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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.1.1 曲线与方程》导学案


§ 2.1.1 曲线与方程(1)
学习目标
1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P34~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:画出函数 y ? 2 x2 (?1 ? x ? 2) 的图象.

复习 2:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线,并写出其方

程.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写出它的方程.
问题:能否写成 y ? x ,为什么?

新知:曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线 C 与一个二元方程 F ( x, y) ? 0 之间, 如果具有以下两个关系: 1.曲线 C 上的点的坐标,都是 的解; 2.以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点,都是 的点, 那么,方程 F ( x, y) ? 0 叫做这条曲线 C 的方程; 曲线 C 叫做这个方程 F ( x, y) ? 0 的曲线.

注意:1? 如果??,那么??; 2? “点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的两种说法; 4? 曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的. 试试: 1.点 P(1, a) 在曲线 x2 ? 2 xy ? 5 y ? 0 上,则 a=___ .

2.曲线 x2 ? 2 xy ? by ? 0 上有点 Q(1, 2) ,则 b =



新知:根据已知条件,求出表示曲线的方程.

※ 典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程式是 xy ? ?k .

变式:到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程是 y ? 5 ? 0 吗?

例 2 设 A, B 两点的坐标分别是 (?1, ?1) , (3,7) ,求线段 AB 的垂直平分线的方程.

变式:已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是 A(0,3) , B(?2,0) , C (2,0) .中线 AO ( O 为 原点)所在直线的方程是 x ? 0 吗?为什么?

反思: BC 边的中线的方程是 x ? 0 吗? 小结:求曲线的方程的步骤: ①建立适当的坐标系,用 M ( x, y) 表示曲线上的任意一点的坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? {M | p(M )} ; ③用坐标表示条件 P ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ;

④将方程 f ( x, y) ? 0 化为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

※ 动手试试 练 1.下列方程的曲线分别是什么? x2 x?2 (1) y ? (2) y ? 2 (3) y ? a log x x ? 2x

a

x

练 2.离原点距离为 2 的点的轨迹是什么?它的方程是什么?为什么?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.曲线的方程、方程的曲线;
2.求曲线的方程的步骤: ①建系,设点; ②写出点的集合; ③列出方程; ④化简方程; ⑤验证.

※ 知识拓展
求轨迹方程的常用方法有:直接法,定义法,待定系数法,参数法,相关点法(代入法) , 交轨法等.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 与曲线 y ? x 相同的曲线方程是( A. y ?
x x
2

) .

B. y ? x 2 D. y ? 2log2 x

???? ??? ? ??? ? 2.直角坐标系中,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC = ? OA + ? OB ,其中 ? , ? ? R , ? + ? = 1 , 则点 C 的轨迹为 ( ) . A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 3. A(1,0) , B(0,1) ,线段 AB 的方程是( ) . A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) 5 4.已知方程 ax 2 ? by 2 ? 2 的曲线经过点 A(0, ) 和点 B(1,1) ,则 a = ,b = . 3 PA 1 5 . 已 知 两 定 点 A(? 1 , 0, B(2,0) , 动 点 p 满 足 ) ? ,则点 p 的轨迹方程 PB 2 是 .

C. y ? 3 x 3

课后作业
1. 点 A(1, ?2) , B(2, ?3) , C(3,10) 是否在方程
x 2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线上?为什么?

2 求和点 O(0,0) , A(c,0) 距离的平方差为常数 c 的点的轨迹方程.


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