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1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)


第 7 课时 平面的基本性质(三)
教学目标:
使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行 共面、共线、共点问题的证明;要通过知识的应用,使学生掌握方法、规律,学会正确 推理,以理服人。

教学重点、难点:共面、共线、共点问题的证明。 教学过程:
一、复习回顾: 三个公理及推论;各个公理及推论的作用。

二、新课讨论: 例 1:直线 AB、BC、CA 两两相交,交点分别为 A、B、C,证明这三条直线共面. [师]空间的几个点和几条直线,如果都在同一个平面内,那么可以简单地说它们 “共面”. 分析:两两相交,是说每两条直线都相交. 此题是让我们证明三条直线共面,我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的, 怎么办呢? [生丙]先由两条直线确定一个平面,再证第三条直线也在这个平面内(学生已作 了预习,回答出这样的思路应该是没有问题的). [师]生丙同学的回答正确吗?若正确,怎样证明第三条直线也在这个平面内呢? [生丁]生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的,要证第三条直线也 在这个平面内,只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了,如图,先由 AB、AC 确定一个平面,由于 B 点、C 点在确定的平面内,根据公理 1 可知,直线 BC 也在这个平 面内. [师]生丁所述有道理吗? [生]有道理,完全正确. [师]下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路,写出此题的证明过程. 证明:∵AB、AC 相交, ∴AB、AC 确定一个平面,设为α ∵B∈AB,C∈AC ∴B∈α ,C∈α ∴BC ? α 因此 AB、AC、BC 都在平面α 内. 即 AB、AC、BC 共面. 注意:确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α 不可,叫成其他如β 、γ 都 行. [师]谁还有其他不同于生丙同学的意见? [生戊]每两条相交直线都能确定一个平面,若能证明这些平面重合,则也能说明 这三条直线共面.
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[师]同学们想一想,生戊同学的思路可行吗?(同学们积极思考,但无人回答, 留出几分钟时间,让同学们继续思考是非常必要的) [生戊]AB、AC 可确定一个平面,AB、BC 也可确定一个平面,由于点 A、B、C 既在第一个平面内,又在第二个平面内.根据公理 3,经过 A、B、C 三点有且只有一个平 面,所以这两个平面重合,即 AB、AC、BC 共面. [师]很好!下面我们根据生戊同学的思路,写出此题的另一种证明. 证明:∵AB、AC 相交 ∴AB、AC 确定一个平面α ∴点 A、B、C∈α ,且不共线 ∵AB、BC 相交 ∴AB、BC 确定一个平面β ∴点 A、B、C∈β ,且不共线 根据公理 3,经过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个平面, ∴面α 与面β 重合 ∴AB、AC、BC 共面. [师]从刚才我们的分析讨论中,可以知道,证明共面问题的方法至少有两种: ①先由某些条件确定一个平面,然后证明其余已知的都在这个平面内. ②所有已知条件确定若干个平面,然后证明这些平面重合. 两种证明方法的关键都在“然后” ,要注意练习掌握.这两种证明方法比较,第一种更 为常用,因为证明若干个平面重合,实在不是一件容易的事情. 希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考,多动脑子去想,办法总会是有的. 下面再来看一个例子. 例 2:如图,已知△ABC 的各顶点在平面α 外,直线 AB、BC、AC 分别交平面α 于 P、Q、 R,求证:P、Q、R 三点共线. 分析:平面几何中证明三点共线是怎样证明的? [生]先由两点确定一条直线,然后证明第三点也在这条直 线上. [师]这里的三点共线能用这种办法证明吗?比如说,连结 点 P、点 Q,得直线 PQ,大家能够证明点 R 也在直线 PQ 上吗? [生己]能!由已知条件可知,直线 PQ 实质上是面 ABC 与 面α 的交线,只要证明点 R 是面 ABC 与面α 的交点,那么 R 必在直线 PQ 上. [生庚]既然这样,只要证明点 P、Q、R 都是面 ABC 与面α 的交点,那么点 P、Q、 R 就共线,它们都在面 ABC 与面α 的交线上. [师]两位同学分析得都很好!在立体几何中,要证明三点共线,只要证明三点都 是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题,思路同样也是这样的. 下面大家一起来写出此题的证明: 证明:∵AB∩α =P ∴P∈AB,P∈平面α 又 AB ? 平面 ABC ∴P∈平面 ABC
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∴由公理 2 可知,点 P 在平面 ABC 与平面α 的交线上 ∴P、Q、R 三点共线 例 3:三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知:平面α 、β 、γ 两两相交于三条直线 l1、l2、l3,且 l1、l2、l3 不平行. 求证:l1、l2、l3 相交于一点 证明:如图,α ∩β =l1,β ∩γ =l2,α ∩γ =l3, ∵l1 ? β ,l2 ? β ,且 l1、l2 不平行 ∴l1 与 l2 必相交,设 l1∩l2=P, ① 则 P∈l1 ? α ,P∈l2 ? γ ∴P∈α ∩γ = l3 ② ∴l1、l2、l3 相交于一点 P. 例 4:已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面. 已知:直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:l 与 a、b、c 共面. 证明:∵a∥b ∴a、b 确定一个平面,设为α 又 l∩a=A,l∩b=B ∴A∈α ,B∈α 又 A∈l,B∈l ∴AB ? α ,即 l ? α 同理 b、c 确定一个平面β ,l ? β . ∴平面α 与β 都过两相交直线 b 与 l. 由推论 2,两条相交直线确定一个平面. ∴α 与β 重合. 故 l 与 a、b、c 共面. 例 5:画出四面体 ABCD 中过 E、F、G 三点的截面。

例 6:如图正方体中,点 C 在与 A、B 不共面的其余 8 条棱上,画出过 A、B、C 三点的 截面。

三、课堂练习: 课本 P28 习题 6.
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四、课堂小结: 本节课我们讨论了平面基本性质——三个公理及其推论的简单应用,讨论了共面、 共线、共点问题的证明,请同学们注意: 对于共面问题的证明,一般地是先由某些条件确定一个平面,然后证明其余已知的 都在这个平面内; 对于点共线问题的证明,只要证明这些点都是某两个平面的公共点即可; 对于线共点问题的证明,一般地是先证明某两条直线相交,然后再证明这个交点在 其余直线上或者证明其余直线过这个交点. 无论怎样的问题的证明、推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏,绝对不能东 拉西扯、杂乱无章. 五、课后作业: 补充: 1.不共点的四条直线两两相交,求证:这四条直线在同一个平面内. 已知:直线 a、b、c、d 两两相交,且不过同一点. (注意:两两相交的意思是,如果 n 条直线两两相交,那么任一条直线与另外(n-1)条直线都相交,都有公共点.) 求证:直线 a、b、c、d 共面. (证明略)

2.如图,AB∩α =P,CD∩α =P,A、D 与 B、C 分别在面α 的两侧,AC∩α =Q, BD∩α =R. 求证:P、Q、R 三点共线. 证明:∵AB∩α =P,CD∩α =P ∴AB∩CD=P ∴AB、CD 可确定一个平面,设为β . ∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD ∴A∈β ,C∈β ,B∈β ,D∈β ∴AC ? β ,BD ? β ,平面α 、β 相交, ∵AB∩α =P,AC∩α =Q,BD∩α =R ∴P、Q、R 三点是平面α 与平面β 的公共点 ∴P、Q、R 都在α 与β 的交线上 故 P、Q、R 三点共线. 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1C 与面 DBC1 交于 O 点,AC、 BD 交于 M, 求证:C1、O、M 三点共线. 证明:∵C1、O、M∈面 BDC1 又 C1、O、M∈面 A1ACC1 由公理 2,C1、O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的 交线上. ∴C1、O、M 三点共线.
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4.已知:a ? α ,b ? α ,a∩b=A,P∈b,PQ∥a, 求证:PQ ? α . 证明:∵PQ∥a,∴PQ、a 确定一个平面,设为β , ∴P∈β ,a ? β ,P ? a 又 P∈α ,a ? α ,P ? a 由推论 1:过 P、a 有且只有一个平面 ∴α 、β 重合. ∴PQ ? α . 5.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AA1、D1C1 的中点, 过 D、M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l, (1)画出 l 的位置; (2)设 l∩A1B1=P,求 PB1 的长. 解: (1)平面 DMN 与平面 AD1 的交线为 DM,设 DM∩D1A1=Q. 则平面 DMN 与平面 A1C1 的交线为 QN. QN 即为所求作的直线 l. (2)设 QN∩A1B1=P. ∵△MA1Q≌△MAD,∴A1Q=AD=a=A1D1 ∴A1 是 QD1 的中点,又 A1P∥D1N 1 1 1 ∴A1P= D1N= C1D1= a 2 4 4 1 3 ∴PB1=A1B1-A1P=a- a= a 4 4 (二)1.预习课本 P24~P25 空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线. 2.预习提纲 (1)空间两条直线的位置关系有几种?各有什么特征? (2)怎样理解两条直线不同在任何一个平面? (3)公理 4 的具体内容是什么? (4)公理 4 用符号语言如何表示?

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