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立体几何


第一讲

空间几何体

一、选择题 1.给出下列三个命题: ①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱;②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体;③底面是正三角形,各侧面都 是等腰三角形的三棱锥是正棱锥.其中正确的命题有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) 7 2 11 2 2 2 A.π a B. π a C. π a D.5π a 3 3 3.已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的侧(左)视图可能为

4.(2011·陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是 ( ) 2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 5.(2011·湖北)设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合适的是( ) A.V1 比 V2 大约多一半 B.V1 比 V2 大约多两倍半 C.V1 比 V2 大约多一倍 D.V1 比 V2 大约多一倍半 6.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体 BDA1C1,这个正四面体的体积是正方体体积的 1 1 2 1 A. B. C. D. 2 3 3 4 7.(2012·江西)如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点, 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面部分的 体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图象大致为( )

(

)

二、填空题 8.正三角形 AOB 的边长为 a,在画它的水平放置的直观图时,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它 的直观图的面积是________. 9.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3,则其外接球的表面积是________. 10.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最 长的一条棱的长为________. 11. (2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主) 视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主) 视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是________. 3 12.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= ,EF 与面 AC 的距离为 2, 2 则该多面体的体积是________. 三、解答题 13.(2011·辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA, 1 QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. 14.下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B—CEPD 的体积.

答案 1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 6 2 15 8. a 9.9π 10.2 3 11.3 12. 16 2 13.(1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= PD,则 PQ⊥QD. 2 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解 设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, 1 3 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高, 2 2 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 a , 2 1 3 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 14.解 (1)该组合体的三视图如图所示.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,PD? 平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又∵平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC? 平面 ABCD. ∴BC⊥平面 PDCE.∵PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD, ∴PD⊥DC.又∵EC∥PD,PD=2,EC=1, ∴四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积: 1 1 S 梯形 PDCE= (PD+EC)·DC= ×3×2=3, 2 2 1 1 ∴四棱锥 B—CEPD 的体积 VB—CEPD= S 梯形 PDCE·BC= ×3×2=2. 3 3


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