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【数学】1.2.2 充要条件 课件(人教A版选修2-1)


第一章 常用逻辑用语

1.2.2 充要条件

问题提出 1.充分条件与必要条件的含义分别是 什么? 如果“p ? q”,则称p是q的充分条件, 且q是p的必要条件. 2.对于两个语句,p可能是q的充分条 件,p也可能是q的必要条件,除此以外 p与q之间的逻辑关系还有哪些可能?

课题引入

p:整数a是6的倍数, q:整数a是2和3的倍数. p是q的什么条件? q又是p的什么条件?

探究(一):充要条件的含义
一般地,如果既有p ? q, 又有q ? p, 就记作p ? q.此时,我们说,p是q的 充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p ? q, 那么p与q互为充要 条件.

概念辨析

例1、下列各组语句中,p是q的什么条件? (1)p:a>0,b>0,q:a+b>0; 充分 (2)p:四边形的四条边相等, q:四边形是正方形; 必要 (3)p:|x|<1,q:-1<x<1; 充要 2>b2. (4)p:a>b,q:a

既不充分也不必要

探究(二):充分、必要条件的分类
若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件;

p ,则p是q的充分不必

p ? q,则p是q的必要不充 ? p



p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件
,则p是q的既不

? 若p ? q ,且 q ? ? 充分也不必要条件.

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法

1、直接用定义判断
若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件; 若

p ,则p是q的充分不必

p ? q,则p是q的必要不充 ?

p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件

? 若p ? q ,且 q ? ? 充分也不必要条件.

p

,则p是q的既不

例2、 下列各题中,那些p是q的充要条件. (1)p:b=0, 充要条件 q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2)p:x>0,y>0,q:xy>0; 充分非必要条件 (3)p:a>b,q:a+c>b+c; 充要条件 (4)p:两直线平行; q:两直线的斜率相等. 既不充分也不必要条件

探究(三):判断充分条件、必要条件的方法 如何从原命题和逆 1、直接用定义判断 命题的真假性理解 上述四种关系?

若 p ? q ,且 q ? ? 要条件; 若 p ? q ,且 分条件; 若

p ,则p是q的充分不必

p ? q,则p是q的必要不充 ?

p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件

? 若p ? q ,且 q ? ? 充分也不必要条件.

p

,则p是q的既不

2、利用命题的四种形式进行判定 p是q的充分不必要条件, 原命题为真逆命题为假; p是q的必要不充分条件, 原命题为假逆命题为真; p是q的充要条件, 原命题、逆命题都为真; p是q的既不充分也不必要条件,

原命题、逆命题都为假.

例3、给出下列四个结论 若a, b ? R, 则“a 2 ? b 2 ? 0” ①
是“a, b全不为0”的充要条件; 若a, b ? R, 则“a 2 ? b 2 ? 0”



是“a, b不全为0”的充要条件; x ? y 是x ? y或x ? ? y的充要条件;
2 2

③ ? ? ?是 tan? ? tan ?的充分不必要条件。 ④ 其中正确的序号是 ② __________

3、利用集合的关系判定

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q}

1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件 2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件
1) B 2) A A B

B且 B 3)若 A?????????????????A,则称p是q的既不充分也不必要条件

4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A B A =B

3 )

4 )

练习
1、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6,则p是q的( B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N” 是“x∈M∩N”的 (B )

A.充要条件
C .充分不必要

B .必要不充分条件
D .不充分不必要

3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(
A.a<3 C.a2<9 B.|a|<2 D.0<a<2

A)

4、利用双箭头的传递判定(或称图像法)
由于逻辑联结符号“ ”、“?”、“?”具有传递性, ? 因此可根据几个条件之间的关系,经过若干次的传递 判断所要判断的两个条件之间的依存关系。
4、(2004.重庆)已知p是r的充分不必要条件,s是r 的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的 ( A ) A充分非必要条件 C充要条件 B必要非充分条件 D既非充分又非必要条件

5、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充 分条件,则 (1)s是q的什么条件? 充要条件 (2)r是q的什么条件? 充要条件 (3)P是q的什么条件?必要不充分条件 6、若A是B的必要而不充分条件,C是 B的充要条件,D是C的充分而不必要 充分不必要条件 条件,那么D是A的________

例4、已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线 l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的 充要条件.
【解题回顾】充要条件的证明一般分 两步:证充分性即证A =>B, O

证必要性即证B=>A
一定要使题目与证明中的叙述一致

l

P

A

分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明 充分性 p ? q 和必要性 q ? p 即可

小结

1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是q 的充分不必要条件或p是q的充要条件;同样, p是q的必要条件也包括两种可能,即p是q的 必要不充分条件或p是q的充要条件.
2.关于充要条件命题的证明,一般分充分性和 必要性两个方面进行,其中由条件推出结论就是 充分性,由结论推出条件就是必要性.

小结

3.充要条件是一种等价关系,许多数 学问题的求解,就是求结论成立的充要 条件. 在判断p是q的什么条件时,要 “正逆互推,注意特例”.


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