或 A ? 30 ? 150 (不合题意,舍去) 。∴ A ? 60 。
0 0 0 0 0

(2)由 A ?
2

1 bcsin A ? 3 得 bc ? 4 , 2
2 2

由 a ? b ? c ? 2bccos A 得 b ? c ? 4 , 解得: b ? c ? 2 。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和与差的三角函数。 【解析】 (1)根据正弦定理可将已知等式化为 1= 3sinA ? cosA ,应用和与差的三角函数变形后可得

sin A ? 300 =

?

?

1 ,从而求出 A 。 2

(2)根据已知和余弦定理,可得关于 b,c 的方程组,求解即可。 例 11. (2012 年北京市理 13 分)已知函数 f ? x ? = (1)求 f ? x ? 的定义域及最小正周期; (2)求 f ? x ? 的单调递增区间。 【答案】解: (1)由 sin x=0 解得 x=k? ? k ? Z ? , ∴ f ? x ? 的定义域为 ?x x ? k?,k ? Z ? 。 又∵ f ? x ? =

? sin x ? cos x ? sin 2x 。
sin x

? sin x ? cos x ? sin 2x ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x
sin x = sin x

=2 ? sin x ? cos x ? cos x
k

= sin 2x ?

?? ? 2 1 + c o s x =? 2 ? i n , x ? ?, x ? Z ? k s ? ?2 x 4? ?
2? =? 。 2

∴ f ? x ? 的最小正周期为

?? ? (2)∵ f ? x ? = 2 sin ? 2x ? ?,x x ? k?,k ? Z ? , ? 4? ?
∴根据正弦函数的增减性,得 ?

?
2

? 2k? ? 2x ?

?
4

< 2k? 或 2k? < 2x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,

k ?Z 。
解得 ?

?
8

? k? ? x <

?
8

? k? 或

?
8

? k? < x ?

3? ? k? , k ? Z 。 8

? 3? ? ? ? ?? ? ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ? k?, +k? ? ? ? ? k?, +k? ?,k ? Z 。 8 8 8 8 ? ? ? ?
【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。 【解析】(1)根据分式分母不为 0 的条件,结合正弦函数的零点得出 f ? x ? 的定义域。将 f ? x ? 变形,即可 由求最小正周期的公式求得。 (2)根据正弦函数的增减性,结合 f ? x ? 的定义域,求出 f ? x ? 的单调递增区间。 例 12. (2012 年四川省理 12 分) 函数 f ( x) ? 6 cos
2

?x
2

?

在一个周期内的图象 3 cos x ? 3( ? 0) ? ?

如图所示, A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 5 3 3

【答案】解: (Ⅰ)由已知可得:

f ( x) ? 6cos 2

?x

? 3 cos ? x ? 3 ? 3cos? x ? 3 sin ? x ? 2 3 sin(? x ? ) 2 3

?

又∵正 ?ABC 的高为 2 3 ,∴BC=4。 ∴函数 f ( x) 的同期 T ? 4 ? 2 ? 8 ,即 ∴函数 f ( x) 的值域为 [?2 3, 2 3] 。 (Ⅱ)∵ f ( x0 ) ?

2?

?

? 8 ,解得 ? ?

?
4



?x ? ?x ? 8 3 8 3 4 ,由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3sin( 0 ? ) ? ,即 sin( 0 ? ) ? 。 5 4 3 5 4 3 5

由 x0 ? (? ∴ cos(

10 2 2 , ) 得 x0 ? ? 10,),得 ( ? x 0 ? ? ) ? (? ? , ? ) 。 ( 3 3 3 3 4 3 2 2
?

? x0
4

?

4 3 ) ? 1 ? ( )2 ? 3 5 5

∴ f ( x0 ? 1) ? 2 3sin(

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

? x0

?x ? ? ? ? 4 2 3 2 7 6 。 ? )cos ? cos( 0 ? )sin ? 2 3( ? ? ? )? 4 3 4 4 3 4 5 2 5 2 5

【考点】三角函数的图像与性质,同角三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式。 【解析】 (Ⅰ)将 f ( x) )化简为 f ( x) ? 2 3 sin(? x ? 函数 f ( x) 的值域。 (Ⅱ)由 x0 ? (?

?
3

) ,利用正弦函数的周期公式与性质可求 ? 的值及

10 2 ?x ? 8 3 4 ,可求得即 sin( 0 ? ) ? , , ) ,知 ( ? x 0 ? ? ) ? (? ? , ? ) ,由 f ( x0 ) ? 5 4 3 5 3 3 4 3 2 2

利用两角和的正弦公式即可求得 f ( x0 ? 1) 。 例 13. (2012 年四川省文 12 分)已知函数 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10
2

【答案】解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? cos

x x x 1 1 2 ? 1 1 , ? sin cos ? ? ( ? cosx ? sinx ? ? cos(x ? ) 1 ) 2 4 2 2 2 2 2 2 2
? ? 2 ,2 ? , ?。 2 2 ? ?

∴ f ( x) 的最小正周期为 2 ? ,值域为 ??

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (? ) = ∴ sin2? ? ?cos(

?? 3 2 ? 3 2 ? , ∴cos ? ? ? ? ? 。 cos(? ? ) ? 4? 5 2 4 10 ?

) 4 ? 18 7 2 。 ? 1 ? 2cos(? ? ) 1 ? ? ? 4 25 25 2

?

? 2?) ?cos(? ? ? 2

?

【考点】三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式。 【解析】 (Ⅰ) f ( x ? o 将 ) cs 期和值域。
2

x x sn c s i? o 2 2

x 1 2 ? ? 化为 f ( x) ? cos(x ? ) 即可求得 f ( x) 的最小正周 2 4 2 2

(Ⅱ)由 f (? ) = 公式可求得 sin2? 的值。

?? 3 2 ? 3 2 ? 可求得 cos ? ? ? ? ? ,由余弦函数的二倍角公式与诱导 cos(? ? ) ? 4? 5 2 4 10 ?

例 14. (2012 年天津市理 13 分)已知函数 f (x)= sin (2 x+ (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

【答案】解:(Ⅰ) ∵ f (x)=sin2x ? cos

?

3

? cos2x ? sin

?

3

? sin2x ? cos

?
3

? cos2x ? sin

?
3

? cos2x

, ? sin2x ? cos2x ? 2 sin( x ? ) 2 4 ∴函数 f (x) 的最小正周期 T ?

?

2? ?? 。 2

? ? ?? ?? ? ? (Ⅱ)∵函数 f (x) 在区间 ? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数, ? 4 8? ?8 4?
又 f (?

?
4

)= ? 1,f (

?
8

)= 2,f (

?
4

)=1 ,

∴函数 f (x) 在 [ ?

? ?

, ] 的最大值为 2 ,最小值为-1。 4 4

【考点】三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值。 【分析】(Ⅰ)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f (x)= sin (2 x+ 化为 f (x) ? 2 sin( x ? ) ,即可求得函数 f (x) 的最小正周期。 2

? ? )+sin(2 x ? )+2cos 2 x ? 1 3 3

?

4

(Ⅱ)分析得到函数 f (x) 在区间 [ ? 值和最小值。

? ?
4 4 ,

] 上的增减性,即可是求得 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 的最大 4 4

例 15. (2012 年天津市文 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的分别是 a, b, c 。已知 a ? 2, c ? 2 ,

cosA ? ?

2 . 4

(I)求 sin C 和 b 的值;

?? ? (II)求 cos ? 2A+ ? 的值。 3? ?

【答案】解: (I)在 ?ABC 中,∵ cosA ? ?

2 14 ,∴ sinA ? 。 4 4 7 a b ∵ , a ? 2, c ? 2 ,∴ sinA ? 。 = 4 sin A sin B
∵ a 2 ? b2 +c2 ? 2bc cos A ,∴ b2 +b ? 2 ? 0 ,解得 b ? 1。

(II)∵ sinA ?

14 2 7 3 、cosA ? ? ∴ cos2A ? 2cos 2 A ? 1= ? ,sin2A ? 2sinAcosA= ? 。 4 4 4 4

?? ? ? ?3+ 21 ? ∴ cos ? 2A+ ? =cos2Acos ? sin 2A sin = 。 3? 3 3 8 ?
【考点】解三角形,三角函数中的恒等变换应用。 【分析】 (I) ?ABC 中,利用同角三角函数的基本关系求出 sinA ,再由正弦定理求出 sinA ,再由余弦定理 求得 b ? 1。

?? ? (II)利用二倍角公式求得 cos2A 和 sin2A 的值, ,再由两角和的余弦公式求出 cos ? 2A+ ? 的值。 3? ?
例 16. (2012 年安徽省理 12 分) 设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)设函数 g ( x) 对任意 x ? R ,有 g ( x ? 求函数 g ( x) 在 [?? ,0] 上的解析式。 【答案】解: (I)∵ f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

?

? 1 ) ? g ( x) ,且当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ; 2 2 2

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

2? ?? 。 2 ? 1 1 (II)∵当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2
∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ∴ 当 x ? [?

1 1 ? sin 2 x , 2 2

, 0] 时, ( x ? ) ?[0, ] , 2 2 2 ? 1 ? 1 g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) , 2 2 1 1 g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 。 2 2

?

?

?

当 x ? [?? , ?

?

?

? ? 1 ?? 2 sin 2 x(? 2 ? x ? 0) ? ∴函数 g ( x) 在 [?? ,0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 ? 1 sin 2 x(?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
【考点】三角函数公式和性质。 , 【解析】 (I)将 f ( x) ? (II)由 g ( x) ?

2 ? 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x 化为 ? sin 2 x ,即可求出函数 f ( x) 的最小正周期。 2 4 2 2

1 ? ? f ( x) 得出 g ( x) 关于 x 的函数关系式。由 g ( x ? ) ? g ( x) 分区间讨论即可。 2 2

例 17. ( 2012 年 安 徽 省 文 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 且 有

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos Asin C
(Ⅰ)求角 A 的大小; (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】解: (Ⅰ)∵ A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ,∴ sin( A ? C ) ? sin B ? 0 。 ∴ 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B 。 ∴ cos A=
2 2

1 ? 。∴ A ? 。 3 2
2

(II)∵ a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? 2 , c ? 1 , A ?
2 2 2 ∴ a ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? cos A ,解得 a ? 3 。

?
3



∴ b ? a ? c 。∴ B ?
2 2 2

?
2



∴在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB 2 ? BD 2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 。 2 2

【考点】三角函数的应用,余弦定理,勾股定理和逆定理。 【解析】 (Ⅰ)化简 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos Asin C 即可求出角 A 的大小。 (II)应用余弦定理,求出 a ? 3 ,从而根据勾股定理逆定理得到 B ? 勾股定理即可求出 AD 的长。 例 18. (2012 年广东省理 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2cos(? x ? (1)求 ? 的值;

?
2

,在在 Rt ?ABD 中应用

?
6

)(其中? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 10?

(2)设 ? , ? ? ?0,

5 6 5 16 ? ?? ? , f (5? ? 3 ? ) ? ? 5 , f (5 ? ? 6 ? ) ? 17 ,求 cos(? ? ? ) 的值。 ? 2?

【答案】解: (1)由 T =

2p 1 = 10p 得 w = 。 5 w 1 p (2)由(1)知 f ( x) = 2cos( x + ) 5 6 5p 1 5p p p 6 ∵ f (5a + ) = 2cos[ (5a + ) + ] = 2cos(a + ) = - 2sin a = - , 3 5 3 6 2 5
且 ? ? ? 0, ∴ sin a =

? ?? , ? 2? ?

3 4 , cos a = 。 5 5 5p 1 5p p 16 ? ?? , ? ? ? 0, ? , ) = 2cos[ (5b ) + ] = 2cos b = 6 5 6 6 17 ? 2? 8 15 , sin b = 17 17 4 8 3 15 13 ? ? ? ?? 。 5 17 5 17 85

∵ f (5b -

∴ cos b =

∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

【考点】两角和与差的余弦函数,诱导公式,三角函数的函数的周期。 【解析】 (1)由题意,由于已经知道函数的周期,可直接利用公式 T =

2p 解出参数 ? 的值。 w 5 6 5 16 (2)由题设条件,可先对 f (5? ? ? ) ? ? ,与 f (5? ? ? ) ? 进行化简,求出 ? 与 ? 两角 3 5 6 17

的函数值,再由余弦的和角公式求出 cos(? ? ? ) 的值。 例 19. ( 2012 年 江 西 省 理 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 。 已 知 A ?

?
4



b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 。 4 4
(1)求证: B ? C ?

?

?

?

2

(2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积。 π π 【答案】解: (1)证明:由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 ? ? ? ? π π sinBsin?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, ? ? ? ? ∴sinB? 2 2 ?-sinC? 2sinB+ 2cosB?= 2。 2 ? 2 sinC+ 2 cosC? ?2 ? 2

整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1。

3 π ∵0<B,C< π,∴B-C= 。 4 2 π 3π 5π π (2)由(1)知 B-C= ,又 B+C=π-A= ,∴B= ,C= 。 2 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin 。 4 sinA 8 sinA 8 1 5π π π π 1 ∴△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = 。 2 8 8 8 8 2 【考点】解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用。 【解析】 (1)通过正弦定理以及三角和差公式化简已知表达式,推出 B-C 的正弦函数值,由 A ? 3 π 0<B,C< π,从而求得 B-C= 。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 4 2 (2)利用 a ? 2 ,通过正弦定理求出 b,c,然后利用三角形的面积公式求△ABC 的面积。 例 20.(2012 年江西省文 12 分) ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。 在 角 已知 3cos ? B ? C ? ? 1 ? 6cos B cos C 。 (1)求 cos A ; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为 2 ,求 b, c 。 【答案】解: (1)由 3cos ? B ? C ? ? 1 ? 6cos B cos C 化简得: 3(cos B cos C ? sin B sin C ) ?1 ? 6cos B cos C , 变形得:3 ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? ?1 ,即 3cos( B ? C ? 1 ,cos( B ? C ) ? ? 。 ) ? ∴ cos A= ? cos( B ? C ) ?

?
4

得出

1 3

1 。 3
2 2 1 2 ,∴ sin A ? 1 ? cos A = 。 3 3

(2)∵ A 为三角形的内角, cos A ? 又 S ?ABC =2 2 ,即

1 ,解得: bc=6 ①。 bc sin A=2 2 , 2 1 又 a ? 3 , cos A ? , 3
∴由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 9 1 ? ? ,即 b2 ? c2 =13②。 2bc 12 3

?b ? 2 ?b ? 3 联立①②解得: ? 或? 。 ?c ? 3 ?c ? 2
【考点】余弦定理、正弦定理、诱导公式的应用,两角和与差的余弦函数。 【解析】 (1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利用两角和与差 的余弦函数公式得出 cos( B ? C ) 的值,将 cos A 用三角形的内角和定理及诱导公式变形后,将 cos( B ? C )

的值代入即可求出 cos A 的值。 (2)由 cos A 的值及 A 为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin A 的值,利用三 角形的面积公式表示出 ?ABC 的面积,将已知的面积及 sin A 的值代入,得出 bc=6 ,记作①,再由 a 及

cos A 的值,利用余弦定理列出关于 b 与 c 的关系式,记作②,联立①②即可求出 b 与 c 的值。
例 21. (2012 年浙江省理 14 分)在 ?ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos A ?

2 , 3

sin B ? 5 cos C .
(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.
5 2 【答案】解:(Ⅰ)∵ cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos 2 A ? 。 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= 整理得:tanC= 5 。 (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= ∴ sin B ?
5 。 6 5 1 , cos C ? , 6 6

5 2 cosC+ sinC. 3 3

又由正弦定理知:

a c ,解得 c ? 3 ? sin A sin C
1 2 1 2


5 5 。 ? 6 2

∴ ? ABC 的面积为:S= ac sin B ? ? 2 ? 3 ? 【考点】三角恒等变换,正弦定理,三角形面积求法。

【解析】(Ⅰ)由 A 为三角形的内角,及 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再将 已知等式的左边 sinB 中的角 B 利用三角形的内角和定理变形为 π-(A+C) ,利用诱导公式得到 sinB=sin (A+C) ,再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出 tanC 的值。 (Ⅱ)由 tanC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 和 cosC 的值,将 cosC 的值代入

sin B ? 5 cos C 中,即可求出 sin B 的值,由
角形 ABC 的面积。

a c 1 求出 c 的值,最后由 S= ac sin B 即可求出三 ? sin A sin C 2

例 22. (2012 年浙江省文 14 分) △ABC 中, 在 内角 A, C 的对边分别为 a, c, bsinA= 3 aco sB。 B, b, 且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

【答案】解: (1)∵bsinA= 3 aco Sb,∴由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即 tan B ? 3 。 ∵B 是△ABC 的内角,∴ B ?

?
3



(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得 c ? 2a 。 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos
2 2 2

?
3



解得 a ? 3 。 ∴? c ? 2a ? 2 3 。 【考点】正弦定理,余弦定理,三角形内角和定理。 【解析】 (1)将已知的等式利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0,等式两边同时除以 sinA,再利用同角三 角函数间的基本关系求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数。 (2)由正弦定理化简 sinC=2sinA,得到关于 a 与 c 的关系,再由 b 及 cosB 的值,利用余弦定理列 出关于 a 的一个方程,解出即可求出 a 与 c 的值。 例 23. (2012 年湖北省文 12 分)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sinωx· cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 1 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈?2,1?. ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; π (Ⅱ)若 y=f(x)的图象经过点?4,0?,求函数 f(x)的值域 ? ? 【答案】解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx+λ π =-cos2ωx+ 3sin2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ., ? ? 且直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π ∴sin?2ωx-6?=± ? ? 1。 π π k 1 ∴2ωπ- =kπ+ (k∈R),即 ω= + (k∈R)。 6 2 2 3 1 5 又∵ω∈?2,1?,k∈R,∴k=1。∴ω= 。 ? ? 6 6π ∴f(x)的最小正周期是 。 5 π π 5 π π π (Ⅱ)由 y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0,即 λ=-2sin?6× -6?=-2sin =- 2。 ? ? ? ? ? 2 ? 4 5 π ∴f(x)=2sin?3x-6?- 2,函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2] ? ? 【考点】三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。

【解析】 (Ⅰ)先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,再利用 函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。 (Ⅱ)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再利用正弦函数的图象和性质即可求得 函数 f(x)的值域。 例 24. (2012 年重庆市理 13 分)设 f ? x ? ? 4cos(? x ? (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的值域; 分) (8 (Ⅱ)若 y ? f (x) 在区间 ? ?

?
6

)sin ? x ? cos(2? x ? x) ,其中 ? ? 0.

? 3x ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值.(5 分) ? 2 2?
?
? sin ? x sin )sin ? x ? cos 2? x 6 6

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 4(cos ? x cos

?

3 1 cos ? x ? sin ? x)sin ? x ? cos 2? x 2 2 ? 2 3 cos ? x sin ? x ? 2sin 2 ? x ? 1 ? 2sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1 ? 4(
∵ ?1 ? sin 2? x ? 1,∴ f ( x) ? 3 sin 2? x ? 1?[1 ? 3,1 ? 3] 。 即函数 y ? f (x) 的值域为 [1 ? 3,1 ? 3] 。 (Ⅱ)由 ?

?
2

2 ? k? ? k? ∴ f ( x ) 在 [? ? , ? ] 上为增函数。 4? ? 4? ? 3? ?
∵ x ?[?

? 2k? ? 2?x ?

?

? 2k? (k ? Z ) 得 ?

? k? ? k? ? ?x? ? (k ? Z ) 。 4? ? 4? ?

, ] 时, f ( x) 为增函数, 2 2 3? ? ? k? ? k? ∴ [? , ] ? [? ? , ? ] 对某个整数 k 成立,易知必有 k =0。 2 2 4? ? 4? ? 3? ? ? ? ∴ [? , ] ? [? , ]。 2 2 4? 4? 3? ? ? ?? 4? ? ? 2 1 ? ∴? ,解得 ? ? 。 6 ? ? ?? ? 4? 2 ?
∴ ? 的最大值为

1 。 6

【考点】二倍角的余弦和正弦,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性。 【分析】 (I)由题意,可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到 f ( x) ? 3 sin 2? x ? 1 , 由此易求得函数的值域。

(II) f ( x) 在区间 [?

3? ? , ] 上为增函数,此区间必为函数某一个单调区间的子集,由此可根据复 2 2

合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间,由集合的包含关系比较两个区间的端点 即可得到参数 ? 所满足的不等式,由此不等式解出它的取值范围,即可得到它的最大值。 例 25. (2012 年重庆市文 12 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) x ? 在 处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I)求 f ( x) 的解析式(5 分) ; (II)求函数 g ( x) ?

?
6

? 。 2

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域(7 分) 。

【答案】解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) 图象与轴的相邻两个交点的距离为 ∴ f ( x) 的周期为 T ? ? ,即 ∵ f ( x) 在 x ? ∴ 2sin(2 ? ∴

2?

? , 2

?
6

?

? ? ,解得 ? ? 2 。

处取得最大值 2,∴ A =2。

?

?
3

? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ? 1 。 6 3

?

?? ?

?

2

+2k?,k ? Z 。

又∵ ?? ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
6



∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2x ?

?
6

)。

6cos 4 x ? sin 2 x ?1 6cos 4 x ?sin 2 x ?1 6cos 4 x+ cos 2 x ?2 (Ⅱ)∵函数 g ( x) ? = = ? ? 2cos 2 x f (x ? ) 2sin(2 x ? ) 6 2

? 2cos =
2

x ? 1?? 3cos2 x+2 ? 3 2 = cos x+1 2 2 ? 2cos2 x ? 1?
2

1? ? 2 ? cos x ? ? , 2? ?

2 又∵ cos x ? [0,1] ,且 cos x ?

1 , 2

∴ g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 。 【考点】三角函数中的恒等变换应用,由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象确定其解析式。 【分析】 (Ⅰ)通过函数的周期求出 ω,求出 A ,利用函数经过的特殊点求出 ? ,推出 f ( x) 的解析式。

7 4

7 5 4 2

(Ⅱ)利用(Ⅰ)推出函数 g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的表达式,应用同角函数关系式、倍角函

数关系式得到 g ( x)=

3 1? 1 ? cos 2 x +1 ? cos 2 x ? ? 。通过 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? ,求出 g ( x) 的值域。 2 2? 2 ?

例 26. (2012 年陕西省理 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? 相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

【答案】解: (1)∵函数 f ( x) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2 。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ∴函数 f ( x) 的解析式为 y ? sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ?

?
6

? ,∴最小正周期为 T ? ? 。∴ ? ? 2 。 2

) ?1 。

?

?

2

∵0 ?? ? ∴? ?

?
2

,∴ ?

?

? 1 ) ? 1 ? 2 ,∴即 sin(? ? ) ? 。 6 6 2
?? ?

?

?
6

?

?
6

6

,即 ? ?

?
3

6

?

?

3





【考点】三角函数的图像性质,三角函数的求值。 【解析】 (1)通过函数的最大值求出 A,通过对称轴求出周期,求出 ω,得到函数的解析式。 (2)通过 f ( ) ? 2sin(? ?

?

?

2

? 1 ) ? 1 ? 2 ,求出 sin(? ? ) ? ,通过 α 的范围,求出 α 的值。 6 6 2

五、三角函数与其它知识的综合问题: 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1.(2012 年重庆市理 5 分) tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, tan(? ? ? ) 的值为 设 则 【
2



(A)-3 【答案】A。

(B)-1

(C)1

(D)3

【考点】两角和与差的三角公式,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】∵ tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,
2

∴根据一元二次方程根与系数的关系,得 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2 。 ∴ tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? ?3 。故选 A。 1 ? tan ? tan ?
2 2

例 2. (2012 年陕西省理 5 分) ?ABC 中, A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , a ?b 在 角 若 的最小值为【 】

则o ? c2 , cs C 2

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C。 【考点】余弦定理,基本不等式的应用。 【解析】通过余弦定理求出 cosC 的表达式,利用基本不等式求出 cosC 的最小值: ∵ a ? b ? 2c ,∴ c ?
2 2 2
2

a 2 ? b2 。 2

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 1 ∴由余弦定理得, cos C ? ? ? 当且仅当 a = b 时取“=”。 2ab 4ab 2
∴ cosC 的最小值为

1 。故选 C。 2
sin x ?1 2 cos x
的最小正周期是 ▲

例 3. (2012 年上海市文 4 分)函数 f ( x) ? 【答案】 ? 。

【考点】行列式的基本运算,三角函数的值域,二倍角公式。 【解析】∵ f ( x) ?

sin x ?1

1 ? sin x cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 , cos x 2 2 cos x
的最小正周期是

2

∴函数 f ( x) ?

sin x ?1

2? ?? 。 2


例 4. (2012 年安徽省理 5 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 ①若 ab ? c ;则 C ?
2 3 3 3

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

③若 a ? b ? c ;则 C ?
2 2 2 2 2

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ? 【答案】①②③。

?
3

【考点】余弦定理的应用,余弦函数的性质,不等式变形。 【解析】根据余弦定理逐项分析: ①∵ ab ? c ,∴ cos C ?
2

a 2 ? b 2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? 。∴ C ? 。命题正确。 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b 2 ? c 2 4(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b) 2 1 ? ? ? 。∴ C ? 。命题正确。 2ab 8ab 2 3

②∵ a ? b ? 2c ,∴ cos C ?
3 3 3

③∵ a ? b ? c ,∴ a < c, b < c 。
2 2 3 3 2 2 a 2 ? b2 ? c2 a c ? b c ? ? a ? b ? a ? c ? a ? ? b ? c ? b ? ? ? > 0, ∵ cos C ? 2ab 2abc 2abc

∴C ?

?
2

。命题正确。

④∵ a ? b ? 2, c ? 1,

a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 4 ? 1 7 ? ∴ cos C ? ? ? 。∴ C ? 。命题错误。 2ab 8 8 2
⑤以例反证,取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b )c ? 2a b ,
2 2 2 2 2

则 cos C ? 又∵

a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 4 ? 1 7 ? ? 。 2ab 8 8

7 1 ? ? > 0 ,∴ C ? 。命题错误。 3 8 2

例 5. (2012 年福建省理 4 分)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为 ▲ 【答案】 ? .

2 。 4

【考点】等比数列的性质,余弦定理的应用。 【解析】∵△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,∴设三角形的三边分别是: ∵最大角所对的边是 2a, 2 a、a、 2a。 2

? 2 ? a +? a ? ? 2a ? 2 ? ∴根据三角形中大边对大角的性质,结合余弦定理得: cos? = 2 2? a?a 2
2

2

?

?

2

=?

2 。 4

∴最大角的余弦值为 ?

2 。 4

例 6.(2012 年全国大纲卷文 10 分) ABC 中, 内角 A 、 、 成等差数列, 其对边 a 、 、 满足 2b ? 3ac , ? b c B C
2

求 A. 【答案】解:∵ ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,

? A ? B ? C ? 1800 0 0 ∴? 。∴ B ? 60 , A ? C ? 120 。 ?2 B ? A ? C
又∵ 2b ? 3ac ,∴根据正弦定理,得 2sin B ? 3sin A sin C 。∴ sin A sin C ?
2 2

1 。 2

? A=600 ? ? ? 0 由“ A ? C ? 120 ”进行均值换元,设 ? , ?600 < ? < 600 。 C =600 ? ? ? ?
则 sin 60 +? sin 60 ? ? ?
0 0
0 0

?

? ?

?

3 3 1 2 ,化简,得 cos ? = ? cos ? = ? 。 4 2 2
0

∴ ? = ? 30 。∴ A=90 或 A=30 。 【考点】解三角形的运用,等差数列的性质,三角形的内角和定理,正弦定理,两角和的三角函数。 【解析】根据角 A 、 B 、 C 成等差数列和三角形内角和定理可得 B ? 60 , A ? C ? 120 。运用均值换元
0 0

法,由 2b ? 3ac 应用正弦定理和两角和的三角函数,化简等式,求出答案。
2

A ? ? 例 7. (2012 年山东省理 12 分) 已知向量 m= (sinx, n= ? 3A cos x, cos 2x ? ? A > 0 ? , 1) 函数 f ? x ? ? m ? n 2 ? ?
的最大值为 6。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象像左平移

? 1 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐 12 2
? ? 5? ? 上的值域。 24 ? ?

标不变,得到函数 y=g(x)的图象。求 g(x)在 ? 0,

【答案】解: (Ⅰ) f (x) ? m ? n ? 3A cos x sin x ?

A 3 A ?? ? cos 2 x ? A sin 2x ? cos 2x ? A sin ? 2x ? ? 。 2 2 2 6? ?

?? ? ∵函数 f ? x ? ? m ? n 的最大值为 6。而 sin ? 2x ? ? ? 1 6? ?
∴ A=6 。 (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6sin[2(x ? ) ? ] 的图象, 12 6 12

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 当 x ?[0,

5? ] 时, 4x ? ?[ , ], sin(4x ? ) ?[? ,1] , g(x) ?[?3,6] .。 24 3 3 6 3 2

1 ? 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x) ? 6sin(4x ? ) 。 3 2 ? ? 7? ? 1

∴函数 g(x)在 ? 0,

? ?

5? ? 上的值域为 [?3,6] 。 24 ? ?

【考点】向量的运算,三角函数的值域,函数图象平移的性质。 【解析】 (Ⅰ)求出函数 f ? x ? ? m ? n 关于 x 的表达式,化简后根据三角函数的值域确定 A。 (Ⅱ) 由平移的性质, 求出 g (x) 由 x ?[0, , 上的值域。 例 8. (2012 年山东省文 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C .

? 5? ? 5? ? 从而求得函数 g x) ? 0, ? ( 在 ] 得出 4x ? 的范围, 3 24 ? 24 ?

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ABC 的面积 S. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C) ? sin A sin C ,即 sin B sin ? A+C ? ? sin Asin C 。
= B ∵ A + C? ? , s ? i n ?A + C? = s i? n ? ? B , =sinB

2 ∴ s i n B ? n Asin C 。 si

由正弦定理,得 b2 =a ? c ,∴ a, b, c 成等比数列。 (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 =a ? c=2 , 由余弦定理,得 cos B= ∴ sin B= 1 ? cos 2 B=

a 2 +c2 ? b2 1 ? 4 ? 2 3 = = , 2ac 4 4

7 。 4

1 1 7 7 ∴△ABC 的面积 S= ? a ? c ? sin B= ? 1? 2 ? 。 ? 2 2 4 4
【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和的三角函数公式,同角三角函数公式,等比数列的判定。 【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简,求得三角正弦之间的关系,由正弦定理推出结论。 (Ⅱ)由余弦定理求出 B 的余弦,从而根据同角三角函数公式得到正弦,应用面积公式求解。 例 9.(2012 年湖北省理 12 分) 已知向量 a = ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,b = ? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x ,

?

?

?

?

b 设函数 f ? x ? = a ? +? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? ,1?

? ?

?1 ? ?2 ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 (2)若 y =f ? x ? 的图像经过点 ?

?? ? ? 3? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的取值范围。 ?4 ? ? 5 ?

b 【答案】解: f ? x ? =a ? +? = ?sin ? x ? cos ? x ??sin ? x+ cos ? x ?+2 3 sin ? xcos ? x+ ?

? ?

?? ? = sin 2 ? x ? cos 2 ? x+2 3 sin ? x cos ? x+? = 3 sin 2? x ? cos2? x+? =2sin ? 2? x ? ? +? 。 6? ?
b (Ⅰ) ∵函数 f ? x ? = a ? +? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称, 2? ? ? ? ∴
∴ ?=

? ?

?
6

=k? +

?
2

,k ? Z 。

k 1 + ,k ? z 。 2 3
?1 ? ?2 ?

又∵ ? ? ? ,1? ,∴ ? =

5 。 6

∴ f ? x ? =2sin ?

?? 2? 6? ?5 。 x ? ? +? 的最小正周期为 = 5 6? 5 ?3 3
?? ? ?5 ? ? ? ,0 ? ,则有 2sin ? ? ? ? +? =0 ,∴ ? = ? 2 。 ?4 ? ?3 4 6 ?

(II)若 y =f ? x ? 的图像经过点 ? ∴ f ? x ? =2sin ?

?? ?5 x? ?? 2。 6? ?3

∵ x ? ? 0,

5 ? ? ? 5? ? ?? ? 3? ? ?5 ,∴ x ? ? ? ? , 。∴ 2sin ? x ? ? ? ? ?1,2? 。 ? 3 6 ? 6 6 ? 6? ? 5 ? ? ?3 ? 3? ? 上的取值范围为 ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? 。 ? ? ? 5 ? ?

∴函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

【考点】数量积的坐标表达式,三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。 【解析】 (Ⅰ)先利用向量数量积运算性质,求函数 f ? x ? 的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公 式将函数 f ? x ? 化为 2sin ? 2? x ? 的最小正周期。 (II)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看 做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f ? x ? 的值域。

? ?

??

? +? ,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数 6?

例 10. (2012 年辽宁省理 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差 数列。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】解: (Ⅰ)∵角 A,B,C 成等差数列,∴ 2B ? A ? C 。 又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B =60° 。∴ cos B =

1 。 2

(Ⅱ)∵边 a,b,c 成等比数列,∴ b2 ? ac 。∴根据正弦定理得 sin 2 B ? sin Asin C 。 ∵ B =60° ,∴ sin B =

3 3 。∴ sin A sin C = 。 4 2

【考点】数列与三角函数的综合,正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由角 A、B、C 成等差数列可知 B =60° ,从而可得 cos B 的值。 (Ⅱ) a, c 成等比数列, b2 ? ac , B 的值得到 sin B 的值, 由 b, 得 由 结合正弦定理可求得 sin A sin C 的值。 另解:由余弦定理求得 a=c 得到 ?ABC 是等边三角形,每个内角等于 600 求解。 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 例 11. (2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中 ,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

5 ,求 A 的值. 5 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 【答案】解: (1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB?AC? A=3BA?BC? B ,即 AC? A=3BC? B 。 cos cos cos cos
(2)若 cos C ?

AC BC ,∴ sin B? A=3sin A? B 。 = cos cos sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A> 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? 5 ? = 5 ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 4tan A 1 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? 。 tan 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ? ? ∵ cos A> 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面向。量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。

??? ???? ??? ??? ? ? ? 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
(2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ?? ? ? A ? B ?? ,从而根据两角和的 ? ? 5

正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 nπ 例 12.(2012 年福建省文 5 分)数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于【 2 A.1006 【答案】A。 【考点】规律探索题。 π 3π 【解析】寻找规律:a1=1cos =0,a2=2cosπ=-2,a3=3cos =0,a4=4cos2π=4; 2 2 5π 7π 8π a5=5cos =0,a6=6cos3π=-6,a7=7cos =0,a8=8cos =8; 2 2 2 ·· ·· ·· B.2012 C.503 D.0 】

9 ?? ∴该数列每四项的和 ak +ak +1 +ak +2 +ak +3 =2 k =1,5,, , 4r +1,r ? N ? 。
∵2012÷ 4=503,∴S2 012=2× 503=1006。故选 A。 例 13.(2012 年江西省理 5 分)下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 ▲ .

?

?

【答案】3。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【考点】算法程序框图的应用。 【解析】由程序框图可知: 第一次:T=0,k=1, sin

?
2

? 1 ? sin 0 ? 0 成立, a ? 1,T ? T ? a ? 1, k ? 2 ,2<6,满足判断条件,继续循环;

第二次: sin ? ? 0 ? sin 第三次: sin

?
2

? 1 不成立, a ? 0,T ? T ? a ? 1, k ? 3 ,3<6,满足判断条件,继续循环;

3? ? ?1 ? sin ? ? 0 不成立, a ? 0,T ? T ? a ? 1, k ? 4 ,4<6, 满足判断条件,继续循环; 2 3? 第四次: sin 2? ? 0 ? sin ? ?1 成立, a ? 1,T ? T ? a ? 2, k ? 5 , 5<6, 满足判断条件,继续循环; 2 5? 第五次: sin ? 1 ? sin 2? ? 0 成立, a ? 1,T ? T ? a ? 3, k ? 6 ,6<6 不成立,不满足判断条件,跳 2
出循环,故输出 T 的值 3。

{ 例 14. (2012 年四川省理 5 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , an } 是公差为

? 的等差数列, (a1 ) ? f (a2 ) ????? f (a5 ) ? 5? , f 8

则 [ f (a3 )] ? a2 a3 ? 【
2

】 B、

A、 0 【答案】D。

1 2 ? 16

C、 ? 2

1 8

D、

13 2 ? 16

【考点】等差数列性质,三角函数性质。 【解析】∵ f ( x) ? 2 x ? cos x , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,

2 ? ∴ (a1 ? a 2 ? ? ? a5) (cos a1 ? cos a 2 ? ? ? cos a5 ) ? 5? 。
∵ {an } 是公差为

? 的等差数列, 8

∴ (a1 ? a2 ? ? ? a5)=2 ? 5a3 ? 10a3 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 。 2 ∴ 10a3 ? 5? ,解得 a3 ?
2 2

?
2

, a2 ?

3? 。 8

∴ [ f (a3 )] ? a2 a3 ? ? ?

3? ? 13? 2 。故选 D。 ? ? 8 2 16

关于 cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 可化为 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 。 由 10a3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 10a3 , 设 f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos x, g ? x ? ? 5? ? 10 x ,作图可得二者交点在 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 处:

?

?

?

?

?

?

?

?

例 15. (2012 年安徽省文 13 分) 设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求数列 { xn } ;

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 { xn } . 2

(Ⅱ)设 { xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。

【答案】解: (I)∵ f ( x) ?

x 1 ? sin x ,∴ f ?( x) ? ? cos x 。 2 2 2? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2k? ? (k ? Z ) 。 3 2? 2? 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) ; 3 3 2? 4? 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) 。 3 3 2? ∴当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值。 3 2? ∴数列 { xn } : xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? , 3 2n? 2n? ∴ Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 。 ? n(n ? 1)? ? 3 3
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ;
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ? sin
*

2? 3 ? ; 3 2 4? 3 ?? 。 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

∴当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 ;
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ?
*

3 ; 2 3 。 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

【考点】三角函数的极值,导数的应用,数列。 【解析】 求函数 f ( x) ? (I) 情况,得出结果。 (II)求出 { xn } 的前 n 项和为 S n ,分类讨论,求出 sin S n 。

x 即要讨论 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 的 ? sin x 的所有正的极小值点, 2


更多相关文档:

第28讲:高频考点分析之选修系列探讨

第20讲:高频考点分析之三... 第21讲:高频考点分析之平... 第22讲:高频考点...? 2 2? ? 【考点】行列式的基本运算,三角函数的值域,二倍角公式。 【解析...

第22讲:高频考点分析之立体几何探讨

第二轮第12讲 三角函数 第二轮第15讲 排列、组合... 第16讲:高频考点分析之...第20讲:高频考点分析之三... 暂无评价 40页 5财富值 第27讲:高频考点分析之...

第19讲:高频考点分析之数列探讨

第20讲:高频考点分析之三...1/2 相关文档推荐 ...讲:高频考点分析之数列探讨江苏泰州锦元数学工作室 ...数列与三角函数的综合应用。 结合 2012 年全国各地...

第15讲:高频考点分析之最值探讨

第19讲:高频考点分析之数... 第20讲:高频考点分析之三...1...分析考题的类型,高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种: 1.函数(含三角函数...

第16讲:高频考点分析之函数探讨

第20讲:高频考点分析之三... 第21讲:高频考点分析之平...1...【备战 2013 高考数学专题讲座】 第 16 讲:高频考点分析之函数探讨江苏泰州锦元...

【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 三角函数的综合问题(真题为例)

【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 三角函数的综合问题(真题为例) 隐藏>>...例 20. (2012 年江西省文 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别...

第20讲三角函数的图象

名师作业·练全能 名师作业 练全能 第二十讲 三角函数的图象 班级___ 姓名__...? ? ? 有错误,那么有错误的图象是( ) ππ 1 解析:当 x=2kπ(k∈Z)...

第26讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨

第20讲:高频考点分析之三...1/2 相关文档推荐 ...讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨江苏泰州锦元数学工作...【考点】椭圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数...

第20讲三角函数的基本概念

第20 讲 三角函数的基本概念 第 20 讲 要点梳理 1.任意角的概念 名 三角函数的基本概念弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30° =57°18ˊ、1°= ?...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com