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2.1-导数的概念及几何意义(理)


导数的概念与几何意义
一. 教学内容 导数的概念与几何意义 1. 导数的概念 设函数 y ? f ( x) 在 x0 及其近旁有定义,用 ?x 表示 x 的改变量,于是对应的函数值改变量为

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果极限 ?x?0 ?x ?x?0 ?x 存在极限,则称函数 y ? f ( x) 在点 lim

x0 处可导,此极限值叫函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y ? x ? x0
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x 称为函数 y ? f ( x) 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率, 函数 y ? f ( x) 在点 x0
处的导数即平均变化率当 ?x ? 0 时的极限值。 2. 导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在一点 x0 的导数等于函数图形上对应点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线斜率,即 tan? ? f ?( x0 ) ,其中

? 是过 P0 ( x0 , y0 ) 的切线的倾斜角,过点 P0 ( x0 , y0 ) 的切线方程为
y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 )
3. 导数的物理意义 函数 y ? f ( x) 在 x0 的导数是函数在该点处平均变化率的极限, 即瞬时变化率, 若函数 f ( x) 表示运动路程, 则 f ?( x0 ) 表示在 x0 时刻的瞬时速度。 4. 导函数的概念 如果函数 f ( x) 在开区间 (a , b) 内每一点都可导, 就说 f ( x) 在 (a , b) 内可导, 这时, 对于开区间 (a , b) 内 每个确定的值 x0 都对应一个确定的导数 f ?( x0 ) ,这就在 (a , b) 内构成一个新的函数,此函数就称为 f ( x) 在

(a , b) 内的导函数,记作 f ?( x) 或 y ?(或y ? x ) ,即

f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

而当 x 取定某一数值 x ? x0 时的导数是上述导函数的一个函数值。

导数与导函数概念不同,导数是在一点处的导数

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ,导函数是某一区间

(a , b) 内的导数,对 x ? (a , b)

f ?( x) ? lim ?
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x
1

导函数是以 (a , b) 内任一点 x 为自变量, 以 x 处的导数值为函数值的函数关系, 导函数反映的是一般规律, 而 x 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。

【典型例题】

1 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 2 lim ? x f ( x ) ? a y ? f ( x ) ? x ? 0 0 ?x [例 1] 已知函数 在 0 处存在导数 ,求 。
1 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 1 2 ? lim ? (? ) ?x ?0 1 2 ? ?x 2 解:上式 1 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 2 1 1 ? ? lim ? ?x 2 ?x ?0 2
1 t ? ? ?x 2 ,当 ?x ? 0 时, t ? 0 令
??

上式

f ( x0 ? t ) ? f ( x0 ) 1 1 1 ? ? f ?( x0 ) ? ? a lim 2 t?0 2 2 t

[例 2] 已知 f ( x) ? 解: ?y ?

x ,求导函数 f ?( x)

x ? ?x ? x

?y ? ?x

x ? ?x ? x ( x ? ?x) ? x ? ? ?x ?x( x ? ?x ? x )
1 x ? ?x ? x ? 1 2 x

1 x ? ?x ? x

f ?( x) ? l i m
?x ?0

注:利用定义求导数的步骤 (1)求函数增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x (2)求平均变化率 ?x
?y (3)取极限 ?x ?0 ?x lim

[例 3] 已知曲线 C: y ? 3x ? x 及点 P(2 , 2) ,则过点 P 可向 C 引切线条数为(
3



A. 0

B. 1

C. 2

D. 3
2

2 解:设切点 Q( x0 , y0 ) 则切线 l 的方程为: y ? y0 ? (3 ? 3x0 )(x ? x0 )

即 y ? 3x0 ? x0 ? (3 ? 3x0 )(x ? x0 )
3 2 2 3 y ? (3 ? 3x0 ) x ? 2x0

由点 P(2 , 2) 在直线 l 上,故 2 ? (3 ? 3x0 ) ? 2 ? 2 x0
2 3 2 x0 ? 3 x0 ?2?0 2 ( x0 ? 1)(x0 ? 2x0 ? 2) ? 0

3

x0 ? 1 或 x0 ? 1 ? 3 或 x0 ? 1 ? 3
所以过点 P 向 C 可引三条切线
y

P(2,2) 0 x

3


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