高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.1.1 曲线与方程》导学案

§ 2.1.1 曲线与方程（1）
学习目标
1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．

学习过程
一、课前准备 （预习教材理 P34~ P36，找出疑惑之处） 复习 1：画出函数 y ? 2 x2 (?1 ? x ? 2) 的图象．

复习 2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方

程．

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题：能否写成 y ? x ，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线 C 与一个二元方程 F ( x, y) ? 0 之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线 C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程 F ( x, y) ? 0 叫做这条曲线 C 的方程； 曲线 C 叫做这个方程 F ( x, y) ? 0 的曲线．

注意：1? 如果??，那么??； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点 P(1, a) 在曲线 x2 ? 2 xy ? 5 y ? 0 上，则 a=___ ．

2．曲线 x2 ? 2 xy ? by ? 0 上有点 Q(1, 2) ，则 b =

．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※ 典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程式是 xy ? ?k ．

变式：到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程是 y ? 5 ? 0 吗？

例 2 设 A, B 两点的坐标分别是 (?1, ?1) ， (3,7) ，求线段 AB 的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是 A(0,3) ， B(?2,0) ， C (2,0) ．中线 AO （ O 为 原点）所在直线的方程是 x ? 0 吗？为什么？

反思： BC 边的中线的方程是 x ? 0 吗？ 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用 M ( x, y) 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? {M | p(M )} ； ③用坐标表示条件 P ，列出方程 f ( x, y) ? 0 ；

④将方程 f ( x, y) ? 0 化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

※ 动手试试 练 1．下列方程的曲线分别是什么？ x2 x?2 (1) y ? (2) y ? 2 (3) y ? a log x x ? 2x

a

x

练 2．离原点距离为 2 的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升 ※ 学习小结 1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤： ①建系，设点； ②写出点的集合； ③列出方程； ④化简方程； ⑤验证．

※ 知识拓展
求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法） ， 交轨法等．

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
）.

※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：

1. 与曲线 y ? x 相同的曲线方程是（ A． y ?
x x
2

） ．

B． y ? x 2 D． y ? 2log2 x

???? ??? ? ??? ? 2．直角坐标系中，已知两点 A(3,1) ， B(?1,3) ，若点 C 满足 OC = ? OA + ? OB ，其中 ? ， ? ? R ， ? + ? = 1 ， 则点 C 的轨迹为 ( ) ． A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 3． A(1,0) ， B(0,1) ，线段 AB 的方程是（ ） ． A． x ? y ? 1 ? 0 B． x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) C． x ? y ? 1 ? 0 D． x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) 5 4．已知方程 ax 2 ? by 2 ? 2 的曲线经过点 A(0, ) 和点 B(1,1) ，则 a = ，b = ． 3 PA 1 5 ． 已 知 两 定 点 A(? 1 , 0， B(2,0) ， 动 点 p 满 足 ) ? ，则点 p 的轨迹方程 PB 2 是 ．

C． y ? 3 x 3

课后作业
1． 点 A(1, ?2) ， B(2, ?3) ， C(3,10) 是否在方程
x 2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线上？为什么？

2 求和点 O(0,0) ， A(c,0) 距离的平方差为常数 c 的点的轨迹方程．