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2014届江门市高考模拟考试一模理科数学


江门市 2014 年高考模拟考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
独立性检验

临界值表

P( K 2 ? k0 )
k0

0.50

0.25

0.10

0.025

0.010

0.005

0.455 1.323 2.706 5.024 6.635 7.879 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ( i 是虚数单位)对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

2.从 2、3、5、7 这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 ) 乙 5 3 4 3 5 2

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f (1) ? ( A. 1 图,由图 1 可知( B. ? 1 ) C. 3 D. ? 3 4.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据整理成如图 1 所示的茎叶 A.甲、乙两队得分的平均数相等 B.甲、乙两队得分的中位数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 D.甲、乙两队得分在 [ 30 , 39 ) 分数段的频率相等

甲 4 6 3 3 6 8 3 7 9 1

2 3 4 5
图1

2 2 3 1

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1 , t ) , OB ? (2 , 2) ,若 ?ABO ? 900 ,则 t ? ( ) A. 2 B. 4 C. 5 B.必要非充分条件 D. 8 C.非充分非必要条件 D.充要条件 6.已知两条不重合直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则“ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ”成立的( ) A.充分非必要条件 7.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面

B1 BCC1 上的动点,并且 A1 F // 平面 AED ) 1 ,则动点 F 的轨迹是(
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 8 .设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 , g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,若实数 a , b 满足

D1

A1 B1

C1
E D

f (a) ? 0 , g (b) ? 0 ,则(
A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)

) B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0
1

A B

C

图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 开始 (一)必做题(9~13 题) 9.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 .
2

k ? 2, S ?1
. .

则命题 p 的否定 ? p : 10.执行如图 3 的程序框图,输出的 S ? 11.定积分

S ? S ? logk (k ? 1)
k ? k ?1 k ?8
否 输出 S 结束 是

?

1 ?1

| x | dx ?



12.已知直线 l 过点 A(2 , 1) 和 B(1 , m 2 ) ( m ? R ) , 则直线 l 斜率的取值范围是 倾斜角的取值范围是 . ,

13.某个部件由三个元件如图 4 方式连接而成,元件 A 或元件 B 正常工作,且元件 C 正常工作,则部件正 常工作.若 3 个元件的次品率均为 ,且各个元件 相互独立,那么该部件的次品率为 .

图3

1 3

A B 图4

C

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的参数方程为 ?

?x ? t 2 ? y ? 2t
A

( t 为参数) ,

以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系,直线 l 的 极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? m .若直线 l 经过抛物线 C 的焦点,则

常数 m ? . 15. (几何证明选讲选做题)如图 5, AB 是圆 O 的弦, CD 是 AB 的 垂 直平分 线, 切线 AE 与 DC 的 延 长线相 交于 E . 若 AB ? 24 ,

E

C
B

O
图5

D

AE ? 20 ,则圆 O 的半径 R ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ⑴ 求 f (0) 的值; ⑵ 若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得到的曲线恰好经过坐标原点,求 ? 的 最小值.

?

6

) ?1, x ? R .

2

17. (本小题满分 14 分) 随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下列联表: 性别与读营养说明列联表 读营养说明 男 16 女 8 总计 24

4 12 16 不读营养说明 20 20 40 总计 ⑴ 根据以上列联表进行独立性检验, 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是否读 营养说明之间有关系? ⑵ 从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人数 ? 的分布列及 其均值(即数学期望) . (注: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? 3 , AD ? 2 ,

AB ? 4 , ?ABC ? 600 .
⑴ 求证: AD ? PC ; ⑵E 是侧棱 PB 上一点,记 PE ? ? PB ,是否存在实数 ? ,使 PC ? 平面 ADE ?若存在,求 ? 的 P 值;若不存在,说明理由.

E

A D
图6

B

C

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , ?n ? N ? , a n ?1 ? ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 求证: ?n ? N ? ,

2a n . 2 ? an

?a
i ?1

n

2 i

? 3.

3

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 M (1 , ⑴ 求椭圆 ? 的方程;

3 ) 在椭圆 ? 上. 2

x2 y2 ⑵ 设双曲线 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的顶点 A 、 B 都是曲线 ? 的顶点,经过双曲线 ? 的 a b
右焦点 F 作 x 轴的垂线,与 ? 在第一象限内相交于 N ,若直线 MN 经过坐标原点 O ,求双曲线 ? 的 离心率.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.试证明: ⑴?a ? R , y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条切线; ⑵?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

f (e) ? f (1) . e ?1

4

评分参考 一、选择题 二、填空题 BCAA CDDB ⒐ ?x0 ? R (3 分) , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ( x0 写作 x 亦可,但要统一,否则只计 1 处得 ⒑ 3 ⒔ 三、解答题 ⒒1 ⒕ ⒓ (?? , 1] (3 分) , [0 ,
2

分; ? 写作 ? 扣 1 分)

?
4

]? (

?
2

, ? ) (1 分+1 分)

11 27

2 2

⒖ 15

o s 0s in ⒗ ⑴ f (0) ? 4 c

?
6

? 1 ? 4 ?1?

1 ? 1 ? 1 ……4 分(代入 1 分,三角函数值 2 分,结果 1 分) 2

⑵ 向右平移 ? 个单位,所得到的曲线为 y ? 4 cos( x ? ? ) sin( x ? ? ? 曲线经过坐标原点,得 4 cos( ?? ) sin( ?? ? 化简(和差化积或积化和差) ,得 sin( 2? ?

?
6

) ? 1……6 分

?
6

) ? 1 ? 0 ……7 分 ) ? 0 (或 tan 2? ?

3 )……10 分 6 3 ? k ? ? 2? ? ? k? , k ? Z ……11 分, ? ? ? ? , ? 的最小正值为 ? ? ……12 分. 6 2 12 12

?

(若学生在第⑴ 问化简函数,则相应的分值仍然计入第⑵ 问)

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635……4 分 ⒘ ⑴ 由表中数据,得 k ? 24 ? 16 ? 20 ? 20
因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关……5 分 ⑵? 的取值为 0,1,2……6 分
2 1 1 2 C12 C12 ? C4 C4 11 2 1 , , ……12 分 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 5 C16 20 C16 C16 20

P(? ? 0) ?

? 的分布列为
?
P

0

1

2

11 20

2 5

1 20

… …13 分

? 的均值为 E? ? 0 ?
⒙ ⑴ 连接 AC ,则 AC ?

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ……14 分. 20 5 20 2

AB2 ? BC2 ? 2 ? AB ? BC ? cos?ABC ? 2 3 ……1 分

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ……2 分

PB ? PA2 ? AB2 ? 5 , PC ? PA2 ? AC 2 ? 21……3 分
PB2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 900 , BC ? PC ……4 分
因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ……5 分
5

(方法二) CD 2 ? AD2 ? AC 2 ,所以 ?CAD ? 900 , AD ? AC ……2 分

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD ……3 分
因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC ……4 分 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ……5 分 ⑵ (方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB ……6 分 连接 PF ,由⑴ 知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……7 分 又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ……8 分, AE ? PF ……9 分 依题意, BF ?

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA ……10 分, AE 是 ?PAF 的平分线, 2

从而也是 ?PAB 的平分线……11 分 在 ?PAE 和 ?ABE 中, 所以

PE PA BE AB ? ? , ……12 分 sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

PE PA 3 PE 3 3 ? ? ……13 分, ? ,即所求 ? 的值为 ……14 分. BE AB 4 PB 7 7

(方法二)在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD ,以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所在直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系……6 分 则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ……7 分, C( 3 , 3 , 0) ……8 分 设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) ……9 分 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? ……10 分 由⑴ 知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……11 分,即 PC ? AE ? 0 ……12 分 所以 ( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3? ) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ……13 分 解得 ? ?

3 ……14 分. 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ……6 分,由⑴ 知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ……7 分 由⑴ 及余弦定理得

cos?CPD ?
9

PC 2 ? PD2 ? CD 2 9 ……9 分 ? 2 ? PC ? PD 13 ? 21
……12 分

所以 PF ? PD ? cos?CPD ?

21

PF ? PC

9 21 ? 21

?

PE PF 3 3 ? ? ……14 分. ……13 分,又 EF // BC ,所以 ? ? PB PC 7 7

6

⒚ ⑴ 由 a n ?1 ? 所以 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 ,得 ? ? ……1 分, ? ? ……2 分 a n ?1 a n 2 a n ?1 a n 2 2 ? an

?1? 1 1 ? 1 ,公差 d ? 的等差数列……3 分 ? 是首项 2 an ? an ?

2 1 n ?1 n ?1 ……4 分,所以 ?n ? N ? , a n ? ……5 分 ? 1? ? n ?1 an 2 2 2 2 4 4 4 2 ⑵ (方法一) a n ? ……6 分, ? ? ……7 分 ? 2 ? 2 2 n n?2 (n ? 1) n ? 2n ? 1 n ? 2 n n ? 4 时,由以上不等式得 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ai ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) ……9 分 ? 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 i ?1 2 2 2 2 ? ? ? ? ……10 分, ? 3 ……11 分 1 2 n ?1 n ? 2 n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ……12 分. i ?1 ? i ?1 ? 4 4 4 4 2 (方法二) a n ? ……6 分, ? ? ……7 分 ? 2 n n?2 n(n ? 1) (n ? 1) n ? 2 时,由以上不等式得 n n 4 4 4 4 4 4 2 2 a ? 1 ? ai ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ……9 分 ? ? i 2 3 3 4 n n ?1 i ?1 i ?2 4 4 ? 1? ? ……10 分, ? 3 ……11 分 2 n ?1 n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ……12 分. i ?1 ? i ?1 ? ⒛ ⑴ 椭圆 ? 的焦距 2c1 ?| F1 F2 |? 2 ……1 分
长轴 2a1 ?| MF1 | ? | MF2 |? 2 2 ?

9 3 ? ? 4 ……4 分 4 2

x2 y2 ? ? 1 ……6 分 4 3 c 2 | FN | 2 b2 2 c ? 1 ……7 分, | FN |? ⑵ 设双曲线 ? 焦距为 ,依题意, 2 ? ……8 分 a a b2 3 b2 ) ……9 分,直线 OM 的方程为 y ? x ……10 分 (方法一) N (c , 2 a 2 1 3 b 3 c2 ? a2 3 O 、 M 、 N 共线,所以 ? ……12 分 , e ? ? , ? c ……11 分 , 即 e 2 ac 2 a 2 1 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)……14 分. 2 | F M | | FN | (方法二)依题意, ?OF2 M ~ ?OFN ……9 分, 2 ……10 分 ? | OF2 | | OF |
椭圆 ? 的短轴 2b1 ? 2 3 ……5 分,所以椭圆 ? 的方程为 所以

1 3 3 b2 c2 ? a2 3 ? ……12 分, e ? ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 分, ? ……11 分,即 e 2 ac 2 2 ac
7

解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ?

1 舍去)……14 分. 2

1 x 直线 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 的斜率 k ? 2(a ? 1) ……2 分, 1 由 2 x ? a(1 ? ) ? 2(a ? 1) ,取 x ? 1 ……3 分 x / f (1) ? 2a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 的切线为 y ? f (1) ? (2a ? 2)(x ? 1) , 即 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) ,所以 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线……4 分 f (e) ? f (1) a ⑵ 直接计算知 ……5 分 ? e ?1? a ? e ?1 e ?1 f (e) ? f (1) a a 设函数 g ( x) ? f / ( x) ? ……6 分 ? 2 x ? (e ? 1) ? ? e ?1 x e ?1 a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ……7 分 g (1) ? 1 ? e ? a ? ? e ?1 e ?1 a a e(e ? 1) 2 ? a ……8 分 g (e) ? e ? 1 ? ? ? e e ?1 e(e ? 1) (e ? 1) 2 [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] 当 a ? e(e ? 1) 2 或 a ? 时, g (1) g (e) ? ? e?2 e(e ? 1) 2 ? 0 ……10 分,因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线, f (e) ? f (1) 所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,即 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ? ……11 分; e ?1 (e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正……12 分, 当 e?2 a ? e2 ?1 a 由均值不等式知, g ( x) ? 2 2a ? ,等号当且仅当 x ? ? (1 , e) 时成立, e ?1 2 a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) 所以 g ( x) 有最小值 m ? 2 2a ? , ? e ?1 e ?1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) 且m ? ? ? 0 ……13 分, e ?1 e ?1 a a 此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 , ,使 g (? ) ? 0 。 ) 或? ? ( , e) ) 2 2 f (e) ? f (1) 综上所述, ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ? ……14 分. e ?1
21.⑴ f / ( x) ? 2 x ? a(1 ? ) ……1 分,

8


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