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西城区2013—2014学年度第一学期期末高二数学(理科)试题及参考答案(word版)


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22

2014.1

本卷总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给

出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.圆 x ? y ? 2 y ? 1 的半径为(
2 2

) C. 2 ) C. 2 ) D. 1 D. 4

A. 1 2.双曲线 x ?
2

B.

2

A. 4

y2 ? 1 的实轴长为( 9 B. 3

3.若 a ? ( x, ?1,3) , b ? (2, y, 6) ,且 a //b ,则( A. x ? 1, y ? ?2 C. x ?

B. x ? 1, y ? 2 D. x ? ?1, y ? ?2 ) B. ?x ? R , x 2 ? 0 D. ? x ? R , x 2 ? 0
2 2

1 , y ? ?2 2

4.命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定为( A. ?x ? R , x 2 ? 0 C. ? x ? R , x 2 ? 0

5. “ m ? n ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示圆”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

)

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

6.关于直线 a, b 以及平面 M , N ,下列命题中正确的是( A. 若 a // M , b // M ,则 a // b C. 若 b ? M ,且 a ? b ,则 a ? M 7.已知 F1 , F2 为椭圆

B. 若 a // M , b ? a ,则 b ? M D. 若 a ? M , a // N ,则 M ? N

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点, 25 9
) C. 12 D. 14 B. 10

AB ? 8 ,则 AF2 ? BF2 ? (
A. 2

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第 1 页(共 8 页)

8.某几何体的三视图如图所示,则它的体积等于( A. 8 B. 6 C. 4


正视图

2 侧视图

8 D. 3
???? ???? 2 MN ? AN ? BN ,则动点 M 的轨迹是(
A. 圆 B. 抛物线

2 2 俯视图

9.已知平面内两个定点 A(?1,0), B(1,0) ,过动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若 ) D. 双曲线

C. 椭圆

10.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,点 E , F , G 分别 是线段 B1 B , AB 和 AC 1 上的动点,观察直线 CE 与 D1 A1 E G D A F D. 4 个 B C B1 C1

D1 F , CE 与 D1G .给出下列结论:
①对于任意给定的点 E ,存在点 F ,使得 D1F ? CE ; ②对于任意给定的点 F ,存在点 E ,使得 CE ? D1 F ; ③对于任意给定的点 E ,存在点 G ,使得 D1G ? CE ; ④对于任意给定的点 G ,存在点 E ,使得 CE ? D1G . 其中正确结论的个数是( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 11.已知抛物线的准线为 x ? ?1 ,则其标准方程为_____________. 12.命题“若 x ? y ,则 x ? y ”的否命题是:__________________. 13.双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为_______;渐近线方程为_______. 4 12

14.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与这个正方体的表面积 之比为_______. 15.如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ABCD 是边长 为 1 的正方形, D1 B 与平面 ABCD 所成的角为 45 , 则棱 AA1 的长为_______;二面角 B ? DD1 ? C 的 大小为_______. 16.已知 M 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点, N 为椭圆长轴上一点, 4 3 O 为坐标原点.给出下列结论:
?

D1 A1 B1

C1

D A B

C

① 存在点 M , N ,使得 ?OMN 为等边三角形; ② 不存在点 M , N ,使得 ?OMN 为等边三角形; ③ 存在点 M , N ,使得 ?OMN ? 90 ;
?

④ 不存在点 M , N ,使得 ?OMN ? 90 .
?

其中,所有正确结论的序号是__________.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面 ABCD , M 、 N 分 别是 AB 、 PC 中点. (Ⅰ)求证: MN // 平面 PAD ; (Ⅱ)求证: AB ? MN . N P

M B

A C

D

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18.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 (2, 2) ,且圆心在 x 轴上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 (1, 2) ,且 l 与圆 C 相交所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程.

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19. (本小题满分 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90? , AC ? CB ? CC1 ? 2 , E 是 AB 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ? 平面 A1CE ; (Ⅱ)求直线 A1C1 与平面 A1CE 所成角的正弦值. A1 C1 B1

C A E

B

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20. (本小题满分 14 分) 如图所示,四边形 ABCD 为直角梯形, AB // CD , AB ? BC ,?ABE 为等边三角形, 且平面 ABCD ? 平面 ABE , AB ? 2CD ? 2BC ? 2 , P 为 CE 中点. (Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在 ?ABE 内是否存在一点 Q ,使 PQ ? 平面 CDE ,如果存在,求 PQ 的长;如 果不存在,说明理由. C D
·

P

B E A

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21. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C : y ? 12 x ,点 M (?1,0) ,过 M 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点.
2

(Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标等于 2,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设点 A 关于 x 轴的对称点为 A? ,求证:直线 A?B 过定点.

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22. (本小题满分 14 分) 已知 A,B,C 为椭圆 W: x 2 ? 2 y 2 ? 2 上的三个点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 A, C 所在的直线方程为 y ? x ? 1 ,求 AC 的长; (Ⅱ) 设 P 为线段 OB 上一点, 且 OB ? 3 OP , 当 AC 中点恰为点 P 时, 判断 ?OAC 的面积是否为常数,并说明理由.

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第 8 页(共 8 页)

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高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 10. B

2014.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. y ? 4 x
2

12. 若 x ? y ,则 x ? y . 15.

13. 2 , y ? ? 3x 16. ①④

14. ? ? ?

2 , 45?

注:一题两空的试题,第一空 3 分,第二空 2 分; 16 题,仅选出①或④得 3 分;错选得 0 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17. 证明: (Ⅰ)取 PD 中点 Q ,连结 AQ, NQ . 因为 N 是 PC 中点, 所以 NQ // P ??????2 分 Q

1 DC . 2

又 M 是 AB 中点, AM // 所以 AM // NQ ,

1 DC , 2
M B A

N

D C

四边形 AQNM 是平行四边形. ???4 分 所以 MN //AQ . ??????5 分

因为 MN ? 平面 PAD , AQ ? 平面 PAD , 所以 MN // 平面 PAD . ??????7 分 (Ⅱ)因为 PA ^ 平面 ABCD ,所以 PA ^ AB . 又 ABCD 是矩形, 所以 AB ^ AD . 所以 AB ^ 平面 PAD , 所以 AB ^ AQ . 又 ??????9 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????8 分

AQ //MN ,
??????13 分
第 9 页(共 8 页)

所以 AB ^ MN .
高二数学(理科)第一学期期末试卷

18. 解: (Ⅰ)设圆 C 的圆心坐标为 (a, 0) , 依题意,有 a ?
2 2

( a ? 2) 2 ? 2 2 ,
2 2

??????2 分 ??????4 分 ??????6

即 a ? a ? 4a ? 8 ,解得 a ? 2 , 所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . 分 (Ⅱ)依题意,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1 , 所以直线 x ? 1 符合题意. 另,设直线 l 方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 , 则

??????8 分 ??????9 分

k?2 k 2 ?1

? 1,

??????11 分

解得 k ? ?

3 , 4 3 11 ? 0 . ( x ? 1) ,即 3x ?4 y ? 4

??????12 分 ??????13 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

综上,直线 l 的方程为 x ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 11 ? 0 . 19. (Ⅰ)证明:因为 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ^ AC ,CC1 ^ BC , 又 ? ACB z C1 A1 ??????2 分 B1

90 ,

o

即 AC ^ BC .

如图所示,建立空间直角坐标系 C - xyz .

A(2,0,0) , B1 (0, 2, 2) , E (1,1,0) , A1 (2,0, 2) , uuu r uur 所以 AB1 =(- 2 , 2 , 2) , CE = (1,1, 0) , uuu r CA1 = (2 ,0 , 2) . ??????4 分 uuu r uur uuu r uuu r 又因为 AB1 ? CE 0 , AB1 ? CA1 0 ,

C A x E

B

y

??????6 分 ??????7 分 ??????9 分 ??????10 分 ??????12 分

uuu r (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, AB1 = ( - 2 , 2 , 2) 是平面 A1CE 的法向量, uuu r uur C1 A1 =CA = (2,0 ,0) , uuuu r uuu r uuuu r uuu r C1 A1 ×AB1 3 C1 A1 , AB1 = uuuu 则 cos狁 . r uuu r = 3 C1 A1 AB1

所以 AB1 ^ CE , AB1 ^ CA1 , AB1 ^ 平面 A1CE .

设直线 A1C1 与平面 A1CE 所成的角为 q , 则 sin q = cos狁 C1 A1 , AB1 =
高二数学(理科)试卷参考答案及评分标准 第 2 页(共 5 页)

uuuu r uuu r

3 . 3

所以直线 A1C1 与平面 A1CE 所成角的正弦值为 20. (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 OD, OE , 因为△ ABE 是正三角形,所以 AB ^ OE . 因为 四边形 ABCD 是直角梯形, DC =

3 . 3

??????13 分 ??????1 分

1 AB , AB // CD , 2
C

所以 四边形 OBCD 是平行四边形, OD // BC , 又

AB ^ BC ,所以 AB ^ OD .

z D

所以 AB ^ 平面 ODE ,??????3 分 所以 AB ^ DE . ??????4 分

·

P

(Ⅱ)解:因为平面 ABCD ? 平面 ABE ,

B O A x E y

AB ^ OE ,所以 OE ^ 平面 ABCD ,
所以 OE ? OD . ??????5 分

如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系.

则 A(1,0 ,0) , B(- 1,0 ,0) , D(0,0 ,1) , C (- 1, 0 ,1) , E (0 , 3 , 0) . 所以 AD =(- 1, 0 ,1) , DE =(0, 3 ,- 1) , 设平面 ADE 的法向量为 n1 = (x1 , y1 ,z1 ) ,则

uuu r

uuu r

??????6 分

uuu r ì ? ? n1 ?DE í uuu r ? n ? AD ? ? ? 1

0

ì ? 3 y1 - z1 = 0 ? ? , í x + z = 0 0 ? ? 1 1 ?

??????7 分

令 z1 = 1 ,则 x1 = 1 , y1 =

3 3 ,1) . .所以 n1 = (1, 3 3
3 ,1,0) ,

??????8 分 ??????9 分

同理求得平面 BCE 的法向量为 n2 = ( -

设平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角为 ? ,则

cos ? =

n1 ×n2 7 = . n1 n2 7

所以平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为

7 . 7

??????10 分

(Ⅲ)解:设 Q( x2 , y2 , 0) ,因为 P (所以 PQ = ( x2 +

1 3 1 , , ), 2 2 2

uuu r

uuu r uuu r 1 3 1 , y2 ,- ) , CD = (1,0,0) , DE = (0, 3 , - 1) . 2 2 2

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第 3 页(共 5 页)

uuu r uuu r ì ? PQ ?CD ? 依题意 í uuu r uuu r ? PQ ? DE ? ? ?

0, 0,

ì 1 ? ? x2 + = 0 , ? ? 2 即? í ? 3 1 ? 3( y ) + = 0, ? 2 ? 2 2 ? ?

??????11 分

解得 x2 = -

3 1 , y2 = . 3 2

??????12 分 ??????13 分

符合点 Q 在三角形 ABE 内的条件. 所以,存在点 Q (-

1 3 3 .???14 分 , , 0) ,使 PQ ^ 平面 CDE ,此时 PQ = 2 3 3

21.解: (Ⅰ)设过点 M (?1,0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) , 由 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 ? y ? 12 x,

得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 12) x ? k 2 ? 0 .

??????2 分

因为 k 2 ? 0 ,且 ? ? (2k 2 ? 12)2 ? 4k 4 ? 144 ? 48k 2 ? 0 , 所以, k ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ??????3 分

12 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 . k2 x1 ? x2 6 ? k 2 ? ?2, 2 k2

??????5 分

因为线段 AB 中点的横坐标等于 2 ,所以 解得 k ? ? 2 ,符合题意. (Ⅱ)依题意 A?( x1 , ? y1 ) ,直线 A?B : y ? y2 ? 又 y1 ? 12 x1 , y2 ? 12 x2 ,
2

??????6 分

??????7 分

y2 ? y1 ( x ? x2 ) , x2 ? x1

??????8 分

2

所以 y ?

12 ( x ? x2 ) ? y2 , y2 ? y1 yy 12 x? 1 2 y2 ? y1 y2 ? y1
2

??????9 分

?
2

??????10 分

因为 y1 y2 ? 144 x1 x2 ? 144 , 且 y1 , y2 同号,所以 y1 y2 ? 12 , 所以 y ?

??????11 分

12 ( x ? 1) , y2 ? y1

??????12 分

所以,直线 A?B 恒过定点 (1, 0) .
高二数学(理科)试卷参考答案及评分标准

??????13 分
第 4 页(共 5 页)

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 22. 解: (Ⅰ)由 ? ? y ? x ?1
解得 x ? 0 或 x ? ?

得 3x 2 ? 4 x ? 0 ,

4 , 3 4 3 1 3

??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

所以 A, C 两点的坐标为 (0,1) 和 (? , ? ) , 所以 AC ?

4 2. 3

(Ⅱ)①若 B 是椭圆的右顶点(左顶点一样) ,则 B( 2, 0) , 因为 OB ? 3 OP , P 在线段 OB 上,所以 P(

4 2 2 ,??6 分 , 0) ,求得 AC ? 3 3
??????7 分

所以 ?OAC 的面积等于

? 4 2 2 4 ? ? = . 2 3 3 9

②若 B 不是椭圆的左、右顶点,设 AC : y ? kx ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? m, ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,
2 2 2

??????8 分

x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 2 4km x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

所以, AC 的中点 P 的坐标为 (? 所以 B(?

2km m , 2 ), 2 2k ? 1 2 k ? 1

??????9 分

6km 3m , 2 ) ,代入椭圆方程,化简得 2k 2 ? 1 ? 9m2 . ?????10 分 2 2k ? 1 2 k ? 1
2 2 1 ? k 2 2k 2 ? 1 ? m 2 ????11 分 2k 2 ? 1
??????12 分

2 2 计算 AC ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?

8 1? k 2 = . 9m
因为点 O 到 AC 的距离 d O ? AC ?

m 1? k 2



??????13 分

所以, ?OAC 的面积 S?OAC ?

m ? 8 1? k 2 4 ? ? ? . AC ? dO ? AC ? ? 2 9m 2 1? k 2 9
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综上, ?OAC 面积为常数

4 . 9

??????14 分

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