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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第七章 7.2


数学

北(理)

§7.2 基本不等式
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件: a≥0,b≥0 . (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab

(a,b∈R). b a (2)a+b≥ 2 (a,b 同号). ?a+b? ? ?2 (3)ab≤? ? (a,b∈R). 2 ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 2 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
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3.算术平均数与几何平均数

a+b (1)设 a≥0,b≥0,则 a,b 的算术平均数为 2 ,几
何平均数为 ab . (2)基本不等式可叙述为: 两个非负数的算术平均数不小

于 它们的几何平均数;也可以叙述为:两个正数的等
差中项不小于它们的等比中项.

基础知识

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)若 x+y=s(和为定值), 则当 x=y 时, 积 xy 取得最大 s2 值 ; 4 (2)若 xy=p(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最 小值 2 p.

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) ×(3) × (4) × (5) × (6) √

解析

C D C
-2

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)已知 x>0,y>0,且 1 1 2x+y=1,则x+ y的最小值为 ________; 2x (2)当 x>0 时, 则 f(x)= 2 的 x +1 最大值为________.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)已知 x>0,y>0,且 1 1 2x+y=1,则x+ y的最小值为 ________; 2x (2)当 x>0 时, 则 f(x)= 2 的 x +1 最大值为________.

利用基本不等式求最值可以 先对式子进行必要的变 1 1 换 . 如 第 (1) 问 把 x + y 中 的 “1”代换为“2x+y”, 展开 后利用基本不等式;第 (2)问 把函数式中分子分母同除 “x”,再利用基本不等式.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)已知 x>0,y>0,且 1 1 2x+y=1,则x+ y的最小值为 ________; 2x (2)当 x>0 时, 则 f(x)= 2 的 x +1 最大值为________.

(1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1,

1 1 2x+y 2x+y ∴ + = + x y x y y 2x =3+x+ y ≥3+2 2. y 2x 当且仅当x= y 时,取等号. (2)∵x>0, 2x 2 2 ∴f(x)= 2 = 1≤2=1, x +1 x+x 1 当且仅当 x=x ,即 x=1 时取等号.
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题型一 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)已知 x>0,y>0,且 1 1 2x+y=1,则x+ y的最小值为
3+2 2 ; ________

(1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1,

2x (2)当 x>0 时, 则 f(x)= 2 的 x +1 最大值为________ . 1

1 1 2x+y 2x+y ∴x+ y= x + y y 2x =3+x+ y ≥3+2 2. y 2x 当且仅当x= y 时,取等号. (2)∵x>0, 2x 2 2 ∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+x 1 当且仅当 x=x,即 x=1 时取等号.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)已知 x>0,y>0,且 1 1 2x+y=1,则x+ y的最小值为
3+2 2 ; ________

(1)利用基本不等式求函数最值 时,注意 “ 一正、二定、三相 等,和定积最大,积定和最 小”.

2x (2)当 x>0 时, 则 f(x)= 2 的 x +1 最大值为________ . 1

(2)在求最值过程中若不能直接 使用基本不等式,可以考虑利 用拆项、配凑、常数代换、平 方等技巧进行变形,使之能够 使用基本不等式.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 x y (1)已知正实数 x,y 满足 xy=1,则(y +y)· (x+x)的


最小值为________ 4 . x y (2)已知 x,y∈R , 且满足 + =1, 则 xy 的最大值为________ 3 . 3 4
x y y2 x2 解析 (1)依题意知,( +y)( +x)=1+ + +1 y x x y y2 x2 ≥2+2 × =4,当且仅当 x=y=1 时取等号, x y x y 故(y+y)· (x+x)的最小值为 4. x y xy (2)∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 , 3 4 12

x y ∴xy≤3.当且仅当3=4时取等号.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 2-1) C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 ____________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x 思维启迪 解析 答案 思维升华 +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) 对不等式恒成立问题可首先 B.(-∞,2 2-1) 考虑分离题中的常数, 然后通 C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) 过求最值得参数范围. x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 ____________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 2-1) C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 ____________.
基础知识 题型分类

(1)由 f(x)>0 得 32x-(k+1)· 3x + 2>0,
x

2 2 x 解得 k+1<3 + x, 而 3 + x≥2 2 3 3 2 x (当且仅当 3 =3x, 即 x=log3 2时, 等号成立), ∴k+1<2 2,即 k<2 2-1.
(2)对任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立, x2+ax+11 即 ≥3 恒成立, x+1 8 即知 a≥-(x+ )+3. x
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 2-1) C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 ____________.
基础知识 题型分类

8 设 g(x)=x+x,x∈N+, 17 则 g(2)=6,g(3)= . 3
17 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= 3 . 8 8 ∴-(x+ x)+3≤-3, 8 ∴a≥-3, 8 故 a 的取值范围是[-3,+∞).
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题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( B ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 2-1) C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 8 [ - ,+∞) ____________ . 3
基础知识 题型分类

8 设 g(x)=x+x,x∈N+, 17 则 g(2)=6,g(3)= . 3
17 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= . 3 8 8 ∴-(x+x)+3≤- , 3 8 ∴a≥- , 3 8 故 a 的取值范围是[- ,+∞). 3
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 不等式与函数的综合问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( B ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 2-1) C.(-1,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) x2+ax+11 (2) 已 知 函 数 f(x) = x+1 (a∈R), 若对于任意 x∈N+, f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 8 [ - ,+∞) ____________ . 3
基础知识 题型分类

(1)a>f(x)







?

a>(f(x))max, a<f(x)恒成立?a<(f(x))min;

(2) 求最值 时要注 意 其中变 量的条件,有些不能用基本 不等式的问题可考虑利用函 数的单调性.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 跟踪训练 2 若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )成立, 2
2

则 a 的最小值是

(

)

5 A.0 B.-2 C.- D.-3 2 a 2 解析 方法一 设 f(x)=x +ax+1,则对称轴为 x=- . 2 a 1 当- ≥ ,即 a≤-1 时, 2 2 1 1 5 f(x)在(0, )上是减函数,应有 f( )≥0?a≥- , 2 2 2
5 ∴- ≤a≤-1. 2 a 1 当- ≤0,即 a≥0 时,f(x)在(0, )上是增函数, 2 2

应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 跟踪训练 2 若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )成立, 2
2

则 a 的最小值是 A.0 B.-2 5 C.- 2 D.-3
a 1 当 0<- < ,即-1<a<0 时, 2 2 a a2 a2 a2 应有 f(- )= - +1=1- ≥0 恒成立, 2 4 2 4 故-1<a<0.

(

)

5 综上,a≥- ,故选 C. 2 1 方法二 当 x∈(0,2)时,不等式 x2+ax+1≥0 恒成立转化为 1 a≥-(x+ x)恒成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 跟踪训练 2 若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )成立, 2
2

则 a 的最小值是 A.0 B.-2 5 C.- 2 D.-3

( C )

1 1 又 φ(x)=x+x在(0, )上是减函数, 2 1 5 ∴φ(x)min=φ( )= , 2 2 1 5 ∴[-(x+ )]max=- , x 2

5 ∴a≥-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

基本不等式的实际应用
某单位决定投资 3 200
思维启迪 解析 思维升华

元建一仓库(长方体状),高度恒 定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅, 每米长造价 40 元, 两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 顶部每平方米造价 20 元,求: 仓库面积 S 的最大允许值是多 少?为使 S 达到最大, 而实际投 资又不超过预算, 那么正面铁栅 应设计为多长?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

基本不等式的实际应用
某单位决定投资 3 200
思维启迪 解析 思维升华

元建一仓库(长方体状),高度恒 定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅, 每米长造价 40 元, 把铁栅长、砖墙长设为未知数, 两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 由投资 3 200 元列等式,利用基 顶部每平方米造价 20 元,求:

本不等式即可求解.

仓库面积 S 的最大允许值是多 少?为使 S 达到最大, 而实际投 资又不超过预算, 那么正面铁栅 应设计为多长?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

基本不等式的实际应用
某单位决定投资 3 200
思维启迪 解析 思维升华

元建一仓库(长方体状),高度恒



设铁栅长为 x 米, 一侧砖墙长

定,它的后墙利用旧墙不花钱, 为 y 米,则顶部面积 S=xy, 正面用铁栅, 每米长造价 40 元, 依题设, 两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 得 40x+2×45y+20xy=3 200, 顶部每平方米造价 20 元,求: 仓库面积 S 的最大允许值是多 少?为使 S 达到最大, 而实际投 资又不超过预算, 那么正面铁栅 应设计为多长?
基础知识 题型分类

由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y+20xy =120 xy+20xy=120 S+20S,

则 S+6 S-160≤0,

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

基本不等式的实际应用
某单位决定投资 3 200
思维启迪 解析 思维升华

元建一仓库(长方体状),高度恒 定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅, 每米长造价 40 元,

即( S-10)( S+16)≤0,
故 0< S≤10,从而 0<S≤100,

两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 所以 S 的最大允许值是 100 平方 顶部每平方米造价 20 元,求: 米,取得此最大值的条件是 仓库面积 S 的最大允许值是多 少?为使 S 达到最大, 而实际投 资又不超过预算, 那么正面铁栅 应设计为多长?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

40x=90y 且 xy=100, 解得 x=15,

即铁栅的长应设计为 15 米.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

基本不等式的实际应用
某单位决定投资 3 200
思维启迪 解析 思维升华

元建一仓库(长方体状),高度恒

在审题和建模时一 定,它的后墙利用旧墙不花钱, 对实际问题,
正面用铁栅, 每米长造价 40 元, 定不可忽略对目标函数定义域 两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 的准确挖掘, 一般地, 每个表示 顶部每平方米造价 20 元,求: 仓库面积 S 的最大允许值是多 少?为使 S 达到最大, 而实际投 资又不超过预算, 那么正面铁栅 应设计为多长?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

实际意义的代数式必须为正, 由

此可得自变量的范围, 然后再利 用基本不等式求最值.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 x 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天 8 的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用 之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 ( B )

解析

(1)设每件产品的平均费用为 y 元,
800 x x · 8=20.

800 x 由题意得 y= x +8≥2

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B. x 8
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (2)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第 p+q 一次提价 p%, 第二次提价 q%; 方案乙: 每次都提价 %, 若 p>q>0, 2 则提价多的方案是________ 乙 .

(2)设原价为 1,则提价后的价格为 p+q 2 方案甲:(1+p%)(1+q%),方案乙:(1+ 2 %) ,

解析

1+p% 1+q% p+q 因为 ?1+p%??1+q%?≤ 2 + 2 =1+ 2 %, p+q 且 p>q>0,所以 ?1+p%??1+q%?<1+ 2 %, p+q 2 即(1+p%)(1+q%)<(1+ 2 %) ,
所以提价多的方案是乙.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列7
值是 24 A. 5

忽视基本不等式等号成立的条件致误
( )

典例:(10 分)(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小 28 B. C.5 D.6 5 3 (2)函数 y=1-2x-x(x<0)的最小值为________. 解 析 易 错 分 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列7
值是 24 A. 5

忽视基本不等式等号成立的条件致误
( )

典例:(10 分)(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小 28 B. C.5 D.6 5 3 (2)函数 y=1-2x-x(x<0)的最小值为________. 解 析 易 错 分 析

温 馨 提 醒

(1)对 x+3y 运用基本不等式得 xy的范围,再对 3x+4y 运用基本 不等式,利用不等式的传递性得最值;

3 (2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得 2x+ ≥2 6. x

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列7
值是 24 A. 5

忽视基本不等式等号成立的条件致误
( C )

典例:(10 分)(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小 28 B. C.5 D.6 5 3 1+2 6 . (2)函数 y=1-2x-x(x<0)的最小值为________ 解 析 易 错 分 析 温 馨 提 醒 1 3 1 3 (1)由 x+3y=5xy 可得 + =1,所以 3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 5y 5x 9 4 3x 12y 13 3x 12y 13 12 =5+5+5y+ 5x ≥ 5 +2 5y· 5x = 5 + 5 =5, 1 当且仅当 x=1,y=2时取等号,故 3x+4y 的最小值是 5. 3 3 3 (2)∵x<0,∴y=1-2x-x =1+(-2x)+(-x )≥1+2 ?-2x?· =1+2 6, -x 6 当且仅当 x=- 2 时取等号,故 y 有最小值 1+2 6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列7
值是 24 A. 5

忽视基本不等式等号成立的条件致误
( C )

典例:(10 分)(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小 28 B. C.5 D.6 5 3 1+2 6 . (2)函数 y=1-2x-x(x<0)的最小值为________ 解 析 易 错 分 析

温 馨 提 醒

(1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;

(2)尽量避免多次使用基本不等式, 若必须多次使用, 一定要保证等 号成立的条件一致.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将 “积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于 比较数(式)的大小或证明不等式, 解决问题的关键 是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本 不等式的切入点.

方 法 与 技 巧

2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且 还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等, a+b 2 a2+b2 a+b 例 如 : ab≤( )≤ , ab ≤ ≤ 2 2 2 a2+b2 (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式 2 成立的条件和等号成立的条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.使用基本不等式求最值,“一正、二定、三相等” 三个条件缺一不可.

2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条 件一致.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3

( B )

解析 ∵0<x<1,∴1-x>0.
?x+1-x? ? ?2 3 ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? = . 4 2 ? ? ?

1 当且仅当 x=1-x,即 x=2时取等号.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( C ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4

1 1 解析 f(x)=x+ =x-2+ +2. x-2 x-2 ∵x>2,∴x-2>0. 1 1 ∴f(x)=x-2+ +2≥2 ?x-2?· +2=4, x-2 x-2

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,“=”成立. x-2 又 f(x)在 x=a 处取最小值.∴a=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的 平均时速为 v,则 A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 B.v= ab a+b D.v= 2 ( A )

s s 解析 设甲、乙两地相距 s,则小王往返两地用时为a+b, 2s 2ab 从而 v= s s = . a+b + a b a+b 2ab 2ab ∵0<a<b,∴ ab< 2 , > =a, a+b 2b 2 1 2ab ∴ < ,即 < ab,∴a<v< ab. a+b ab a+b
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 4.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则a+b的最小值是 1 A. B. 1 C.4 D.8 4

( C )

?a+b=1 ? 解析 由 a>0,b>0,ln(a+b)=0 得?a>0 ? ?b>0 1 1 a+b 1 1 1 故a+b= ab =ab≥ = =4. a+b 2 1 2 ? 2 ? ?2? 1 当且仅当 a=b= 时上式取“=”. 2
基础知识 题型分类 思想方法

.

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5
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5.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 ( ) ? 1? 1 2 A.lg?x +4?>lg x(x>0) B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x ? ? 1 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 2 >1(x∈R) x +1 x+y + 解析 应用基本不等式:x,y∈R , ≥ xy(当且仅当 x 2
=y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等 号的条件.
1 1 当 x>0 时,x + ≥2· x·=x, 4 2 ? 1? 2 所以 lg?x +4?≥lg x(x>0),故选项 A 不正确; ? ?
2

基础知识

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思想方法

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A组
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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 ( C ) ? 1? 1 2 A.lg?x +4?>lg x(x>0) B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x ? ? 1 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 2 >1(x∈R) x +1
运用基本不等式时需保证一正二定三相等,
而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;

由基本不等式可知,选项 C 正确;
1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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5
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1 1 6. 设 x, y∈R, 且 xy≠0, 则(x + 2)( 2+4y2)的最小值为________ . 9 y x
2

1 1 1 2 解析 (x +y2)(x2+4y )=5+x2y2+4x2y2 1 ≥5+2 x2y2· 4x2y2=9,
2

1 当且仅当 x y = 时“=”成立. 2
2 2

基础知识

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专项基础训练
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p 7.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞) x-1 9 4 上的最小值为 4,则实数 p 的值为________ .

p 解析 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ +1≥2 p+1, x-1 当且仅当 x= p+1 时取等号, 因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4, 9 所以 2 p+1=4,解得 p= . 4

基础知识

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专项基础训练
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8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购 买, 每次购买的运费为 2 万元, 一年的总存储费用数值(单位: 万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存 储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是_______.

解析 设每次购买该种货物 x 吨, 200 200 400 则需要购买 x 次,则一年的总运费为 x ×2= x ,一年的
总存储费用为 x,
400 所以一年的总运费与总存储费用为 +x≥2 x 400 当且仅当 x =x,
基础知识 题型分类 思想方法

400 · x=40, x

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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购 买, 每次购买的运费为 2 万元, 一年的总存储费用数值(单位: 万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存

20 . 储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是_______
即 x=20 时等号成立,
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该 种货物 20 吨.

基础知识

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思想方法

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A组
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专项基础训练
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2 9.(1)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值; 5 8 2 (2)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求x+y的最小值.

1 解 (1)y=2x-5x =x(2-5x)=5· 5x· (2-5x). 2 ∵0<x<5,∴5x<2,2-5x>0, 5x+2-5x 2 ∴5x(2-5x)≤( ) =1, 2 1 ∴y≤5,当且仅当 5x=2-5x, 1 1 即 x= 时,ymax= . 5 5
2

基础知识

题型分类

思想方法

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A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.(1)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值; 5 8 2 (2)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求x+y的最小值.

(2)∵x>0,y>0,且 x+y=1,
8 2 8 2 8y 2x ∴x+y=(x +y )(x+y)=10+ x + y ≥10+2 8y 2x x· y =18,

8y 2x 2 1 当且仅当 x = y ,即 x=3,y=3时等号成立,

8 2 ∴ + 的最小值是 18. x y
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三 级污水处理池, 池的深度一定(平面图如图所示), 如果池四周 围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元 /米,池底建造单价为 80 元/平方米,水池所有墙的厚度忽略 不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低 总造价; (2)若由于地形限制, 该池的长和宽都不能超过 16 米, 试设计 污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
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162 解 (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 x 米. 2×162 总造价 f(x)=400×(2x+ x )+248×2x+80×162 1 296×100 100 =1 296x+ +12 960=1 296(x+ x )+12 960 x

≥1 296×2

100 x· +12 960=38 880(元), x

100 当且仅当 x= (x>0),即 x=10 时取等号. x
∴当污水处理池的长为 16.2 米, 宽为 10 米时总造价最低, 总造价最低为 38 880 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

? ?0<x≤16 81 (2)由限制条件知? 162 ∴ ≤x≤16. 8 0< x ≤16, ? ? 81 100 81 设 g(x)=x+ x ( 8 ≤x≤16), g(x)在[ 8 ,16]上是增函数,

81 162 ∴当 x= 时(此时 =16), 8 x
g(x)有最小值,即 f(x)有最小值, 81 800 即为 1 296×( + )+12 960=38 882(元). 8 81 81 ∴当污水处理池的长为 16 米,宽为 8 米时总造价最低, 总造价最低为 38 882 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

m 3 1 1.已知 a>0,b>0,若不等式 -a-b≤0 恒成立,则 m 的 3a+b 最大值为 A.4 B.16 C.9 D.3 ( B )

m 3 1 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 3a+b a b 3 1 3b 3a m≤(a+b)(3a+b)=10+ a + b 恒成立. 3b 3a 3b 3a 因为 a + b ≥2 a· b =6, 3b 3a 当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16, a b 所以 m≤16,即 m 的最大值为 16,故选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 xy 2 1 2 ( B ) z 取得最大值时,x+y - z 的最大值为 9 A.0 B. 1 C. D.3 4

解析 由已知得 z=x2-3xy+4y2

(*)

xy xy 1 则 = 2 = ≤1, 当且仅当 x=2y 时取等号, z x -3xy+4y2 x 4y y+ x -3 把 x=2y 代入(*)式,得 z=2y2,
?1 ? 2 1 2 1 1 1 所以x+y- z =y+y-y2=-? y-1?2+1≤1. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy +b(x+y),其中 a,b 为正实数,已知 1*2=4,则 ab 取最大 值时 a 的值为
解析

1

.

∵1*2=4,∴2a+3b=4

∵2a+3b≥2

2 6ab,∴ab≤3.

当且仅当 2a=3b,即 a=1 时等号成立,

2 所以当 a=1 时,ab 取最大值 . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.(1)若正实数 x、y 满足 2x+y+6=xy,求 xy 的最小值. x2+7x+10 (2)求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1 解 (1)xy=2x+y+6≥2 2xy+6,令 xy=t2,

可得 t2-2 2t-6≥0,注意到 t>0,解得 t≥3 2, 故 xy 的最小值为 18. (2)设 x+1=t,则 x=t-1(t>0),
?t-1?2+7?t-1?+10 4 ∴y= =t+ t +5≥2 t 4 t· t +5=9.

4 当且仅当 t= t ,即 t=2,且此时 x=1 时,取等号, ∴ymin=9.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内 (以 30 天计), 第 t 天(1≤t≤30,t∈N+)的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 1 f(t)=4+ t ,而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)=120-|t -20|. (1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30, t∈N+)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 解 (1)W(t)=f(t)g(t)=(4+ t )(120-|t-20|) 100 ? 1≤t≤20, ?401+4t+ t , =? ?559+140-4t, 20<t≤30. t ? 100 (2)当 t∈[1,20] 时,401+4t+ t ≥401+2

100 4t· t =441

(t=5 时取最小值).
140 当 t∈(20,30]时,因为 W(t)=559+ t -4t 递减, 2 所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)=4433,
所以 t∈[1,30] 时,W(t)的最小值为 441 万元.
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