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高中数学基础知识归类(文)


高中数学查漏补缺 高中数学查漏补缺
——献给 2009 年高三 ——献给 2009 年高三(文科)考生
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如: {x | y = lg x} —函数的定义域; { y | y = lg x} —函数的值域。 ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A .②空集是任何集合的子集,记为 2.集合的性质: ? ? A .③空集是任何非空集合的真子集;注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A = ? 的 情况,如: A = {x | ax 2 ? 2 x ? 1 = 0} ,如果 A ∩ R + = ? ,求 a 的取值.(答: a ≤ 0 ) ④ A ∩ B = A ? A ∪ B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ∩ CU B = ? ? CU A ∪ B = R . ⑤ A ∪ B 元素的个数: card ( A ∪ B ) = cardA + cardB ? card ( A ∩ B ) . ⑥含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ;真子集(非空子集)个数为 2n ? 1 ;非空真子集个数为 2n ? 2 . 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 3.补集思想
2 2 如:已知函数 f ( x) = 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p + 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使

f (c) > 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: (?3, ) )
4.原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆 否的两个命题是等价的.如: sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的 “ 条件.(答:充分非必要条件) 5.若 p ? q 且 q ≠> p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件). 否定形式 否命题的区别: 命题 p ? q 的否定形式 p ? ?q ;否命 否定形式 6.注意命题 p ? q 的否定形式 否定形式与它的否命题 否命题 否定形式是 否命 ; 题是 ?p ? ?q .命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. “若 a 和 b 都是偶数,则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a + b 是奇数” 如: 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a + b 是奇数”. 7.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成 立 对任何 x ,不 成立 否定 不是 个 不都是 个 不大于 个 不小于 个 存 在 某 x ,不成立 存 在 某 x ,成立 至多有 n 至少有 n 至多有一 个 至 多 有 n ?1个 至 少 有 n +1个 ?p 且 ?q 原结论 至少有一 有 至少有两 否定 一个也没
2

3

p或q p且q

?p 或 ?q

二.函数 1.①映射 f : A → B 是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合 A 中的元素必有象且 A 中不 1. 同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 C ? B ). ②一一映射 f : A → B ⑴“一对一”的对应;⑵ A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象. 2.函数 f : A → B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函数图像 2. 与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 > 0 ,底数 4. > 0 且 ≠ 1 ;零指数幂的底数 ≠ 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合函数 f [ g ( x)] 定 义域由 a ≤ g ( x) ≤ b 解出;若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ∈ [a, b] 时 g ( x) 的值域.
高中数学(文科)查漏补缺第 1 页(共 12 页)

5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新元的 5. 范围).④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑤不等式法; ⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域;⑧判别式法(慎 用) :⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配凑)法; ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法 等;⑵若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) = f (? x) = f (| x |) ;定义域含零的奇函数必过原点( f (0) = 0 ); ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x) ± f (? x) = 0 或
f (? x) f ( x)

= ±1( f ( x) ≠ 0) ;

注意: 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个 (如 f ( x ) = 0 定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 如:函数 y = log 1 (? x 2 + 2 x) 的单调递增区间是 _____________ .(答: (1, 2) )
2

③函数 y = f ( x) 与 y = f (? x) 的图像关于直线 x = 0 ( y 轴)对称; 函数 y = f ( x) 与函数 y = f (? x) 的

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换:左右平移----“左加右减” (注意是针对 x 而言) ; 8. 上下平移---- 上加下减” “ (注意是针对 f ( x ) 而言).⑵翻折变换:f ( x) →| f ( x) | ;f ( x) → f (| x |) . ⑶对称变换:①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然.

图 像 关 于 直 线 y = 0 ( x 轴 ) 对 称 ; ④ 若 函 数 y = f ( x) 对 x ∈ R 时 , f (a + x) = f (a ? x) 或

f ( x) = f (2a ? x) 恒 成 立 , 则 y = f ( x) 图 像 关 于 直 线 x = a 对 称 ; 若 y = f ( x) 对 x ∈ R
时 , f (a + x) = f (b ? x) 恒 成 立 , 则 y = f ( x) 图 像 关 于 直 线 x =
a+b 2

对 称 ; ⑤ 函 数 y = f ( x) 与
m n 2 2

y = ? f (? x) 的图像关于原点成中心对称; 函数 y = f ( x) , y = n ? f ( m ? x) 的图像关于点 ( , ) 对
称;⑥函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( x) 的图像关于直线 y = x 对称。 9.函数的周期性:y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f ( x + a ) = ? f ( x) 或 f ( x + a ) = ± 为 2 | a | ;若 y = f ( x) 的周期为 T,则 f ( x + kT ) = f ( x ) , k ∈ Z 。 10. 10.对数:⑴对数恒等式 a loga N = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) ; log a 1 = 0, log a a = 1( a > 0, a ≠ 1) 。 (2) log a ( M ? N ) = log a M + log a N ;log a
1 M N
1 f ( x)
?1

,则 y = f ( x) 的周期

= log a M ? log a N ;log a M n = n log a M ;
log b N log b a

log a n M = log a M ; (3)对数换底公式 log a N =
n

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) ;

推论: log a b ? log b c ? log c a = 1 ? log a1 a2 ? log a2 a3 ? ? ? log an?1 an = log a1 an . (以上 M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, a1 , a2 ,? an > 0 且 a1 , a2 ,? an 均不等于 1 ) 11. 11.方程 k = f ( x) 有解 ? k ∈ D ( D 为 f ( x) 的值域); a ≥ f ( x) 恒成立 ? a ≥ [ f ( x)]最大值 ,

a ≤ f ( x) 恒成立 ? a ≤ [ f ( x)]最小值 .
12.恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程根的分布问题; 12. 13. 二次函数在闭区间上必有最值, 求最值问题用 “两看法” : 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合; 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ;②顶点式: 14.

f ( x) = a ( x ? h) 2 + k (a ≠ 0) ; ③零点式: f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )(a ≠ 0) . 15. 15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? > 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
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16.复合函数:复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17.对于反函数,应掌握以下一些结论:⑴定义域上的单调函数必有反函数;⑵奇函数的反函数 也是奇函数;⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;⑷周期函数不存在反函数; ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性;⑹ y = f ( x) 与 y = f ?1 ( x) 互为 反函数,设 f ( x) 的定义域为 A ,值域为 B ,则有 f [ f ?1 ( x)] = x( x ∈ B ) , f ?1[ f ( x)] = x( x ∈ A) . 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题: ? f (a) ≥ 0 ? f (a) ≤ 0 f (u ) = g ( x)u + h( x) ≥ 0 (或 ≤ 0 ) (a ≤ u ≤ b) ? ? (或 ? ); ? f (b) ≥ 0 ? f (b) ≤ 0 19.函数 y = ax + b (c ≠ 0, ad ≠ bc) 的图像是双曲线:①两渐近线分别是直线 x = ? d (由分母为零
cx + d c

确定)和直线 y =

a (由分子、分母中 c

x

的系数确定);②对称中心是点 (? d , a ) ;③反函数为 c c

y = b ? dx ;
cx ? a

20. 20.函数 y = ax + (a > 0, b > 0) :增区间为 (?∞, ?
x

b

b a

],[

b a

, +∞ ) ,减区间为 [?

b a

,0),(0,

b a

].

如:已知函数 f ( x) =

ax + 1 x+2

在区间 (?2, +∞ ) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 _____ (答:

( , +∞) ).
2

1

三.数列

? S1 ( n = 1) ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符合 1.由 1. Sn 求 an , an = ? * ? S n ? S n ?1 (n ≥ 2, n ∈ N ) ?
要单独列出.如:数列 {an } 满足 a1 = 4, S n + S n +1 = an +1 ,求 an (答: an =
3 5

2.等差数列 {an } ? an ? an ?1 = d ( d 为常数) ? 2an = an +1 + an ?1 (n ≥ 2, n ∈ N *) 2.

{

4(n = 1) ). 3 ? 4n ?1 (n ≥ 2)

? an = an + b(a = d , b = a1 ? d ) ? S n = An 2 + Bn( A = , B = a1 ? ) ;
2 2

d

d

3.等差数列的性质: ① an = am + (n ? m)d , d = 3.

am ? a n m?n



② m + n = l + k ? am + an = al + ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当 m + n = 2 p 时 , 有

am + an = 2a p ;
③若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan + tbn } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④等差数列的 “间隔相等的连续等长片断和序列” Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,?? 仍是等差数列; 即 ⑤首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等 ? an ≥ 0 ? an ≤ 0 式? (或 ? ).也可用 Sn = An 2 + Bn 的二次函数关系来分析. an +1 ≤ 0 an +1 ≥ 0 ? ? 4.等比数列 {an } ?
an +1 an
2 = q(q ≠ 0) ? an = an ?1an +1 (n ≥ 2, n ∈ N *) ? an = a1q n ?1 .

5.等比数列的性质 5. n?m ① an = am q ,②若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列; ③ S n = ? a (1 ? q n ) ? 1
? 1? q ? ? na 1 (q = 1) ?na 1 (q = 1) ? ;④ m + n = l + k ? am an = al ak (反之不一 = ? a1 n a1 a ?a q q + ( q ≠ 1) = 1 n (q ≠ 1) ?? 1? q 1? q ? 1? q

定成立); ⑤等比数列中 Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,?? (注:各项均不为 0)仍是等比数列. 注 6.①如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { Aan } ( Aan 总有意义)是等比数列;如果数列 {an } 是等比
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数列,则数列 {log a | an |}(a > 0, a ≠ 1) 是等差数列; ②若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非 零常数数列; ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列, 且新数列的 公差是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他 们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④三个数成等差的设法: a ? d , a, a + d ;四个数成等差的设法: a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ; 三个数成等比的设法: , a, aq ;四个数成等比的错误设法:
q a a q
3

, , aq, aq 3 (为什么?)
q

a

7.数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. ? S1 ,( n = 1) ⑵已知 Sn (即 a1 + a2 + ? + an = f (n) )求 an 用作差法: an = ? . ? S n ? S n ?1 ,(n ≥ 2) ? f (1),(n = 1) ? ⑶已知 a1 ? a2 ? ? ? an = f (n) 求 an 用作商法: an = ? f ( n) . ,(n ≥ 2) ? f ( n ? 1) ? ⑷若 an +1 ? an = f (n) 求 an 用迭加法. ⑸已知

an +1
an

= f (n) ,求 an 用迭乘法.

⑹已知数列递推式求 an ,用构造法(构造等差、 等比数列): 形如 an = kan ?1 + b , an = kan ?1 + b n , ①形如

an = kan ?1 + a ? n + b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列
后,再求 an .②形如 an = 形如
an ?1 kan ?1 + b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法:①公式法:等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加;④ 错 位 相 减 ; ⑤ 分 裂 通 项 法 . 公 式 :

1 + 2 + 3 + ? + n = n(n + 1)
2

1



12 + 22 + 32 + ? + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) ;13 + 23 + 33 + ? + n3 = [
6

1

n ( n + 1) 2
1

]2 ;1 + 3 + 5 + ? + n = n 2 ;常
= [
2 n + n ?1
1 1 2 n ( n + 1)

见裂项公式
n ( n + 1)!

1
n ( n + 1)
1

=

1
n

?

1
n +1



1
n(n + k )

= ( ?
k n

1 1

1
n+k

);
2

n ( n ? 1)( n + 1)

?

1 ( n + 1)( n + 2)

];

=

1 n!

?

( n + 1)!

。常见放缩公式: 2( n + 1 ? n ) =

n +1 + n

<

1 n

<

= 2( n ? n ? 1) .

、 9.“分期付款”“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指” ,细心 计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 常选用“ 常选用 统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期 利率为 r ,则 n 期后本利和为: Sn = p (1 + r ) + p (1 + 2r ) + ? p (1 + nr ) = p (n +
n ( n + 1) 2

r ) (等差数列问

题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清.如果每期利 率为 r (按复利) ,那么每期等额还款 x 元应满足: p(1 + r ) n = x(1 + r ) n ?1 + x(1 + r ) n ? 2 + ? + x(1 + r ) + x (等比数列问题). 四.三角函数 α α 1. α 终边与 θ 终边相同 ? α = θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; 终边与 θ 终边共线 ? α = θ + kπ (k ∈ Z ) ; 终 边 与 θ 终 边 关 于 x 轴 对 称 ? α = ?θ + kπ (k ∈ Z ) ; α 终 边 与 θ 终 边 关 于 y 轴 对 称

? α = π ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? α = π + θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; α 终边与 θ 终边关于角 β 终边 对称 ? α = 2 β ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) . 2. 弧 长 公 式 : l =| θ | r ; 扇 形 面 积 公 式 :

1 0 ?1 ? 2

2

2

1 0

1 1 0

?1 ? 2

0 ?1 + cos α

高中数学(文科)查漏补缺第 4 页(共 12 页) sin α

?1
sin α ? cos α

1 1 S扇形 = lr = | θ | r 2 ; 1 弧度( 1rad )≈ 57.3° . 2 2

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀: 一全二正弦,三切四余弦”. “一全二正弦 三切四余弦” 一全二正弦, 3. 注意: tan15° = cot 75° = 2 ? 3 ; tan75° = cot15° = 2 + 3 ; 4.三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹 sin x ± cos x 、 sin x ? cos x ”的关系. 4. 如 (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2sin x cos x 等. 5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;(注意:公式中始终视 α 为锐角) 5. ... . ... . 6.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等 6. 变换.如: α = (α + β ) ? β ; 2α = (α + β ) + (α ? β ) ; 2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) ; α + β = 2 ?
α +β
2 2 2

α +β
2



β α 2 2 “ = (α ? ) ? ( ? β ) 等; 1 ”的变换: 1 = sin x + cos x = tan x ? cot x = 2sin 30° = tan 45° ;

7.重要结论: a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) 其中 tan ? = 7.

b a

) ;重要公式 sin2 α = 1 ? cos2α ;
2

cos 2 α =

1 + cos 2α 2

; tan

α
2

=

sin α 1 + cos α
2

=

1 ? cos α sin α

; 1 ± sin θ = (cos ± sin )2 =| cos ± sin | .
2 2 2 2
2

θ

θ

θ

θ

万能公式: sin 2α =

2 tan α 1 + tan α

; cos 2α =

1 ? tan α 1 + tan α
2

; tan 2α =
π
2

2 tan α 1 ? tan α
2

.
kπ ? ?

8.正弦型曲线 y = A sin(ω x + ? ) 的对称轴 x = 余弦型曲线 y = A cos(ω x + ? ) 的对称轴 x =

kπ +

??

ω

( k ∈ Z ) ;对称中心 (
kπ +

ω
??

,0)(k ∈ Z ) ;

π
2

kπ ? ?

ω

(k ∈ Z ) ;对称中心 (

ω

,0)( k ∈ Z ) ;
c

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿 忘三内角和等于 180° ,一般用正、余弦定理实施边角互化;正弦定理: 余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,cos A = 面积公式: S? = ab sin C =
2
B+C
b +c ?a
2 2 2

a

sin A

=

b

sin B

=

sin C

= 2R ;

2bc

=

(b + c ) ? a
2

2

2bc

?1 ;

1

abc



10. ?ABC 中, A + B + C = π ,① sin A = sin( B + C ) , cos A = ? cos( B + C ) , tan A = ? tan( B + C ) . ② sin
A

4R

1 ( a +b+ c ) r ;射影定理: a 2

= b cos C + c cos B .

2

= cos

2

, cos

A

2

= sin
π
2

B+C

2

, tan

A

2

= cot

B+C

.

2

③ a > b ? A > B ? sin A > sin B

④锐角 ?ABC 中, A + B >

, sin A > cos B, cos A < cos B , a 2 + b 2 > c 2 ,类比得钝角 ?ABC 结论.
π π

⑤ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . 11.角的范围:异面直线所成角 (0, ] ;直线与平面所成角 [0, ] ;二面角和两向量的夹角 [0, π ] ;
2 2

直线的倾斜角 [0, π ) ; l1 到 l2 的角 [0, π ) ; l1 与 l2 的夹角 (0, ] .注意术语:坡度、仰角、俯角、方位
2

π

角等. 五.平面向量 1. a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) . (1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 = 0 ;(2) a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . 2.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一 2. 向量 a ,有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 3.设 3. a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 则 a ? b =| a || b | cos θ = x1 x2 + y1 y2 ;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长
高中数学(文科)查漏补缺第 5 页(共 12 页)

度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影 | a | cosθ =

a ? b x1 x2 + y1 y2 . = 2 2 |b| x2 + y2
AB | AB |

4.三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线;与 AB 共线的单位向量 ± 4. 5.平面向量数量积性质:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 cosθ = 5.

.

a ?b = | a || b |

x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 x2 + y2

;注 注

意: ? a, b? 为锐角 ? a ? b > 0 , a, b 不同向;? a, b? 为直角 ? a ? b = 0 ;? a, b? 为钝角 ? a ? b < 0 , a, b 不 反向.

b b 6. a、 同向或有 0 ?| a + b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a ? b | ; a、 反向或有 0
?| a ? b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a + b | ; a ? b 不共线 ? | a | ? | b | <| a ± b |<| a | + | b | .
7.平面向量数量积的坐标表示:⑴若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 ; 7.

| AB |= ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 ;

⑵若 a = ( x, y ) ,则 a = a ? a = x 2 + y 2 .

2

8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点 P 在线段 P1 P2 上时, λ > 0 ;当点 P 在线段 P1 P2 (或 8.

P2 P1 ) 延 长 线 上 时 , λ < ? 1 或 ?1 < λ < 0 . ② 分 点 坐 标 公 式 : 若 P P = λ PP2 ; 且 1
P ( x1 , y1 ) , P ( x, y ) P2 ( x2 , y2 ) ; 1

? ?x = ? 则? ?y = ? ?

x1 + x2 ? ?x = 2 ? 1+ λ (λ ≠ ?1) , 中点坐标公式: ? (λ = 1) . y1 + λ y 2 ? y = y1 + y 2 ? 1+ λ ? 2 ③ P , P , P2 三点共线 ? 存在实数 λ 、 ? 使得 OP = λ OP + ? OP2 且 λ + ? = 1 . 1 1
AB | AB |

x1 + λ x2

9.三角形中向量性质:① AB + AC 过 BC 边的中点: ( 9.
1

+

AC | AC |

)⊥(

AB | AB |

?

AC | AC |

);

② PG = ( PA + PB + PC ) ? GA + GB + GC = 0 ? G 为 ?ABC 的重心;
3

③ PA ? PB = PB ? PC = PA ? PC ? P 为 ?ABC 的垂心; ④ | BC | PA+ | CA | PB + | AB | PC = 0 ? P 为 ?ABC 的内心; λ (
AB | AB |

+

AC | AC |

)(λ ≠ 0) 所在直线过

?ABC 内心.
10.

P ( x , y ) ? 按 a =?, k? 移 → P ′ ( x ′ , y ′ ) ? (h )平 ?

? x′ = x + h ,有 ? ( PP′ = a ) ; ? y′ = y + k

按a = ( h , k ) 平移 y = f ( x) ????? y ? k = f ( x ? h) . →
六.不等式 1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: 1. ①若 ab > 0 , b > a ,则 论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注 2. 意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.
2 2 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式:若 a, b > 0 ,则 a + b ≥ a + b ≥ ab ≥ 3.

1 a

>

1 b

.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨

2

2

a = b 时取等号)使用条件: 一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等;(2) a, b, c ∈ R , 使用条件: 使用条件 “ ,
高中数学(文科)查漏补缺第 6 页(共 12 页)

2 (当且仅当 1+1 a b

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( 当 且 仅 当 a = b = c 时 , 取 等 号 ) ; (3) 公 式 注 意 变 形 如 :
a +b
2 2

2

≥(

a+b 2

)2 , ab ≤ (

a+b 2

) 2 ;(4)若 a > b > 0, m > 0 ,则 <
a

b

b+m a+m

(真分数的性质); 真分数的性质)

4.含绝对值不等式: a, b 同号或有 0 ?| a + b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a ? b | ; a, b 异号或有 0 4.

?| a ? b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a + b | .
5.证明不等式常用方法:⑴比较法:作差比较: A ? B ≤ 0 ? A ≤ B .注意:若两个正数作差比 较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小;⑵综合法:由因导果;⑶分析法:执果索因.基本步 骤:要证…需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反;⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小 以达证题目的. 放缩法的方法有: ①添加或舍去一些项,如: a 2 + 1 >| a | ; n( n + 1) > n .②将分子或分母放大(或 缩 小 ) ③ 利 用 基 本 不 等 式 , 如 :
k +1 ? k

n ( n + 1)

<

n + ( n + 1) 2
1 k
2

. ④ 利 用 常 用 结 论 : 10
1

=
1

1 k +1 + k

<
1

1 2 k

; 20

1 k

?

1 k +1

=

1 ( k + 1) k

<

<

( k ? 1) k

=

1 k ?1

?

1 k

( 程 度 大 ) ; 30

1 k
2

<

1 k ?1
2

= (

1

2 k ?1

?

k +1

) (程度小);

⑹换元法: 换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角 换 元 、 代 数 换 元 . 如 : 知 x 2 + y 2 = a 2 , 可 设 x = a cosθ , y = a sin θ ; 知 x 2 + y 2 ≤ 1 , 可 设

x = r cosθ , y = r sin θ ( 0 ≤ r ≤ 1 ); 知

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1 ,可设 x = a cos θ , y = b sin θ ; 已知

x a

2 2

?

y b

2 2

= 1 ,可设

x = a secθ , y = b tan θ . ⑺最值法,如: a > f ( x)最大值 ,则 a > f ( x) 恒成立. a < f ( x)最小值 ,则 a < f ( x) 恒成立.
七.直线和圆的方程 1.直线的倾斜角 α 的范围是 [0, π) ; 1. 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k = tan α (α ≠ ) (如右图): 2.
2

k

π

3.直线方程五种形式 点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k , 3.直线方程五种形式:⑴点斜式 直线方程五种形式 点斜式 则直线方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线.⑵斜截 斜截

O

° π α

已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k , 则直线方程为 y = kx + b ,它不包括垂直于 x 轴的直线. 式: ⑶两点式 两点式:已知直线经过 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 两点式 1
y ? y1 y2 ? y1

=

x ? x1 x2 ? x1

,它不包括垂直
x y b

于坐标轴的直线.⑷截距式 截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为 + 截距式
a

= 1 ,它不

包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式 一般式:任何直线均可写成 Ax + By + C = 0 ( A, B 不同 一般式 时为 0)的形式. 提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式 提醒 呢?)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线 过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ±1 或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线 的位置关系: 4.直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的位置关系 ⑴平行 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 (斜率)且 B1C2 ? B2 C1 ≠ 0 (在 y 轴上截距); ⑵相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 ;(3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 B1C2 ? B2 C1 = 0 .

5.直线系方程:①过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .交点的直线系方程 5. 可设为 A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ; ②与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线系方程可设为 Ax + By + m = 0(m ≠ c) ;③与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay + n = 0 . 6.到角和夹角公式: l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 到角和夹角公式 ⑴
高中数学(文科)查漏补缺第 7 页(共 12 页)

θ , θ ∈ (0, π ) 且 tan θ =

k 2 ? k1 1 + k1k 2

(k1k2 ≠ ?1) ;
π
k 2 ? k1 1 + k1k 2

⑵ l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 θ ,θ ∈ (0, ] 且 tan θ =|
2

| (k1k2 ≠ ?1) .


7.点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式 d =

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

. A2 + B 2 x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ); 8.设三角形 ?ABC 三顶点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则重心 G ( 1 3 3 9.有关对称的一些结论 ⑴点 (a, b) 关于 x 轴、 y 轴、原点、直线 y = x 的对称点分别是 (a, ?b) , (? a, b) , (? a, ?b) , (b, a ) . ⑵曲线 f ( x, y ) = 0 关于下列点和直线对称的曲线方程为:①点 (a, b) : f (2a ? x, 2b ? y ) = 0 ; ② x 轴: f ( x, ? y ) = 0 ;③ y 轴: f (? x, y ) = 0 ;④原点: f (? x, ? y ) = 0 ;⑤直线 y = x : f ( y, x) = 0 ;⑥直线 y = ? x : f (? y, ? x) = 0 ;⑦直线 x = a : f (2a ? x, y ) = 0 . 10. 10.⑴圆的标准方程: ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 .
2 2 2 2

两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离是 d =

C1 ? C2

⑵圆的一般方程:
E 2 1 2

x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0) .特别提醒 特别提醒:只有当 D 2 + E 2 ? 4 F > 0 时,方程 特别提醒 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 才表示圆心为 (? , ? ) ,半径为
2 D D + E ? 4 F 的圆(二元二次方程
2 2

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆 ? A = C ≠ 0 ,且 B = 0, D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 ).
? x = a + r cos θ ⑶圆的参数方程:? ( θ 为参数),其中圆心为 (a, b) ,半径为 r .圆的参数方程主要应 ? y = b + r sin θ 用是三角换元: x 2 + y 2 = r 2 → x = r cosθ , y = r sin θ .
⑷以 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ; 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P ( x0 , y0 ) 及圆的方程

( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 .① ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 ? 点 P 在圆外;
② ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 < r 2 ? 点 P 在圆内;③ ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 ? 点 P 在圆上. 12. 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 点 P ( x0 , y0 ) 在 圆 x 2 + y 2 = r 2 上 , 则 过 点 P 的 切 线 方 程 为 :

x0 x + y0 y = r 2

; 过 圆

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2
2

上 一 点

P ( x0 , y0 )

切 线 方 程 为

( x0 ? a)( x ? a ) + ( y0 ? b)( y ? b) = r . 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x 轴垂直的直 线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形 解决弦长问题.① d > r ? 相离 ② d = r ? 相切 ③ d < r ? 相交。 15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 d ,两圆的半径分别为 r , R : > R + r ? 两圆相离; = R + r ? 两圆相外切; | R ? r |< d < R + r ? d d 两圆相交; d =| R ? r |? 两圆相内切; d <| R ? r |? 两圆内含; d = 0 ? 两圆同心.
16. 过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 , C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 交点的圆(相交弦) 系方程为 ( x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 ) + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 . λ = ?1 时为两圆相交弦所在直 线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用 平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距 17. 平面几何性质的作用 构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 18.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写 出目标函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程
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x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上 任 一 点 , 焦 点 为 a 2 b2 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,则 PF1 = a + ex0 , PF2 = a ? ex0 (“左加右减”); 左加右减”
1. 椭 圆 焦 半 径 公 式 : 设 P ( x0 , y0 ) 为 椭 圆

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上 任 一 点 , 焦 点 为 a 2 b2 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,则:⑴当 P 点在右支上时, | PF1 |= a + ex0 ,| PF2 |= ? a + ex0 ;⑵当 P 点在左支上
2. 双 曲 线 焦 半 径 : 设 P ( x0 , y0 ) 为 双 曲 线 时, | PF1 |= ? a ? ex0 , | PF2 |= a ? ex0 ;( e 为离心率).另:双曲线 程为

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线方 a 2 b2

x2 y2 ? = 0. a 2 b2 3.抛物线焦半径公式:设 P ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上任意一点, F 为焦点,则 3.

| PF |= x0 +

p 2

; y 2 = ?2 px( p > 0) 上任意一点, F 为焦点,则 | PF |= ? x0 +
b

p 2

.

4.共渐近线 y = ± x 的双曲线标准方程为
a

x2 y 2 ? = λ ( λ 为参数, λ ≠ 0 ). a 2 b2

5.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 或 AB = 1 + k 2 | x1 ? x2 |
= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 1 +
2

? y = kxc + b 1 消 | y1 ? y2 | (弦端点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由方程 ? 2 k ? F ( x, y ) = 0
2b a
2

去 y 得到 ax + bx + c = 0 , ? > 0 , k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想; 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 双曲线 ,焦准距为 p =
b
2

c

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦点到渐近线的距离为 b ; a2 b2 8. 中 心 在 原 点 , 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 , 双 曲 线 方 程 可 设 为 Ax 2 + By 2 = 1 ( 对 于 椭 圆 A > 0, B > 0 );
2 9.抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB , A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,则有如下结

论: ⑴ | AB |= x1 + x2 + p ;⑵ x1 x2 = 10. 10.椭圆
p
2

4

, y1 y2 = ? p 2 ; ⑶

1 | AF |

+

1 | BF |

=

2 p

.

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 左焦点弦 | AB |= 2a + e( x1 + x 2 ) ,右焦点弦 | AB |= 2a ? e( x1 + x 2 ) . a2 b2 y2 11. 11.对于 y 2 = 2 px( p ≠ 0) 抛物线上的点的坐标可设为 ( 0 , y0 ) ,以简化计算. 2p
遇到中点弦问题常用 韦达定理” “点差法” 求解.在椭圆 12.圆锥曲线中点弦问题: 圆锥曲线中点弦问题: “韦达定理” 点差法” 或 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k = ? 弦所在直线斜率 k =

x2 y2 + =1 a2 b2

b 2 x0 x2 y 2 ;在双曲线 2 ? 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的 a 2 y0 a b

b 2 x0 ;在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 a 2 y0

k=

p y0

.

13.求轨迹方程的常用方法: ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) = 0 ,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即 可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则
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可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法):当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到, 也没有相关动点可用时,可考虑将 x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普 通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论: 解析几何与向量综合的有关结论: ⑴给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = (m, n) .等于已知直线的斜率 k 或 ⑵给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; ⑶给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ⑷给出 AP + AQ = λ ( BP + BQ ) ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;
n m



⑸给出以下情形之一: ① AB // AC ;
⑹给出 OP =
OA + λ OB 1+ λ

②存在实数 λ ,使 AB = λ AC ; ③若存在实数 α , β ,

且 α + β = 1 ;使 OC = α OA + β OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, λ 为定比,即 AP = λ PB

⑺给出 MA ? MB = 0 ,等于已知 MA ⊥ MB ,即 ∠AMB 是直角,给出 MA ? MB = m < 0 ,等于已 知 ∠AMB 是钝角或反向共线,给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是锐角或同向共线. ⑻给出 λ (
MA
| MA |

+

MB
| MB |

) = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线.

⑼在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ? ( AB ? AD ) = 0 ,等于已知 ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形.

⑾在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形的外心是外接
圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).

2

2

2

⑿在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角 形三条中线的交点). ⒀在 ?ABC 中,给出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角 形的垂心是三角形三条高的交点).
⒁在 ?ABC 中,给出 OP = OA + λ (
AB
| AB |

+

AC
| AC |

) (λ ∈ R + ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心.

⒂在 ?ABC 中,给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). ⒃在 ?ABC 中,给出 AD = ( AB + AC ) ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线.
2 1

九.直线、平面、简单几何体 直线、平面、 1.从一点 O 出发的三条射线 OA 、 OB 、 OC .若 ∠AOB = ∠AOC ,则点 A 在平面 BOC 上的射影 1. 在 ∠BOC 的平分线上; 竖横斜三角余弦公式:(图略) AB 和平面所成的角是 θ1 , AC 在平面内, AC 和 AB 的射影 AB1 2.竖横 成 θ 2 ,设 ∠BAC = θ3 ,则 cosθ1 cos θ 2 = cosθ 3 ; 3.异面直线所成角的求法:⑴平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平 行线.⑵补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目 的在于容易发现两条异面直线间的关系; 4.直线与平面所成角:过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键. ⑴定义法; ⑵三垂线法; ⑶垂面法; ⑷射影法: 利用面积射影公式 S射 = S斜 cosθ 5.二面角的求法: 其中 θ 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角; 6.空间距离的求法:⑴两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出
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公垂,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关 键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 求异面直线所成的角:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方向向 7.用向量方法求空间角和距离:⑴求异面直线所成的角 用向量方法求空间角和距离: 求异面直线所成的角 量,则两异面直线所成的角 α = arccos
| a ?b | | a |?|b|

.⑵求线面角 求线面角:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 α 的 求线面角
|l?n| |l |?| n |

法向量,则斜线 l 与平面 α 所成的角 α = arcsin

. ⑶求二面角 n1 , n2 是二面角 α ? l ? β 的两 求二面角设 求二面角

个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角 α ?l ? β 的平面角

α = arccos

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

.(4)求点面距离:设 n 是平面 α 的法向量,在 α 内取一点 B ,则 A 到 α 的距离 (4)求点面距离: 求点面距离

d =| AB || cos θ |=

| AB ? n | (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). |n| 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 θ ,则 S侧 cosθ = S底 . 8.
① 全 面 积 S = 3a 2 ; ② 体 积 V =
2 12

9.正四面体( 的性质: 9.正四面体(设棱长为 a )的性质: 正四面体

a3 ; ③ 对 棱 间 的 距 离 d =
6 12

2 2

a ;④相邻面所成二面角

α = arccos ;⑤外接球半径 R =
3

1

6 4

a ;⑥内切球半径 r =

a ;⑦正四面体内任一点到各面距离之

和为定值 h =

6 3

a.
4 3

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.球的体积公式 V = π R 3 ,表面积公式 S = 4π R 2 ;掌握球面上两点 A 、 B 间的距离求法: ⑴计算线段 AB 的长;⑵计算球心角 ∠AOB 的弧度数;⑶用弧长公式计算劣弧 AB 的长. 十.排列组合和概率、统计 排列组合和概率、 计数原理-排列组合-二项式定理-概率与计算-统计-应用(应用题) 计数原理-排列组合-二项式定理-概率与计算-统计-应用(应用题)
m 1. 排 列 数 公 式 : An = n(n ? 1)? (n ? m + 1) =

n! m !( n ? m )!

(m ≤ n, m, n ∈ N *) , 当 m = n 时 为 全 排 列

n An = n ! .
m 2.组合数公式: Cn = 2. m An n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) 0 n = (m ≤ n) , Cn = Cn = 1 . m ! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

m n r r r 3.组合数性质: Cn = Cn ? m ; Cn + Cn ?1 = Cn +1 . 3. 4.排列组合主要解题方法:①优先法 捆绑法(相邻问题); 4. ①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先;②捆绑法 捆绑法 插空法(不相邻问题) ;④间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合 间接扣除法; ③插空法 间接扣除法 条件的所有情况去掉)⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法 多排问题单排法; 相同元素分组可采用隔板法 相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分配,每部 多排问题单排法 分至少有一个) ;⑦先选后排,先分再排 先选后排, 涂色问题(先分步考虑至某一步时 先选后排 先分再排(注意等分分组问题);⑧涂色问题 涂色问题 再分类).⑨分组问题 分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n ! . 分组问题 平均分成 n n +1 n r r +1 5.常用性质: n ? n! = (n + 1)!? n! ;即 nAn = An +1 ? An ; Crr + Crr+1 + ? ?? + Cn = Cn +1 (1 ≤ r ≤ n) ; r 6.二项式定理: ⑴掌握二项展开式的通项: Tr +1 = Cn a n ? r b r (r = 0,1, 2,..., n) ; ⑵注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 项系数的区别. 7.二项式系数具有下列性质:⑴与首末两端等距离的二项式系数相等;⑵若 n 为偶数,中间一项

(第 + 1 项)的二项式系数最大; n 为奇数,中间两项(第 若
2

n

n ?1 2

+1和

n +1 2

+ 1 项)的二项式系数最

0 1 2 n 0 2 1 3 大.⑶ Cn + Cn + Cn + ?? ? + Cn = 2n ; Cn + Cn + ? ?? = Cn + Cn + ?? ? = 2n ?1 . 8.二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求 8.

高中数学(文科)查漏补缺第 11 页(共 12 页)

展开式的某些项的系数的和如 f ( x) = (ax + b) n 展开式的各项系数和为 f (1) ,奇数项系数和为
1 2

[ f (1) ? f (?1)] ,偶数项的系数和为 [ f (1) + f (?1)] .
2

1

9. 等 可 能 事 件 的 概 率 公 式 : ⑴ P ( A) =

n m

; ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为:

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ;⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ;⑷独立重复
k 试验概率公式 Pn (k ) = Cn p k (1 ? p )n ? k ;⑸如果事件 A 与 B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A

与 B 也都是互斥事件;⑹如果事件 A 、 B 相互独立,那么事件 A 、 B 至少有一个不发生的概率是 1 ? P( AB ) = 1 ? P ( A) P ( B ) ; (6)如果事件 A 与 B 相互独立,那么事件 A 与 B 至少有一个发生的概率 是 1 ? P ( A ? B ) = 1 ? P( A) P ( B ) . 10. 10.掌握抽样的两种方法:⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);⑵分层抽样(按比例抽 样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点:都是等概率抽样.对于简单随 共同点: 共同点 机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从含有 N 个个体的总体中,采用 随机抽样法,抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 每个个体被抽到的概率为
n N 1 N

,第二次被抽到的概率为

1 N

,…,故

,即每个个体入样的概率为

n N

.

5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量 5. 越大 ,这种估计 就越精确, 要求能画出频 率分布表和频 率分布直方图 ;⑴学会 用样本平均 数

x = ( x1 + x2 + ??? + xn )
n 1 n

1

































S 2 = [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x )2 + ??? + ( xn ? x ) 2 ] 去估计总体方差。
十一.导数 导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题) 导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题 1.导数的定义: f ( x) 在点 x0 处的导数记作 y′
x = x0

= f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?x

?x → 0

.

几何意义是指:曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜 2. 函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 几何意义 率 , 即 曲 线 y = f ( x) 在 点 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ′( x0 ) , 切 线 方 程 为 y ? f ( x0 ) = f ′( x0 )( x ? x0 ) . 3. 常见函数的导数公式: C ′ = 0 ( C 为常数); ( x n )′ = nx n ?1 ( n ∈ Q ) . 4.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ′( x) > 0 ,那么 f ( x) 为增函数; 如果 f ′( x) < 0 ,那么 f ( x) 为减函数; 如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,那么 f ( x) 为常数;

f ′( x) = 0 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y = f ( x) 在这个根处取得极大值;如果左负 右正,那么函数 y = f ( x) 在这个根处取得极小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y = f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;②将 y = f ( x) 在各极 值点的极值与 f ( a) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 考前寄语: 3.考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能小题难做,小题 大做,而要小题小做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;⑤考试不怕题不会,就怕 会题做不对;⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学 解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

(2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ′(x ) ;②求方程 f ′( x ) = 0 的根;③检验 f ′(x ) 在方程

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