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2012高考数学二轮专题综合训练 圆锥曲线(分专题,含答案)


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圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程: 求轨迹方程
1、 (1)已知双曲线 C1 与椭圆 C2 : 圆的离心率 e2 之比为
2

x2 y2 + = 1 有公共的焦点,并且双曲线的离心率 e1 与椭 36 49

/>7 ,求双曲线 C1 的方程. 3

(2)以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P, P 点的轨 求 迹方程. ( 1 )解: C1 的焦点坐标为 (0, ± 13). e2 =

13 e 7 13 由 1 = 得 e1 = 设双曲线的方程为 7 e2 3 3

? a 2 + b 2 = 13 y2 x2 y2 x2 ? ? 2 = 1( a , b > 0) 则 ? a 2 + b 2 13 解得 a 2 = 9, b 2 = 4 双曲线的方程为 ? =1 a2 b 9 4 = ? 2 9 ? a

x0 + 6 ? ?x = 2 ? x0 = 2 x ? 6 ? (2)解:设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ,则 ? ,∴ ? . ? y0 = 2 y ? y = y0 ? ? 2
代入 y0 = 8 x0 得: y 2 = 4 x ? 12 .此即为点 P 的轨迹方程.
2

( 2、 1) ?ABC 的底边 BC = 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,建立适当的坐标系求 此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. 2) ABC 中, ( △ B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 求点 A 的轨迹方程. ( 以 BC 设 解: 1) BC 所在的直线为 x 轴, 中点为原点建立直角坐标系. G 点坐标为 ( x,y ) , 知 且除去轴上两点. a = 10 , 因 由 GC + GB = 20 , G 点的轨迹是以 B 、C 为焦点的椭圆,

3 sinA, 5

x2 y2 c =8 ,有 b=6 ,故其方程为 + = 1( y ≠ 0 ) . 设 A( x,y ) , G ( x′,y′) , 则 100 36 x′ y′ + = 1( y′ ≠ 0 ) . 100 36
2 2

? ′ x ?x = 3 , ? ①由题意有 ? 代入①,得 A 的轨迹方程为 ? y′ = y ? 3 ?

x2 y2 + = 1( y ≠ 0 ) ,其轨迹是椭圆(除去 x 轴上两点) . 900 324
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(2)分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) 分析: , 分析 可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=

3 3 sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA 5 5 3 ∴ AB ? AC = BC 5
(*)

即 AB ? AC = 6

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

x2 y2 所求轨迹方程为 ? = 1 (x>3) 9 16
点评: 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点 M(-4,1)分别射向直线 y= -2 上两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2) 后,反射光线恰好通过椭圆 C:

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的两焦点,已知椭圆的 a2 b2

离心率为

6 1 ,且 x2-x1= ,求椭圆 C 的方程. 2 5

x2 y2 解:设 a=2k,c=k,k≠0,则 b= 3 k,其椭圆的方程为 ? =1 . 4k 2 3k 2
由题设条件得:

0+2 1 ? (?2) = , ? k ? x1 ? 4 ? x1



0+2 1 ? (?2) = , ? k ? x2 ? 4 ? x2
x2-x1=



6 , 5



11 x2 y2 由①、②、③解得:k=1,x1= ? ,x2=-1,所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3
4、在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M =

1 , tan N = ?2 ,建立适当的坐标系,求出以 M 、 2

N 为焦点且过 P 点的椭圆方程.

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以 解: MN 的中点为原点,MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系,设 P ( x , y ) .
? y ? x ? c = ? 2, ∴ 则 ? y 1 ? = , ? 2 ?x+c cy = 1 . ? ? ?

∴所求椭圆方程为

5 ? ?x = 3c 5 2 ? 即 P( , ) ∴ ? 2 3 3 ? y = 4 c且c = 3 ? 3 2 ?

4x2 y 2 + =1 15 3

4 ? 25 ?12a 2 + 3b 2 = 1, ?a 2 = 15 , ? ? 得? 4 ? ?a 2 ? b 2 = 3 , ?b 2 = 3. ? ? ? 4
5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0) . (1)求线段 PQ 的中点的轨迹方程; (2)设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R(O 为原点) ,求 点 R 的轨迹方程. 解: (1)设线段 PQ 的中点坐标为 M(x,y) ,由 Q(4,0)可得点 P(2x-4,2y) ,代入圆 2 2 2 2 2 2 的方程 x +y =4 可得(2x-4) +(2y) =4,整理可得所求轨迹为(x-2) +y =1. (2)设点 R(x,y) ,P(m,n) ,由已知|OP|=2,|OQ|=4,∴

| OP | 1 = ,由角平分线性 | OQ | 2

质可得

| OP | | PR | 1 1 = = ,又∵点 R 在线段 PQ 上,∴|PR|= |RQ|,∴点 R 分有向线段 | OQ | | RQ | 2 2

1 ? m+ ×4 ? 2m + 4 2 3x ? 4 ? = ?x = 1 3 ?m = 2 ? 1 ? 1+ PQ 的比为 ,由定比分点坐标公式可得 ? ,即 ? ,∴点 2 ? 3y 2 ?n = 1 ? n + ×0 ? 2 ? 2n ?y = 2 = ? 1 3 1+ ? 2 ?

? 3x ? 4 3 y ? ? 3x ? 4 ? ? 3 y ? P 的坐标为 ? , ? ,代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ? ? +? ? = 4, 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2

2

2

16 16 4? 4? ? ? 即 ? x ? ? +y2= (y≠0). ∴点 R 的轨迹方程为 ? x ? ? +y2= (y≠0). 9 9 3? 3? ? ?
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ,且与直线 x = ?1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;(2) 是 否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ = 0 ?若存 解: 1)如图,设 M 为动圆圆心, F (1, 0 ) ,过点 M 作直线 x = ?1 的垂线,垂足为 N , ( 由题意知: MF = MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = ?1 的距离相等,由抛物
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2

2

uuu uuu v v

在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F (1, 0 ) 为焦点, x = ?1 为准线, ∴ 动点

R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x (2)由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y ? 1)( k ≠ 0) , ? x = k ( y ? 1) 得 y 2 ? 4ky + 4k = 0 由? 2 y = 4x ? 2 △ = 16k ? 16 > 0 , k < ?1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 + y2 = 4k , y1 y2 = 4k
由 OP ? OQ = 0 ,即 OP = ( x1 , y1 ) , OQ = ( x2 , y2 ) ,于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 , 即k
2

( y1 ? 1)( y2 ? 1) + y1 y2 = 0 , (k 2 + 1) y1 y2 ? k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ,
∴ 直线 l 存在,其方程为 x + 4 y ? 4 = 0

4k (k 2 + 1) ? k 2 i4k + k 2 = 0 ,解得 k = ?4 或 k = 0 (舍去) ,
又 k = ?4 < ?1 ,

7、设双曲线

y2 x2 ? = 1 的两个焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 2.(I)求此双曲线的渐近 3 a2

线 l1 、l2 的方程; (II)若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| = 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中 点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线; (III)过点 N (1, 0) 能否作出直线 l ,使 l 与双 曲线交于 P、Q 两点,且 OP · OQ = 0 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解: (I)∵ e = 2 , ∴ c 2 = 4a 2





∵ c 2 = a 2 + 3, ∴ a = 1,c = 2
x2 3 ∴ 双曲线方程为y ? = 1 ,渐近线方程为 y = ± x 3 3
2

4分

(II)设 A( x1 ,y1 ) ,B ( x 2 ,y 2 ) ,AB 的中点 M x,y

(

)

∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2

∴ ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 10 3 3 x1 , y 2 = ? x 2 , 2 x = x1 + x 2 , 2 y = y 1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x1 ? x 2 ) , y1 ? y 2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又 y1 = ∴

[

3 ( y1 + y 2 )

]

2

? 3 ? + ? ( x1 + x 2 ) ? = 10 ? 3 ?

2

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1 x 2 3y 2 ∴ 3(2 y ) 2 + (2 x ) 2 = 100,即 + =1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴长为 (9 分) (III)假设存在满足条件的直线 l 设 l:y = k ( x ? 1) ,l与双曲线交于P ( x1 ,y1 ) 、Q( x 2 ,y 2 )

10 3 的椭圆. 3

→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )

? y = k ( x ? 1) ? 由? 2 x 2 得 (3k ? 1) x 2 ? 6k 2 x + 3k 2 ? 3 = 0 =1 ?y ? 由(i) (ii)得 k 2 + 3 = 0 3 ? 6k 2 3k 2 ? 3 则x1 + x 2 = 2 ,x 1 x 2 = 2 (ii ) 3k ? 1 3k ? 1
∴k 不存在,即不存在满足条件的直线 l .

8、设 M 是椭圆 C :

x2 y 2 + = 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对 12 4

称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程. 解:设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ≠ 0), E ( x, y ), 则 P ( ? x1 , y1 ), Q (? x1 , ? y1 ), T ( x1 , ? y1 ), ……1 分

? x12 ? + ?12 ? 2 ? x2 + ?12 ?

y12 = 1,???? (1) 1 4 ………3 分 由(1)-(2)可得 k MN ? kQN = ? . … 2 3 y2 = 1.???? (2) 4
x1 y , 所 以 kQN = 1 . 直 线 QN 的 方 程 为 y1 3 x1

6 分 又 MN⊥MQ , k MN ? k MQ = ?1, k MN = ?

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y=

x 1 1 y1 ( x + x1 ) ? y1 ,又直线 PT 的方程为 y = ? 1 x. 从而得 x = x1 , y = ? y1. 所以 y1 2 2 3 x1

x2 x1 = 2 x, y1 = ?2 y. 代入(1)可得 + y 2 = 1( xy ≠ 0), 此即为所求的轨迹方程. 3
9、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0) 和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程. 分析: 曲线的形状已知, 可以用待定系数法. 设出它们的方程, y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). L: 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/ 、B/ ,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:A/

k 2 ?1 2k 8(k 2 ? 1) /( 16k ,? 2 , 2 ( 2 ) ,B ) 。因为 A/、B/均在抛物线上,代入,消去 p, 2 k +1 k +1 k +1 k +1
得:k2-k-1=0.解得:k=

1+ 5 2 5 1+ 5 ,p= .所以直线 L 的方程为:y= x,抛物线 C 的方程 2 5 2

为 y2=

4 5 x. 5 x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,Q a2 b2

10、已知椭圆

是椭圆外的动点,满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上, 并且满足 PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0.(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a +

c (Ⅱ) x; a

求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的 面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |= ( x + c) 2 + y 2 = ( x + c) 2 + b 2 ? = (a + c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ≥ a , 知a +

c c x ≥ ?c + a > 0 ,所以 | F1 P |= a + x. ………………………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 记 | F1 P |= r1 , | F2 P |= r2 ,
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则 r1 =

( x + c ) 2 + y 2 , r2 = ( x + c ) 2 + y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y ). 椭圆的左准线方程为 a + x = 0. a
由 r1 + r2 = 2a, r12 ? r22 = 4cx, 得 | F1 P |= r1 = a +
2 由椭圆第二定义得 | F1 P | = c ,即 | F1 P |= c | x + a |=| a + c x | . a c a a a2 |x+ | c

由 x ≥ ? a , 知a +

c c x ≥ ?c + a > 0 ,所以 | F1 P |= a + x. …………………………3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |= 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |≠ 0且 | TF2 |≠ 0 时,由 | PT | ? | TF2 |= 0 ,得 PT ⊥ TF2 . 又 | PQ |=| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |=

1 | F1Q |= a ,所以有 x 2 + y 2 = a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 + y 2 = a 2 . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y ). 当 | PT |= 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |≠ 0且 | TF2 |≠ 0 时,由 PT ?TF2 = 0 ,得 PT ⊥ TF2 . 又 | PQ |=| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x′ + c ? ?x = 2 , 设点 Q 的坐标为( x ′, y ′ ) ,则 ? ? ? y = y′ . ? 2 ?

? x ′ = 2 x ? c, 因此 ? ? y ′ = 2 y.
由 | F1Q |= 2a 得 ( x ′ + c) 2 + y ′ 2 = 4a 2 . 将①代入②,可得 x 2 + y 2 = a 2 .





综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 + y 2 = a 2 . ……………………7 分
2 (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是

③ ④

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2 2 ? x0 + y0 = a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |= b . ?2

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由③得 | y 0 |≤ a ,由④得 | y 0 |≤
2

2 b2 . 所以,当 a ≥ b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

当 a < b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
c

当 a ≥ b 时, MF1 = ( ?c ? x0 ,? y 0 ), MF2 = (c ? x 0 ,? y 0 ) , c 由 MF1 ? MF2 = x0 ? c + y 0 = a ? c = b ,
2 2 2 2 2 2

2

MF1 ? MF2 =| MF1 | ? | MF2 | cos ∠F1 MF2 ,
S= 1 | MF1 | ? | MF2 | sin ∠F1 MF2 = b 2 ,得 tan ∠F1 MF2 = 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 + y0 = a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |= b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |≤

4 2 2 b2 2 . 上式代入③得 x 0 = a 2 ? b 2 = (a ? b )(a + b ) ≥ 0. c c c c
2

于是,当 a ≥ b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c 当 a < b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
c
2 y0 y0 当 a ≥ b 时,记 k1 = k F M = , , k 2 = k F2 M = 1 c x0 + c x0 ? c
2

由 | F1 F2 |< 2a, 知 ∠F1 MF2 < 90° ,所以 tan ∠F1 MF2 =| k1 ? k 2 |= 2. …………14 分
1 + k1 k 2

11、设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 = 0 上运动,过 P 作抛物 线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA=∠PFB.
2 解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x 0 )和( x1 , x12 )(( x1 ≠ x 0 ) , 2 ∴切线 AP 的方程为: 2 x 0 x ? y ? x 0 = 0;

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2

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x1 = 0; 解得 P 点的坐标为: x P =

x0 + x1 , y P = x0 x1 2 x0 + x1 + x P = xP , 3
2

所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG =

2 y + y1 + y P x0 + x12 + x0 x1 ( x0 + x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p yG = 0 = = = , 3 3 3 3

所以 y p = ?3 y G + 4 xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
2

1 x ? ( ?3 y + 4 x 2 ) ? 2 = 0, 即y = ( 4 x 2 ? x + 2). 3
(2)方法 1:因为 FA = ( x0 , x0 ? ), FP = (
2

1 4

x0 + x1 1 1 2 , x0 x1 ? ), FB = ( x1 , x1 ? ). 2 4 4

由于 P 点在抛物线外,则 | FP |≠ 0.

x0 + x1 1 1 1 2 ? x0 + ( x0 x1 ? )( x0 ? ) x0 x1 + 4 4 = 4, ∴ cos ∠AFP = = 2 1 2 | FP || FA | | FP | 2 2 | FP | x0 + ( x0 ? ) 4 FP ? FA

x0 + x1 1 1 1 2 ? x1 + ( x 0 x1 ? )( x1 ? ) x0 x1 + FP ? FB 2 4 4 = 4, = 同理有 cos ∠BFP = 1 | FP || FB | | FP | 2 2 | FP | x1 + ( x1 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB. 方 法 2 : ① 当 x1 x 0 = 0时,由于x1 ≠ x 0 , 不妨设x 0 = 0, 则y 0 = 0, 所 以 P 点 坐 标 为

(

x1 ,0) 2





P







线

AF











|x | 1 d 1 = 1 ; 而直线BF的方程 : y ? = 2 4
即 ( x12 ? ) x ? x1 y +

x12 ? x1

1 4 x,

1 4

1 x1 = 0. 4

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x 1 x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 + 1 | ( x12 + ) 1 4 2 4 = 4 2 = | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 = 1 2 1 x12 + ( x12 ? ) 2 + ( x1 ) 2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y + 1 x = 0, ②当 x1 x0 ≠ 0 时,直线 AF 的方程: y ? = 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4
1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y + 1 x = 0, 直线 BF 的方程: y ? = 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4
所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ? x1 1 x + x1 1 1 2 2 2 | ( x 0 ? )( 0 ) ? x 0 x1 + x 0 | | 0 )( x 0 + ) 4 2 4 2 4 = | x0 ? x1 | ,同理可 = d1 = 1 2 2 1 2 2 x0 + ( x0 ? ) 2 + x0 4 4
得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 = 二、中点弦问题: 中点弦问题:

| x1 ? x0 | ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2

12、已知椭圆

x2 ?1 1? + y2 = 1, (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求 2 ? 2 2?

斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A(2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹 1) 方程; (4)椭圆上有两点 P 、Q ,O 为原点,且有直线 OP 、OQ 斜率满足 k OP ? kOQ = ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 分析: 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ,线段 MN 的中点 R ( x,y ) ,则

1 , 2

?x12 + 2y12 = 2, ?2 2 ?x2 + 2y2 = 2, ? ?x1 + x2 = 2x, ?y + y = 2y, ?1 2

①-②得 ( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) + 2( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) = 0 . 由 题 意 知 x1 ≠ x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

(x1 + x2 )2( y1 + y2 ) y1 + y2
x1 ? x2
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= 0,
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将③④代入得 x + 2 y

y1 ? y2 = 0 .⑤ x1 ? x2

(1) x = 将

1 1 y ? y2 1 ,y = 代入⑤, 1 得 =? , 故所求直线方程为: 2 x + 4 y ? 3 = 0 . ⑥ 2 2 x1 ? x2 2
2

将⑥代入椭圆方程 x 2 + 2 y 2 = 2 得 6 y ? 6 y ?

1 1 = 0 , ? = 36 ? 4 × 6 × > 0 符合题意, 4 4

2 x + 4 y ? 3 = 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 = 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 = 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 x ? 2

x + 4y = 0 . (椭圆内部分)

(3)将 部分)

x2 + 2 y2 ? 2x ? 2 y = 0 . (椭圆内

(4)由①+②得 :

2 x12 + x2 2 + y12 + y2 = 2 , ⑦, 2

(

)

将③④平方并整理得

2 x12 + x2 = 4 x 2 ? 2 x1 x2 ,

⑧,

2 y12 + y2 = 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,



将⑧⑨代入⑦得:

4 x 2 ? 2 x1 x2 + 4 y 2 ? 2 y1 y2 = 2 , 4

(

)



再将 y1 y2 = ?

1 x1 x2 代入⑩式得: 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 + 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? = 2 , ? 2 ?



x2 +

y2 = 1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决. 13 、 椭 圆 C:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a2 b2
4 14 (Ⅱ)若直线 l 过圆 ,| PF2 |= . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 3 3

PF1 ⊥ F1 F2 ,| PF1 |=

x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方 程. 解法一: 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a = PF1 + PF2 = 6 ,a=3.
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在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 =
2
2

PF2 ? PF1
2

2

= 2 5 , 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 从而 b =a -c =4,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4
2

、 (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). M 的坐标为(-2,1).

由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 y=k(x+2)+1,

从而可设直线 l 的方程为

代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.所以 的方程为 y =

x1 + x 2 18k 2 + 9k =? = ? 2. 2 4 + 9k 2

解得 k =

8 ,所以直线 l 9

8 ( x + 2) + 1, 9

即 8x-9y+25=0.

(经检验,符合题意)

解法二: 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ≠ x2 且

x1 y + 1 = 1, 9 4 x2 y + 2 = 1, 9 4
①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 + y 2 ) + = 0. ③ 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , x1 ? x 2 9 9
8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意. 9

所以直线 l 的方程为 y-1= 14、 已知椭圆

y 2 x2 9 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点 F1 (0, ?2 2) , 对应的准线方程为 y = ? . 2 a b 4

? 1 3? (1) 求椭圆的方程; 直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、 且线段 MN 恰被点 P ? ? , ? (2) N, ? 2 2?
平分,求直线 l 的方程.

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? ? c = ?2 2 ? 2 9 2 ? a 解: (1)由 ? ? = ? 得 a = 3, b = 1 c 4 ? ?a 2 = b2 + c 2 . ?

即椭圆的方程为 x 2 +

y2 = 1. 9 3 1? k 3 ? = k ? x + ? , 即y = kx + + . 2 2? 2 2 ?

(2)易知直线 l 的斜率一定存在,设 l: y ?

k 3 ? ? y = kx + 2 + 2 , k2 3 27 ? 设 M(x1, y1) ,N(x2, y2) ,由 ? 得 (9 + k 2 ) x 2 + (3k + k 2 ) x + + k ? = 0. 2 4 2 4 y ? x2 + = 1. ? 9 ?

∵x1、x2 为上述方程的两根,则 ? = (3k + k 2 ) 2 ? 4(9 + k 2 ) ? ?
3k + k 2 . 9 + k2

? k2 3 27 ? + k? ?>0 4 ? ? 4 2



∴ x1 + x2 = ?

∵MN 的中点为 P ? ? ,

? 1 ? 2

3? ? 1? ? ,∴ x1 + x2 = 2 × ? ? ? = ?1. 2? ? 2?

∴?

3k + k 2 = ?1. 9 + k2

∴ 3k + k 2 = 9 + k 2 ,解得 k=3. 代入①中, ? = 182 ? 4(9 + 9) ? ? + ? ∴直线 l:y=3x+3 符合要求. 15、设 F1 , F2 分别是椭圆 C:
?9 ?4
9 2 27 ? 2 ? = 18 > 0 4 ?

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左右焦点,(1)设椭圆 C 上的点 a 2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设 K 是(1) 2 中所得椭圆上的动点, 求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, ( 3,
过原点的直线 L 与椭圆相交于 M, 两点, N 当直线 PM , 的斜率都存在, PN 并记为 k PM , K PN 探究 k PM 试

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论.
( 3 2 ) 2 =1 b2
2 a =4, 椭圆 C 的方程为

3 ( 3)2 解: (1)由于点 ( 3, ) 在椭圆上, 2 + 2 a
x2 y 2 + =1 4 3

焦点坐标分别为(-1,0) , (1,0) 把 K 的坐标代入椭圆

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x + 1, 2 y )

x2 y 2 + =1 4 3

中得

(2 x + 1)2 (2 y )2 + =1 4 3

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x + ) 2 + =1 3 2 4
M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程
第 13 页

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设


M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p ( x, y )





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x0 2 y0 2 x2 y2 + 2 = 1 ,2 + 2 = 1 a2 b a b

k PM =

y ? y0 x ? x0

K PN =

y + y0 x + x0

k PM ? K PN =
故: k PM

y ? y0 y + y0 y 2 ? y0 2 b2 ? = 2 2 =? 2 x ? x0 x + x0 x ? x0 a

? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关
9 2 2 4 , 离心率 e 满足 , e, 4 3 3

16、 已知椭圆的一个焦点为 F1 (0,?2 2 ) , 对应的准线为 y = ?

成等比数列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 A, B , 且线段 AB 恰好被直线 x = ? 在,说明理由.

1 平分?若存在,求出直线 l 的倾斜角 α 的取值范围;若不存 2

2 4 8 2 2 ? = ,所以 e = . 3 3 9 3 设椭圆上任意一点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则由椭圆的第二定义得,
解 : (Ⅰ)由题意知, e =
2

x2 + ( y + 2 2)2 y+ 9 2 4

=

y2 y2 2 2 2 ,化简得 x + = 1 ,故所求椭圆方程为 x 2 + = 1. 3 9 9

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y 0 ) ,依题意有

x1 + x 2 1 ? ? x0 = 2 = ? 2 ? x1 + x 2 = ?1 ? ,可得 ? . ? y1 + y 2 ? y1 + y 2 = 2 y 0 ?y = ? 0 2 ? 2 y 1 3 3 3 3 若直线 l 存在, 则点 M 必在椭圆内, (? ) 2 + 0 < 1 , 故 解得 0 < y0 < 或? < y0 < 0 . 2 9 2 2 ? 2 y1 2 = 1 (1) ? x1 + ? 9 将 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 代入椭圆方程,有 ? 2 ? x 2 + y 2 = 1 ( 2) ? 2 9 ? ( y ? y1 )( y 2 + y1 ) ( 2) ? (1) 得, ( x 2 ? x1 )( x 2 + x1 ) + 2 = 0, 9 y ? y1 9( x 2 + x1 ) 9 × (?1) 9 故 k AB = 2 =? =? , 所以 y 0 = , x 2 ? x1 y 2 + y1 2 y0 2k AB
则有 0 <

9 3 3 3 3 9 < 或? < < 0, 2k AB 2 2 2k AB 3或k AB < ? 3 ,
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解得 k AB >



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故存在直线 l 满足条件,其倾斜角 α ∈ (

π π

π 2π , )∪( , ). 3 2 2 3

三、定义与最值: 定义与最值:
17、已知 F 是椭圆 (1)求 PA +

5x2 +9y2 = 45的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.

3 PF 的最小值,并求点 P 的坐标; (2)求 2

P + P 的最大值和最小值. A F

解:(1)由椭圆的第二定义转化知

PA +

3 PF 11 6 5 2 的最小值是 ,此时 P (? ,1) ; 2 5

(2)依题意,由椭圆的第二定义知 PA + PF = PA + (6 ? PF2 ) = 6 + ( PA ? PF2 ) ∵ PA ? PF2 ≤ AF2 = ∴6?

2 ∴ ? 2 ≤ PA ? PF2 ≤ 2

2 ≤ PA + PF ≤ 6 + 2 (当且仅当P、A、F2 三点共线时取 =)
x2 + y 2 = 1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点, 4

18、设 F1、F2 分别是椭圆

(Ⅰ)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;(Ⅱ)求

PF1 ? PF2 的最大值和最小值.

解:易知 a = 2, b = 1, c = 3 ,所以 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). 设 P ( x, y
2


x 1 ? 3 = (3x 2 ? 8). 4 4





PF 1 ? PF 2 = (? 3 ? x, ? y ) ? ( 3 ? x, ? y ) = x 2 + y 2 ? 3 = x 2 + 1 ?

因为 x ∈ [?2, 2] ,故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF 2 有最小值-2. 当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF 2 有最大值 1. 19、若双曲线过点 (2, 6) ,其渐近线方程为 y = ± 2 x .(I)求双曲线的方程; (II)已知 A (3,2) , B ( 3 ,0) ,在双曲线上求一点 P ,使 PA + 解: (Ⅰ) x 2 ?
20、以椭圆

3 PB 的值最小. 3

3 y2 = 1 (II) P ( 3 ,2) ,最小值为 3 ? 2 3

x2 y2 + = 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y + 9 = 0 上一点 M 作椭圆,要使所 12 3

作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析: 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使 该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决. 解:如图所示,椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 (? 3,) , F2 (3,) . 0 0 12 3
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点 F1 关于直线 l:x ? y + 9 = 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF2 的方程为

x + 2y ?3 = 0.
解方程组 ?

?x + 2 y ? 3 = 0 得交点 M 的坐标为(-5,4) .此时 MF1 + MF2 最小. ?x ? y + 9 = 0

所求椭圆的长轴: 2a = MF1 + MF2 = FF2 = 6 5 ,∴ a = 3 5 ,又 c = 3 , ∴b = a ?c = 3 5
2 2 2

( ) ?3
2

2

= 36 .因此,所求椭圆的方程为

x2 y2 + = 1. 45 36

21、已知动点 P 与双曲线

x2 y2 - =1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为 6. 2 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 PF1 ? PF2 =3,求⊿PF1F2 的面积; (Ⅲ)若已知 D(0,3),M、N 在轨迹 C 上且 DM =λ DN ,求实数λ的取值范围. 解:①

x2 y2 1 + =1;②2;③[ ,5] 9 4 5

22、 E 、 F 是椭圆 x 2 + 2 y 2 = 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ∈ l ,过点 E 的直 线交椭圆于 A 、 B 两点.(1)当 AE ⊥ AF 时,求 ?AEF 的面积; (2)当 AB = 3 时, 求 AF + BF 的大小; (3)求 ∠EPF 的最大值.

解: (1) ?

? m+n = 4 1 ? S ?AEF = mn = 2 2 2 2 ?m + n = 8

y

? AE + AF = 4 ? (2)因 ? ? AB + AF + BF = 8 , ? BE + BF = 4 ?
则 AF + BF = 5. (3)设 P (2 2, t )(t > 0) tan∠EPF = tan(∠EPM ? ∠FPM )

A

P M

B

E

O

F

x

=(

3 2 2 3 2× 2 2 2t 2 2 3 ) ÷ (1 + )= 2 , ? = ≤ 2 ?1 t t t t + 6 t + 6t 3 6 时, tan∠EPF = 3 ? ∠EPF = 30 3

当t =

23、已知定点 A(0 ,1 ) 、 B (0 , ? 1 ) 、 C ( 1, 0 ) ,动点 P 满足: AP ? BP = k | PC | .(1)求
2

? ?→ ? ?→

? ?→

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? ?→ ? ?→

动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形; (2)当 k = 2 时,求 | AP + BP | 的最大 值和最小值. 解:(1)设动点 P 的坐标为 ( x , y ) , 则 AP = ( x , y ? 1 ) , BP = ( x , y + 1 ) , PC = (1 ? x , y ) .
2 2 2 2 ∵ AP ? BP = k | PC | ,∴ x + y ? 1 = k ( x ? 1 ) + y ,

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→ ? ?→

? ?→

2

[

]

即 ( 1 ? k ) x + ( 1 ? k ) y + 2kx ? k ? 1 = 0 .
2 2

若 k = 1 ,则方程为 x = 1 ,表示过点 ( 1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线. 若 k ≠ 1 ,则方程为 ( x + 表示以 (

k 2 1 2 ) + y2 = ( ) , 1? k 1? k

k 1 , 0 ) 为圆心,以为半径 的圆. 1? k |1? k |

(2)当 k = 2 时,方程化为 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 .
? ?→

AP + BP = ( x , y ? 1) + ( x , y + 1) = ( 2 x , 2 y )
? ?→ ? ?→
2 2

? ?→

∴ | AP + BP |= 2 x + y . 又∵ ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 , ∴ 令 x = 2 + cos θ , y = sin θ ,则

| AP + BP |= 2 x 2 + y 2 = 2 5 + 4 cos θ
∴当 cos θ = 1 时, | AP + BP | 的最大值为 6 ,当 cos θ = ?1 时,最小值为 2 . 24、点 A、B 分别是以双曲线
? ?→ ? ?→

? ?→

? ?→

x2 y2 ? = 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、 16 20 右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF = 0 (1)
解(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 + 20 = 6 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 6 ? 4 =
2 2

求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直 线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值.

20 ,

x y + =1 36 20 (2)由已知 A( ?6,0) , F ( 4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

2

2

AP = ( x + 6, y ), FP = ( x ? 4, y ), 由已知得
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? x y + =1 ? 36 20 ? ?( x + 6)( x ? 4) + y 2 = 0 ?
2 2

3 或x = ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 由于 y>0,所以只能取 x = ,于是 y = 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 3?9 分 2 2 ?2 2 ? m+6 (3) 直线 AP : x ? 3 y + 6 = 0 , 设点 M 是 (m,0) , 则点 M 到直线 AP 的距离是 , 2 m+6 于是 = m?6 , 2 又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ≤ m ≤ 6 ∴ m = 2 ∴当 m = 2 时,椭圆上的点到 M ( 2,0) 的距离
则 2 x + 9 x ? 18 = 0 ,解之得 x =
2

d 2 = ( x ? 2) 2 + y 2 = x 2 ? 4 x + 4 + 20 ?
又 ?6 ≤ x ≤ 6 ∴当 x =

5x2 4 9 = ( x ? ) 2 + 15 9 9 2

9 时,d 取最小值 15 2

25 、 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 向 量 j = (0,1), ?OFP的面积为2 3 , 且

uuu uur r uuur r uu uu v v 3 uuu r OF ? FP = t , OM = OP + j . (I) 4 < t < 4 3, 求向量OF与FP的夹角θ 的取值范围; 设 3
(II)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且

| OF |= c, t = ( 3 ? 1)c 2 ,当 | OP | 取最小值时,求椭圆的方程.
解: (1)由 2 3 = 1 | OF | ? | FP | ? sin θ , 得 | OF | ? | FP |= 4 3 ,由 cos θ = OF ? FP = t sin θ ,
2 sin θ | OF | ? | FP | 4 3

得 tan θ = 4 3 . …………………………………………………………………3 分
t

∵4 < t < 4 3

∴1 < tan θ < 3

∵ θ ∈ [0, π ] ∴夹角 θ 的取值范围是(

π π

, ) 4 3

………………………………………………………………6 分 (2) 设P ( x 0 , y 0 ), 则FP ( x 0 ? c, y 0 ), OF = (c,0).

∴ OF ? FP = ( x0 ? c, y0 ) ? (c, 0) = ( x0 ? c)c = t = ( 3 ? 1)c 2 S?OFP = 1 4 3 | OF | ? | y0 |= 2 3 ∴ y0 = ± 2 c

∴ x0 = 3c

…………………………………………………………………………………………8 分
2 2 ∴| OP |= x0 + y0 = ( 3c) 2 + (

4 3 2 4 3 ) ≥ 2 3c ? = 2 6 ………………10 分 c c

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∴当且仅当 3c =
∴OM =

4 3 , 即c = 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP = (2 3 ,±2 3 ) c

3 ( 2 3 ,2 3 ) + (0,1) = ( 2,3) 3

或 OM = 3 (2 3 ,?2 3 ) + (0,1) = (2,?1)
3

…………12 分

椭圆长轴 2a = (2 ? 2) 2 + (3 ? 0) 2 + (2 + 2) 2 + (3 ? 0) 2 = 8 或 2a = (2 ? 2) 2 + (?1 ? 0) 2 + (2 + 2) 2 + (?1 ? 0) 2 = 1 + 17 故所求椭圆方程为

∴ a = 4, b 2 = 12
∴a = 1 + 17 2 1 + 17 ,b = 2 2

x2 y2 + = 1 .或 x 2 + y 2 = 1 …………14 分 16 12 9 + 17 1 + 17
2 2

26、已知点 F (0 , 1) ,一动圆过点 F 且与圆 x 2 + ( y + 1) 2 = 8 内切. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A( a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d ( a ) ; (Ⅲ)在 0 < a < 1 的条件下,设△ POA 的面积为 S1 ( O 是坐 标原点, P 是曲线 C 上横坐标为 a 的点) ,以 d (a ) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满足 S1 ≤ mS 2 ,问 m 是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由. 解(Ⅰ)设动圆圆心为 M ( x, y ) ,半径为 r ,已知圆圆心为 E (0,?1) , 由题意知 | MF |= r , | ME |= 2 2 ? r ,于是 | ME | + | MF |= 2 2 ,

y2 所以点 M 的轨迹 C 是以 E 、 F 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆,其方程为 x + = 1. 2 (Ⅱ)设 P ( x, y ) ,则 | PA | 2 = ( x ? a ) 2 + y 2 = ( x ? a ) 2 + 2 ? 2 x 2 = ? x 2 ? 2ax + a 2 + 2
2

当 ? a < ?1 ,即 a > 1 时 f (x ) 在 [?1 , 1] 上是减函数, [ f ( x )]max = f ( ?1) = ( a + 1) ;
2

= ?( x + a ) 2 + 2a 2 + 2 ,令 f ( x) = ?( x + a ) 2 + 2a 2 + 2 , x ∈ [?1 , 1] ,所以,

当 ? 1 ≤ ? a ≤ 1 ,即 ? 1 ≤ a ≤ 1 时, f (x ) 在 [ ?1 ,? a ] 上是增函数,在 [ ? a , 1] 上是减函数, 当 ? a > 1 ,即 a < ?1 时, f (x ) 在 [?1,1] 上是增函数, [ f ( x )]max = f (1) = ( a ? 1) .
2

则 [ f ( x )]max = f ( a ) = 2a + 2 ;
2

a < ?1 ?1 ? a , ? ? 所以, d ( a ) = ? 2a 2 + 2 , ?1 ≤ a ≤ 1 . ?1 + a , a >1 ? ?
(Ⅲ)当 0 < a < 1 时, P ( a , ± 2 ? 2a 2 ) ,于是 S1 =

1 a 2(1 ? a 2 ) , S 2 = 2a 2 + 2 ,(12 分) 2

a 2(1 ? a 2 ) 1 2 2 , 若正数 m 满足条件,则 a 2(1 ? a ) ≤ m( 2a + 2) ,即 m ≥ 2 4(a 2 + 1)
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2 2

m2 ≥

a (1 ? a ) a (1 ? a ) 2 2 ,令 f ( a ) = ,设 t = a + 1 ,则 t ∈ (1 , 2) , a = t ? 1 , 2 2 2 2 8(a + 1) 8(a + 1)
2 2
2

(t ? 1)(2 ? t ) 1 ? ? t 2 + 3t ? 2 ? 1 ? 2 3 ? 1 ?1 3 ? 1 ? = ? ? 2 + ? 1? = ? ? ? ? + = ? 于是 f ( a ) = , 2 2 ? ? 8 t t 8? 4?t 4? 64 t 8t ? ? ? 1 3 4 1 所以,当 = ,即 t = ∈ (1 , 2) 时, [ f ( a )] max = , t 4 3 64 1 1 1 2 即m ≥ , m ≥ .所以, m 存在最小值 . 64 8 8
27、已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程; (2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小 值. N 实半轴长 a= 2 . (1) 由|PM|-|PN|=2 2 知动点 P 的轨迹是以 M, 为焦点的双曲线的右支, 又半焦距 c=2,故虚半轴长 b= c ? =
2 2

2.

所以 W 的方程为

x2 y2 ? = 1 ,x≥ 2 . 2 2

(2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). ,
2 2 当 AB⊥x 轴时,x1=x2,y1=y2,从而 OA · OB =x1x2+y1y2= x1 ? y1 = 2.

当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,与 W 的方程联立,消去 y 得 (1-k2)x2-2kmx-m2-2=0, 故 x1+x2=

2km m2 + 2 ,x1x2= 2 , 1? k 2 k ?1

所以 OA · OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) 2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 (kx

=

(1 + k 2 )(m 2 + 2) 2k 2 m 2 2k 2 + 2 4 + + m2 = 2 = 2+ 2 . 2 2 k ?1 1? k k ?1 k ?1

又因为 x1x2>0,所以 k2-1>0,从而 OA · OB >2. 综上,当 AB⊥x 轴时, OA · OB 取得最小值 2. 28、一束光线从点 F1 ( ?1, 0) 出发,经直线 l : 2 x ? y + 3 = 0 上一点 P 反射后,恰好穿过 点 F2 (1 , 0) . (Ⅰ)求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1′ 的坐标; (Ⅱ)求以 F1 、 F2 为焦点且过 (Ⅲ)设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点,点 Q 为线 点 P 的椭圆 C 的方程;
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段 AB 上的动点,求点 Q 到 F2 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值,并求取得 最小值时点 Q 的坐标.

n 1 m ?1 n = ? 且2? ? + 3 = 0 .……2 分 m +1 2 2 2 9 2 9 2 解得 m = ? , n = , 因此,点 F1′ 的坐标为 (? , ) . …………………4 分 5 5 5 5
(Ⅰ)设 F1′ 的坐标为 (m, n) ,则 解: (Ⅱ)∵ PF1′ = PF1 ,根据椭圆定义, 得 2a =| PF1′ | + | PF2 |=| F1′F2 | =

9 2 (? ? 1) 2 + ( ? 0) 2 = 2 2 ,……………5 分 5 5

∴ a = 2 , b = 2 ?1 = 1.
∴所求椭圆方程为

x2 + y2 = 1. 2

………………………………7 分

(Ⅲ)∵

a2 = 2 ,∴ 椭圆的准线方程为 x = ±2 . c

…………………………8 分

设点 Q 的坐标为 (t , 2t + 3) ( ?2 < t < 2) , d 1 表示点 Q 到 F2 的距离, d 2 表示点 Q 到椭 圆的右准线的距离. 则 d1 =

(t ? 1) 2 + (2t + 3) 2 = 5t 2 + 10t + 10 , d 2 = t ? 2 . 5t 2 + 10t + 10 t 2 + 2t + 2 = 5? , t ?2 (t ? 2) 2 (?2 < t < 2) , 则
……………………………10 分

d1 = d2
令 值. 因此,

t 2 + 2t + 2 f (t ) = (t ? 2) 2

f (t ) 在 t = ?

4 时 取 得 最 小 3

………………………………13 分

d1 4 2 4 1 最小值= 5 ? f ( ? ) = ,此时点 Q 的坐标为 (? , ) .…………14 分 d2 3 2 3 3

注: f (t ) 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.

29、设 F 是椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点,直线 l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交 a2 b2

于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知: | MN |= 8, 且 | PM |= 2 | MF | . (1)求椭圆 C 的 标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3)
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求三角形 ABF 面积的最大值. 解(1)∵| MN |= 8 ∴ a = 4

又∵| PM |= 2 | MF | 得 ∴c = 2

a2 1 ? a = 2(a ? c)即2e 2 ? 3e + 1 = 0 ? c = 或e = 1(舍去) c 2 2 2 2 b = a ? c = 12

∴ 椭圆的标准方程为

x2 y 2 + =1 16 12 ………………………(文 6 分,理 4 分)

(2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 ∠AFM = ∠BFN = 0. 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,AB 方程为 x = my ? 8, 代入椭圆方程 整理得 (3m + 4) y ? 48my + 144 = 0
2 2



? = ( 48m) 2 ? 4 × 144(3m 2 + 4), y1 + y 2 =

48m 3m 2 + 4

y1 ? y 2 =

144 3m 2 + 4

∴ k AF + k BF =

y1 y2 y1 y2 + = + x1 + 2 x 2 + 2 my1 ? 6 my 2 ? 6

=

2 my 1 y 2 ? 6 ( y 1 + y 2 ) = 0 ( my 1 ? 6 )( my 2 ? 6 )

∴ k AF + k BF = 0, 从而∠AFM = ∠BFN .
综上可知:恒有 ∠AFM = ∠BFN .………………………………(9 分)

(3)

S ?ABF = S ?PBF ? S ?PAF =

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y 2 ? y1 |= 2 3m 2 + 4
≤ 72 2 3 ? 16 =3 3

=

72 m 2 ? 4 = 3( m 2 ? 4) + 16

72 3 m ?4 +
2

16 m2 ? 4

3 m2 ? 4 =
当且仅当

16 m ?4
2

即m 2 =

28 3

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

三角形 ABF 面积的最大值是 3 3. ………………………………(13 分)

四、弦长及面积: 弦长及面积:
y2 = 1 ,设 F1、F2 分别是其左、右焦点.(1)若斜率为 1 且过 3 F1 的直线 l交双曲线于 A、B 两点,求线段 AB 的长;(2)若 P 是该双曲线左支上的一点,且

30、已知双曲线的方程为 x 2 ?

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∠F1 PF2 = 60 ,求 ?F1 PF2 的面积 S.
解: (1)AB: y = x + 2 ,代入 x 2 ? 设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) 则
y2 = 1 并整理得 2 x 2 ? 4 x ? 7 = 0 3

x1 + x2 = 2, x1 x2 = ?

7 2

∴ AB = 1 + 1 ( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 = 2 ? 4 + 14 = 6
(2)设 PF2 = m, PF1 = n ,则 m ? n = 2 在 ?F1 PF2 中,由余弦定理有 16 = m + n ? 2mn cos 60 = m ? n + 2mn ? mn
2 2 2

∴ mn = 12 ∴ S =
2

1 1 3 mn sin 60 = × 12 × =3 3 2 2 2
2

( 31、已知椭圆 4 x + y = 1 及直线 y = x + m . 1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5
2 2

( 解: 1)把直线方程 y = x + m 代入椭圆方程 4 x + y = 1 得
2 2 2

4 x 2 + (x + m ) = 1 ,
2

即 5 x + 2mx + m ? 1 = 0 . ? = (2m ) ? 4 × 5 × m 2 ? 1 = ?16m 2 + 20 ≥ 0 , 解 得

(

)

?

5 5 . ≤m≤ 2 2 2m m2 ?1 ,x1 x2 = . 5 5

(2 ) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 ,x2 , (1) x1 + x2 = ? 由 得
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? 根据弦长公式得 : 1 + 1 ? ? ? = .解得 m = 0 .方程为 ? ? 4× 5 5 ? 5 ?
2

y = x.
32、 已知长轴为 12, 短轴长为 6, 焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为

π
3



直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 分析: 分析:可以利用弦长公式 AB = 1 + k x1 ? x2 =
2

(1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. 法 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解

AB = 1 + k 2 x1? x2 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] . 因为 a = 6 , = 3 , b 所以 c = 3 3 . 因
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为焦点在 x 轴上, 所以椭圆方程为

x2 y 2 + = 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y = 3 x + 9 . 36 9
2

由直线方程与椭圆方程联立得: 13 x + 72 3 x + 36 × 8 = 0 .设 x1 , x2 为方程两根,所以

x1 +x2 = ?

72 3 13



x1 x2 =

36 × 8 13



k= 3







AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] =
(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 法 利用椭圆的定义及余弦定理求解 利用椭圆的定义及余弦定理求解.

48 . 13

x2 y 2 由题意可知椭圆方程为 + = 1 , 设 AF1 = m , BF1 = n , 则 AF2 = 12 ? m , 36 9

BF2 = 12 ? n .


?AF1 F2





AF2 = AF1 + F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 cos
2 2 2

π
3





1 (12 ? m) 2 = m 2 + 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ? ; 2
所以 m =

6 6 48 .同理在 ?BF1 F2 中,用余弦定理得 n = ,所以 AB = m + n = . 13 4? 3 4+ 3

(法 3)利用焦半径求解. 法 利用焦半径求解 利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13 x + 72 3 x + 36 × 8 = 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分
2

别是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径 AF1 = a + ex1 , BF1 = a + ex2 ,从而求出 AB = AF1 + BF1 . 33、设双曲线方程 直线 l 的距离为
x2 y 2 ? = 1(b > a > 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a, 0), (0, b) 两点,已知原点到 a 2 b2

3 c. (1)求双曲线的离心率; (2)经过该双曲线的右焦点且斜率为 2 的直 4

线 m 被双曲线截得的弦长为 15,求双曲线的方程. 解: (1) b > a ? b 2 > a 2 ? c 2 ? a 2 > a 2 ? c 2 > 2a 2 ? e 2 > 2 ? e > 2 ……………………… 2分 直线 l 的方程为 +
d= ab a +b
2 2

x a

3 y = 1 ,即 bx + ay ? ab = 0 ,由原点到直线 l 的距离为 c得 4 b

=

ab 3 = c ,即 16a 2 (c 2 ? a 2 ) = 3c 4 ,…………………………………4 分 c 4
4 3

两边同时除以 a 4 得 16(e 2 ? 1) = 3e4 ,整理得 3e 4 ? 16e 2 + 16 = 0 ,解得 e 2 = 或4 …5 分
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又 e > 2 ,故双曲线的离心率为 e = 2 ……………………………………………6 分 (2)由(1)知道 e = 2 即 c = 2a ,所以设双曲线的方程为
x2 y 2 ? =1 a 2 3a 2

又由题意得直线 m 方程为 y = 2( x ? 2a) ,代入双曲线方程得 ……………………7 分
3x 2 ? 4( x ? 2a )2 = 3a 2 ,整理得 x 2 ? 16ax + 19a 2 = 0 …………………………………8 分

记直线 m 与双曲线的交点为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则有 x1 + x2 = 16a, x1 x2 = 19a 2 …9 分
∴ AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 ] = 5(256a 2 ? 76a 2 ) = 30a = 15

∴a=

1 ………………………………………………………………………………11 分 2
x2 y 2 ? = 1 …………………………………………………12 分 1 3 4 4

∴ 所求双曲线方程为

34 、 已 知 △ ABC 的 顶 点 A,B 在 椭 圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上 , C 在 直 线 l:y = x + 2 上 , 且

AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积;
(Ⅱ)当 ∠ABC = 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为 AB ∥ l ,且 AB 边通过点 (0, ,所以 AB 所在直线的方程为 y = x . 0) 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) . (x 由?

? x 2 + 3 y 2 = 4, 得 x = ±1 .所以 AB = 2 x1 ? x2 = 2 2 . ?y = x

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.所以 h =

2 , S△ ABC =

1 AB ih = 2 . 2

? x 2 + 3 y 2 = 4, 2 2 (Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y = x + m ,由 ? 得 4 x + 6mx + 3m ? 4 = 0 . ?y = x + m
因为 A,B 在椭圆上,所以 ? = ?12m + 64 > 0 .
2

(x 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) ,则 x1 + x2 = ?

3m 3m2 ? 4 , x1 x2 = , 2 4

所以 AB =

2 x1 ? x2 =
2

32 ? 6m2 .又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 2
2 2 2 2

BC =

2?m 2

. AC = AB + BC = ? m ? 2m + 10 = ?( m + 1) + 11 .
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所以当 m = ?1 时, AC 边最长, (这时 ? = ?12 + 64 > 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y = x ? 1 . 35 、 梯 形 ABCD 的 底 边 AB 在 y 轴 上 , 原 点 O 为 AB 的 中 点 ,

| AB |=

4 2 4 2 ,| CD |= 2 ? , AC ⊥ BD, M 为 CD 的中点.(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)过 3 3

M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 λ0 ,使 MP = λ0 PN ,且 P 点到 A、B 的距离和 为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ)过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交
y D
2 2 2 ), D ( x , y +1? 2 ). 3 3

uuu v

uuu v

1 2

于 P、Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值. 解: Ⅰ) ( 设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0), C ( x, y ?1+ 则 又 A(0,
2 2 2 ), B (0,? 2 ). 由 3 3

C O B x

AC ⊥ BD

有 AC i BD = 0 , 即

( x, y ? 1)i( x, y + 1) = 0 ,

∴x2+y2=1(x≠0).

………………………(4 分)

(Ⅱ)设 P(x, y) ,则 M ( (1 + λ0 ) x, y ) ,代入 M 的轨迹方程有 (1 + λ0 ) 2 x 2 + y 2 = 1( x ≠ 0). 即
x2 2 + y = 1( x ≠ 0) 1 2 ( ) 1+ λ0

,∴P 的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).

要 P 到 A、B 的距离之和为定值,则以 A、B 为焦点,故 1? ∴ λ0 = 2.

1 (1+λ0 )2

=(

2 2)2 . 3

从而所求 P 的轨迹方程为 9x2+y2=1(x≠0). ………………………9 分

(Ⅲ)易知 l 的斜率存在,设方程为 y = kx + 设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1 + x2 = ?
∴ x2 ? x1 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =

1 3 . 联立 9x2+y2=1,有 (9 + k 2 ) x 2 + kx ? = 0. 4 2

k ?3 , x1 x2 = . 9 + k2 4(9 + k 2 )
4k 2 + 27 4t ? 9 2 . 令 t = k + 9 ,则 x2 ? x1 = 且 t ≥ 9. 2 2 (9 + k ) t2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 ∴ S?OPQ = × x2 ? x1 = ?9 × 2 + 4 × = ?9( ? ) 2 + ,∵ t ≥ 9,∴ 0 < ≤ t t 4 t 9 2 2 4 9 t
所以当 =

1 . 9

1 t

1 3 ,即 t = 9, 也即 k = 0 时, ?OPQ 面积取最大值,最大值为 .…… 14 分 12 9

五、范围问题: 范围问题:
36、直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点.(1) 当 a 为何值时,A、B 两点 在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 两点分别在双曲线的两支上?(2) 当 a 为何值 时,以 AB 为直径的圆过原点?
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? (3-a )x -2ax-2=0 ①
2 2

解: (1) 联立 ? ?

+1 ? y = ax消去 y ?3 x 2 ? y 2 = 1 ?

显然 a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点. 若交点 A、B 在双曲线同支上,则方程①满足:
?? = 4a 2 + 8(3 ? a 2 ) > 0 ?? 6 < a < 6 ? ? ? ? ? 2 >0 ?a < ? 3或a > 3 ? 2 ? ?a ? 3
? a∈(- 6 ,- 3 )∪( 3 , 6 )

若 A、B 分别在双曲线的两支上,则有:
?4a 2 + 8(3 ? a 2 ) > 0 ? ? a∈(- 3 , 3 ) ? 2 <0 ? 2 ?a ? 3

(2) 若以 AB 为直径的圆过点 O,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由于 x1+x2= x1x2=
2a . a2 ? 3

2a , 3 ? a2

∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1 =a2·
2 2a +a· +1=1 a ?3 3 ? a2
2

∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴

2 +1 ? a=±1 a2 ? 3

此时△>0,符合要求. 37、已知圆 C: (x-1)2+y2=r2 (r>1) ,设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, 过 M 作圆 C 的弦 MN,并使它的中点 P 恰好落在 y 轴上. (1)当 r=2 时,求满足条件的 P 点的坐标; (2)当 r∈(1,+∞)时, 求点 N 的轨迹 G 的方程; (3)过点 P(0,2)的直线 l 与(2)中轨迹 G 相交于两个不同的点 E、 若 CE ·CF >0, F, 求直线 l 的斜率的取值范围. 解:(1)由已知得,r=2 时,可求得 M 点的坐标为 M(-1,0). 设 P(0,b) ,则由 kCP·kMP=-1 2 (或用勾股定理)得:b =1. ∴b=±1 即点 P 坐标为(0,±1). ,由已知得,在圆方程中令 y=0,求得 M 点的坐标为(1-r,0). (2)设 N 坐标为(x,y) 2 设 P(0,b) ,则由 kCP·kMP=-1(或用勾股定理)得:r=b +1. 2 2 ∵点 P 为线段 MN 的中点,∴x=r-1=b ,y=2b,又 r>1.∴点 N 的轨迹方程为 y =4x(x>0). (3)由题意知直线 l 的斜率存在且不等于 0. 设直线 l 的方程为 y=kx+2,E(x1,y1) F(x2,y2) x1>0, x2>0. , , 由?

? y = kx + 2 ? y = 4x
2

, 得 k x +(4k-4)x+4=0,由 ? =-32k+16>0,得 k<
2 2

1 且 k≠0. 2

x1+x2=
2

4 ? 4k 4 >0,x1x2= 2 >0,得 k<1. ∵ CE · CF >0,∴(x1-1) x2-1)+y1y2>0. ( 2 k k
2

(2 ( +5>0.得 k +12k>0. ∴k>0 或 k<-12. ∴0<k< ∴ k +1) x1x2+ k-1) x1+x2) (
第 27 页 户

1 或 k<-12. 2

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38、 已知椭圆 C: +

x2 4

y2 = 1, 试确定 m 的取值范围, 使得对于直线 l:y = 4 x + m , 椭圆 C 3

上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,则已知条件等价于:(1)直线 AB ⊥ l ;(2) 分析: 弦 AB 的中点 M 在 l 上. 利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围. (法 B 直线 AB 与 l 交于 M ( x0 , y0 ) 解:法 1)设椭圆上 A( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 两点关于直线 l 对称, 点.
? y = ? x + n, 1 ? 4 ∵ l 的斜率 kl = 4 , ∴设直线 AB 的方程为 y = ? x + n . 由方程组 ? 消去 y 得 ? 2 4 x y2 1 ? + = 1, ? 4 3 ?

13 x 2 ? 8nx + 16n 2 ? 48 = 0

① 。 ∴ x1 + x2 =

8n x + x2 4 n . 于 是 x0 = 1 = , 13 2 13

1 12n y0 = ? x0 + n = , 4 13 4n 12n 4n 即点 M 的坐标为 ( , ) .∵点 M 在直线 y = 4 x + m 上,∴ n = 4 × + m .解得 13 13 13 13 n=? m. ② 4
将式②代入式①得 13 x + 26mx + 169m ? 48 = 0
2 2



∵ A , B 是 椭 圆 上 的 两 点 , ∴ ? = ( 26m) 2 ? 4 × 13(169m 2 ? 48) > 0 . 解 得

?

2 13 2 13 <m< . 13 13 13 4 13 m ,∴ x0 = (? m) = ?m , 4 13 4 1 13 1 13 y0 = ? x0 ? m = ? × (? m) ? m = ?3m ,即 M 点坐标为 (? m , ? 3m) . 4 4 4 4

(法 2)同解法 1 得出 n = ? 法

(? m) 2 (?3m) 2 ∵ A , B 为椭圆上的两点,∴ M 点在椭圆的内部,∴ + <1 .解得 4 3 ? 2 13 2 13 <m< . 13 13

(法 3)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是椭圆上关于 l 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的坐标 法 为 ( x0 , y0 ) .

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2 2 2 2

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∵ A , B 在 椭 圆 上 , ∴

x1 y x y + 1 =1 , 2 + 2 =1 . 两 式 相 减 得 4 3 4 3

3( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) + 4( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) = 0 ,
即 3 ? 2 x0 ( x1 ? x2 ) + 4 ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) = 0 .∴

y1 ? y2 3x = ? 0 ( x1 ≠ x2 ) . x1 ? x2 4 y0
①。

又∵直线 AB ⊥ l ,∴ k AB ? k l = ?1 ,∴ ? 又 M 点在直线 l 上,∴ y0 = 4 x0 + m

3 x0 ? 4 = ?1 ,即 y0 = 3 x0 4 y0

②。由①,②得 M 点的坐标为 (? m , ? 3m) .以

下同解法 2. 说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列 说明: 参数满足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得 到的一元二次方程的判别式 ? > 0 ,建立参数方程. 满足 (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,

x0 y + 0 < 1 , x0 ,y0 利用参数表示, 将 a b

2

2

建立参数不等式. 39、已知抛物线 y2=2px (p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,求 p 的取值范围. 分析:解决本题的关键是找到关于 p 的不等式。 设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x1,y1)、 2,y2), N(x 设直线 MN 的方程为 y=x+b. 代入抛物线方程,得:x2+(2b-2p)x+b2=0.则 x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则 MN 的中点 P 的坐标为 (p-b,p).因为点 P 在直线 x+y=1 上,所以 2p- b=1,即 b=2p-1。 又 ? =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将 b=2p-1 代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得: 0<p<

2 . 3
2 2

40、 已知圆 O : x + y =

16 2 7 (I) 若直线 l 过点 (1,2) , 且与圆 O 交于两点 R 、 ,RS = S , 9 . 3

求直线 l 的方程; (II)过圆 O 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设直线 m 与 y 轴的交 (Ⅲ)若直线 nl : x + 3 y ? 8 = 0 , 点为 N ,若向量 OQ = OM + ON ,求动点 Q 的轨迹方程; 点 A 在直线 n 上,圆 O 上存在点 B ,且 ∠OAB = 30° ( O 为坐标原点),求点 A 的横坐标的 取值范围. 解: (Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x = 1 ,满足题意. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k + 2 = 0
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| ?k + 2 | 16 ? 7 ? 3 设圆心到此直线的距离为 d ,则 d = ?? ,k = , ? 3 ? = 1 ∴1 = ? 9 ? 4 k 2 +1 ?
故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0 ,综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 (Ⅱ)设点 M ( x0 , y 0 ) , Q ( x, y ) ,则 N (0, y 0 ) ∵ OQ = OM + ON , ∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 ) 即 x0 = x , y 0 =

y 2

又∵ x0 + y0 =
2 2

16 y 2 16 2 , x + ∴ = 9 4 9 ,

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ≠ 0 ,∴ Q 点的轨迹方程是

M 8 ? x0 ) .过点 A 作圆 O 的切线, (Ⅲ)依题意点 A ∈ n ,设 A( x0 , B 3 O 切 点 为 M , 则 ∠OAM ≥ ∠OAB = 30° . 从 而 1 | OM | 1 sin ∠OAM ≥sin30° = , 即 ≥ sin30° = , 就 是 2 | OA | 2 8 ? x0 2 64 64 8 2 2 | OA |2 ≤ 4(| OM |2 ) = , x0 + ( ) ≤ , 5 x0 ? 8 x0 ≤ 0 ,解得 x0 ∈ [0, ] . 9 3 9 5

y 2 16 x + = ( y ≠0) . 4 9
2

y

A

x

41、已知△PAQ 顶点 P(-3,0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上, PA ? AQ = 0 ,

QM = 2 AQ .(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 l:y=k
(x+1)与轨迹 E 交于 B、C 两点,点 D(1,0) ,若∠BDC 为钝角,求 k 的取值范围. 解:(1) OM =(x,y) OA =(0,a) OQ =(b,0) , , (b>0) ,则 PA =(3,a) ,

AQ =(b,-a) PA · AQ =0,∴a2=3b ①,又∵ QM =(x-b,y) AQ = ,又 ,
(b,-a) QM =2 AQ ,∴ ? ,

? x = 3b ? y = ?2 a

②,

由①②得 y2=4x(x≠0). 即 M 的轨迹的方程为 y2=4x,x≠0. (2)设 OB =(x1 ,y1 ) OC =(x2 ,y2 ) DB =(x1-1,y1 ) DC =(x2-1,y2 ) , , , ,

DB · DC =| DB |·| DC |cos∠BDC,∵∠BDC 为钝角,∴cos∠BDC=

DB ? DC | DB | ? | DC |

< 0,

∴ DB · DC <0,x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0 ③.

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? y = 4x 4 ? 2k 2 2 2 2 2 由? 消去 y, k x + 得 (2k -4) x+k =0 (k≠0) 则 x1+x2= , , 1x2=1 ④, x k2 ? y = k ( x + 1)
y1y2=k2 1+1) 2+1) k2 1x2+ 1+x2) (x (x = [x (x +1] ⑤, ④⑤代入③, k2< 得

2 2 1 ?? <k< 2 2 2

(k≠0) ,满足△>0. ∴ ?

2 2 <k< (k≠0). 2 2

42、给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,记 O (2) 当三角形 OAB 的面积 S∈ [2, 5 ] , 为坐标原点. 1) OA ·OB 的值; 设 AF = λ FB , ( 求 求 λ 的取值范围. (1)根据抛物线方程 y2=4x,可得 F(1,0) , 设直线 l 的方程为 x=my+1,将其与 C 的方程联立,消去 x 得 y2-4my-4=0, , (y 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 1>0>y2).
2 2 则 y1y2=-4.因为 y1 = 4 x1 , y 2 = 4 x 2 ,所以 x1x2=

1 2 2 y1 y 2 = 1. 16

故 OA ? OB = x1x2+y1y2=-3. (2)因为 AF = λ FB 所以(1-x1,-y1)= λ (x2-1,y2). 即?

?1 ? x1 = λx2 ? λ ?? y1 = λy 2

① ②

2 ,又 y1 = 4 x1 , ③

2 y 2 = 4 x2 , ④

由②、③、④消去 y1,y2 后,得 x1= λ 2x2,将其代入①注意到 λ >0,解得 x2= 从而可得 y2= ?

1

λ

.

2

λ

,y1= 2 λ .故三角形 OAB 的面积 S =

1 1 |OF|·|y1-y2|= λ + , 2 λ 3? 5 ≤λ ≤ 2

因为

λ+

1

λ

≥2 恒成立. 所以只要解

λ+

1

λ

≤ 5 即可,解得

3+ 5 . 2
43、已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x = ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆 心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点.(i) 问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝 角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系,是解析几何中的存在性 问题.
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(1)由曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,知曲线 M 的方程为 y 2 = 4 x .
? (2) (i)由题意得,直线 AB 的方程为 y = ? 3 ( x ? 1),由 ? y = ? 3 ( x ? 1), 消 y 得 ? 2 ? y = 4 x, ?

1 3 x 2 ? 10 x + 3 = 0, 解出x1 = , x 2 = 3. 3
1 2 3 16 于是, A 点和 B 点的坐标分别为 A ( , , ) ,B(3, ? 2 3 ) | AB |= x1 + x 2 + 2 = . 3 3 3 假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|, 即有
16 2 ? 2 2 ① ?(3 + 1) + ( y + 2 3 ) = ( 3 ) ? ? ?( 1 + 1) 2 + ( y ? 2 ) 2 = (16 ) 2 ② ? 3 3 ?3

y 2 = 4x
2 3 3
3

由①-②得 4 2 + ( y + 2 3 ) 2 = ( 4 ) 2 + ( y ? 2 3 ) 2 ,
3

解得y = ?

14 3 . 9

?2 3

(3, ? 2 3 )

因为 y = ? 14 3 不符合①,所以由①,②组成的方程组无解.
9

故知直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii)设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形, 由 ? y = ? 3 ( x ? 1), 得 y = 2 3. ?
? x = ?1,

即当点 C 的坐标是(-1, 2 3 )时,三点 A,B,C 共线,故 y ≠ 2 3 .
1 2 3 2 28 4 3 y | AC | 2 = (?1 ? ) 2 + ( y ? ) = ? + y2 , 3 3 9 3

| BC | 2 = (3 + 1) 2 + ( y + 2 3 ) 2 = 28 + 4 3 y + y 2 ,
16 256 . | AB | 2 = ( ) 2 = 3 9

(i) 当 | BC | 2 >| AC | 2 + | AB | 2 ,即 28 + 4 3 y + y 2 > 28 ? 4 3 y + y 2 + 256 , 9 3 9 2 即y> 3时, ∠CAB 为钝角. 9 (ii) 当 | AC | 2 >| BC | 2 + | AB | 2 ,即 28 ? 4 3 y + y 2 > 28 + 4 3 y + y 2 + 256 , 9 3 9 即 y < ? 10 3时∠CBA 为钝角.
3

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(iii)当 | AB | 2 >| AC | 2 + | BC | 2 ,即

256 28 4 3 y > ? + y 2 + 28 + 4 3 y + y 2 , 9 9 3

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 即 y 2 + 4 3 y + 4 < 0, ( y + 2 ) 2 < 0 . 3 3 3 故 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 , 点 C 的 纵 坐 标 y 的 取 值 范 围 是
y<? 10 3 2 3 ( y ≠ 2 3) . 或y > 3 9

44、在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2, 2

曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系, 求曲线 E 的方程; (2)过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之 间,设

DM = λ , 试确定实数 λ 的取值范围. DN

讲解: 讲解 (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = y C

2 2 + 22 + ( )2 = 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹是椭圆 . ∵a =

A

O

B

x

2,

b = 1,

c = 1.

x2 ∴曲线 E 的方程是 + y2 = 1 . 2
(2)设直线 L 的方程为 y = kx + 2 , 代入曲线 E 的方程 x + 2 y = 2 ,得
2 2

(2k 2 + 1) x 2 + 8kx + 6 = 0
设 M1( x1, y1 ),

N ( x2 , y 2 ) , 则

? ?? = (8k ) 2 ? 4(2k + 1) × 6 > 0,① ? 8k ? , ? x1 + x 2 = ? 2 ② 2k + 1 ? ? 6 ③ ? x1 x 2 = 2k 2 + 1 . ?
i) L 与 y 轴重合时, λ =

| DM | 1 = | DN | 3

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ii)

L 与 y 轴不重合时, 由①得 又∵ λ =

3 k2 > . 2

x DM x D ? x M = = 1 , DN xD ? xN x2


∵ x 2 < x1 < 0, ∴0< λ <1 ,

x 2 > x1 > 0,

( x1 + x 2 ) 2 x1 x 2 1 ∴ = + +2=λ+ +2 . x1 ? x 2 x 2 x1 λ


( x + x2 ) 2 x1 ? x 2
2

=

64k 2 = 6(2k 2 + 1)

32 3(2 + 1 ) k2

而k > ∴ 4<

3 , 2

∴ 6 < 3( 2 +

1 ) < 8. k2

32 3(2 + 1 ) k2

<

16 , 3
16 , 3 2<λ+ 1 10 , 3

∴ 4<λ+

1

λ

+2<

λ

<

? ?0 < λ < 1, ? 1 ? ?λ + > 2, λ ? 1 10 ? ?λ + λ < 3 , ?

?

1 ?1 ? < λ < 1. ∴ λ 的取值范围是 ? ,1? . 3 ?3 ?

45、已知平面上一定点 C ( ?1, 0) 和一定直线 l : x = ?4. P为该平面上一动点,作 PQ ⊥ l , 垂足为 (2)点O Q , ( PQ + 2 PC ) ? ( PQ ? 2 PC ) = 0 .(1) 问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程; 是坐标原 点, A、B 两点在点P的轨迹上,若 OA + λ OB = 1 + λ) , 求 λ 的取值范围. ( OC 解:(1)由 ( PQ + 2 PC ) ? ( PQ ? 2 PC ) = 0 ,得: PQ ? 4 PC = 0 ,………(2 分)
2 2









uuv

uuu v

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? ? 设 P ( x, y ) ,则 ( x + 4) 2 ? 4 ? ( x + 1) 2 + y 2 ? = 0 ,化简得: + = 1 ,………(4 分) 4 3

x2

y2

x2 y 2 点 P 在椭圆上,其方程为 + = 1 .………(6 分) 4 3
(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,由 OA + λ OB = (1 + λ )OC 得:CA + λ CB = 0 ,所以, A 、B 、 C 三点共线.且 λ > 0 ,得: ( x1 + 1, y1 ) + λ ( x2 + 1, y2 ) = 0 ,即: ?

? x1 = ?1 ? λ ? λ x2 …(8 分) ? y1 = ?λ y2

x12 y12 (?1 ? λ ? λ x2 ) (?λ y2 ) 2 因为 + = 1 ,所以 + =1 4 3 4 3

①………(9 分)

又因为

x2 2 y2 2 (λ x2 ) 2 (λ y2 ) 2 + = 1 ,所以 + = λ2 4 3 4 3

②………(10 分)

由①-②得:

2λ (λ + 1) x2 + (λ + 1)2 3 ? 5λ = 1 ? λ 2 ,化简得: x2 = ,………(12 分) 4 2λ

因为 ?2 ≤ x2 ≤ 2 ,所以 ?2 ≤ 解得:

3 ? 5λ ≤ 2. 2λ
………(14分)

1 ?1 ? ≤ λ ≤ 3 所以 λ 的取值范围为 ? , 3? . 3 ?3 ?

六、定值、定点、定直线 定值、定点、
46、过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点.求证: 直线 BC 的斜率是定值. 分析: (1)点 A 为定点,点 B、C 为动点,因直线 AB、AC 的倾斜角互补,所以 kAB 与 kAC 分析: 相反,故可用“k 参数”法,设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程,将 AB 的方程与抛物线 方程联立,因 A 为已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B 坐标,同理可得 点 C 坐标,再求 BC 斜率。 (2) 因点 B、 在抛物线上移动, C 也可用 “点参数” 设 B 1,y1) 法, (x ,C(x2,y2),因 x1=y1 ,x2=y2 , 即可设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2)。再考虑 kAB=-kAC 得参数 y1,y2 的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与 y =x 联立得:
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2 2 2 2 2 2

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2

y-2=k(y -4),即 ky -y-4k+2=0 ∵y=2 是此方程的一解,∴2yB=

2

? 4k + 2 1 ? 2k , yB = k k

xB=yB =

2

? 1 ? 4k + 4k 2 1 ? 2k ? 1 ? 4k + 4k 2 ? , ∴B ? , ? k ? k2 k2 ? ? ? 1 + 4k + 4k 2 1 + 2k ? ? , ?k ? k2 ? ?

∵kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C ? ?

1 + 2k 1 ? 2 k ? 1 k k ∴kBC= = ? 为定值 2 2 4 1 + 4 k + 4k 1 ? 4k + 4k ? 2 k k ?
解法 2:设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2),则 kBC=
2 2

y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

=

1 y 2 + y1

∵kAB=

y1 ? 2 y ?2 1 1 = , k AB = 22 = 2 y 1 ? 4 y1 + 2 y2 ? 4 y2 + 2
1 1 1 =? , 则y1 + y 2 = ?4 则 kBC= ? 为定值。 y1 + 2 y2 + 2 4

由题意,kAB=-kAC ∴

点评:解法 1 运算量较大,但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变 点评 化,最终求出 BC 的斜率为定值;解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点,形成含两个参数 y1,y2 的问题,用整体思想解题,运算量较小。 47、已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,D 是 AB 的中 点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, v uuv uuu u ① 当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程;② 设点 E (m,0)是 x 轴上一点,求当 PE · QE 恒为定 值时 E 点的坐标及定值. 解:(1)设 D(x,y),A(a,a),B(b,-b),∵ D 是 AB 的中点, ∴x=
a+b a ?b ,y= , 2 2

∵ |AB|=2 3 ,∴(a-b)2+(a+b)2=12,∴(2y)2+(2x)2=12∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x2+ y2=3. (2) ①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, 2 ),Q(1,- 2 ),此时|PQ|=2 2 ,不符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为
3 , 2

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| ?k | k +1
2



3 ,解得 k= ± 3 .故直线 l 的方程为 y= ± 3 (x-1). 2

②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1), 由消去 y 得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得 x1+x2= 则 PE =(m-x1,-y1), QE =(m-x2,-y2), ∴ PE · QE =(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1) =m2-
2mk 2 k2 ?3 k2 ?3 2k 2 (m 2 ? 2m ? 1)k 2 + m 2 ? 3 + 2 +k2 ( 2 - 2 +1)= 2 k +1 k +1 k +1 k +1 k 2 +1 2k 2 k2 ?3 ,x1x2= 2 , 2 k +1 k +1

要使上式为定值须

m 2 ? 2m ? 1 =1,解得 m=1,∴ PE · QE 为定值-2, m2 ? 3

当直线 l 的斜率不存在时 P(1, 2 ),Q(1,- 2 ), 由 E(1,0)可得 PE =(0,- 2 ), QE =(0, 2 ),∴ PE · QE =-2, 综上所述当 E(1,0)时, PE · QE 为定值-2. 48、垂直于 x 轴的直线交双曲线 x 2 ? 2 y 2 = 2 于 M、N 不同两点,A1、A2 分别为双曲线的 左顶点和右顶点, 设直线 A1M 与 A2N 交于点 P 0, 0) (x y (Ⅰ) 证明:x 0 + 2 y 0 为定值;(Ⅱ)
2 2

过 P 作斜率为 ?

x0 的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值. 2 y0

解(Ⅰ)证明: 设M ( x1 ,? y1 ), 则N ( x1 ,? y1 ),∵ A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0)

∴ 直线A1 M的方程为y =

y1 x1 + 2

(x + 2)



直线 A2N 的方程为 y =

? y1 x1 ? 2

(x ? 2 )

②……4 分

①×②,得 y =
2

? y12 x1 ? 2
2

( x 2 ? 2)

1 ∵ x12 ? 2 y12 = 2,∴ y 2 = ? ( x 2 ? 2), 即x 2 + 2 y 2 = 2 2 ∵ P( x0 , y 0 )是直线A1 M与A2 N的交点
2 2 ∴ x0 + 2 y 0 = 2为定值 ??8分

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(Ⅱ) l的方程为y ? y 0 = ?

x0 2 2 ( x ? x0 ), 结合x0 + 2 y 0 = 2整理得x0 x + 2 y 0 y ? 2 = 0 2 y0

于是d =

2
2 2 x0 + 4 y 0

=

2
2 2 + 2 y0

=

2 ……10 分 2 1 + y0

2 2 ∵ x0 + 2 y 0 = 2

2 ∴ y0 ≤ 1

2 ∴1 + y 0 ≤ 2

∴d =

2 ≥1 2 1 + y0

当 y 0 = ±1时, y 0 = 1, d取最小值1 ……12 分
2

49、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 相 交于 A、B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ANB 面积的最小值; (2) 是否存在垂直 y 轴的直线 l, 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l 的方程;若不存在,说明理由. ,B(x2, y2) ,直线 AB 的 解法一: (1)依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p) ,可设 A(x1, y1) 方 程 为 y = kx + p , 与 x2=2py 联 立 得 ?
? x 2 = 2 py, ? y = kx + p.

消去 y 得

x 2 ? 2 pkx ? 2 p 2 = 0.

由韦达定理得 x1 + x2 = 2 pk , x1 x2 = ?2 p 2 . 于是
S ?ABN = S ?BCN + S ?ACN = 1 × 2 p | x1 ? x2 |= p | x1 ? x2 |= p ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2

= p 4 p 2 k 2 + 8 p 2 = 2 p 2 k 2 + 2,

∴当 k=0 时, ( S ?ABN )min = 2 2 p 2 . (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a, AC 的中点为 O′ ,l 与以 AC 为直径的 ?x y + p? y 圆相交于点 P、Q,PQ 的中点为 H,则 O ′H ⊥ PQ, O′ 点的坐标为 ? 1 , 1 ?.
?2 2 ?

∵ | O′P |=

1 1 2 1 2 | AC |= x1 + ( y1 ? p) 2 = y1 + p 2 , 2 2 2 y1 + p 1 = | 2a ? y1 ? p |, 2 2

B l A

| O′H |= a ?

O′

C

∴ | PH |2 =| O ′P |2 ? | O′H |2 = ( y12 + p 2 )) ? (2a ? y1 ? p )2 = ? a ?
?? p? ? ∴ | PQ | = (2 | PH |) = 4 ?? a ? ? y1 + a( p ? a) ? . 2? ?? ?
2 2

1 4

1 4

? ?

p? ? y1 + a ( p ? a ), 2?

O N

x

令a?

p p p = 0, a = , 得 此时|PQ|=p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y = , 2 2 2
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即抛物线的通径所在的直线. 解法二: (1)前同解法一,再由弦长公式得
| AB |= 2 + k 2 | x1 ? x 2 |= 1 + k 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 1 + k 2 ? 4 p 2 k 2 + 8 p 2 = 2 p 1 + k 2 ? k 2 + 2.

又由点到直线的距离公式得 d =
S?ABN =

2p 1+ k 2

,从而,

1 1 2p ? d ? | AB |= ? 2 p 1 + k 2 ? k 2 + 2 ? = 2 p2 k 2 + 2 , 2 2 2 1+ k

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a,则以 AC 为直径的圆的方程为
( x ? 0)( x ? x1 ) + ( y ? p)( y ? y1 ) = 0 ,将直线方程 y=a 代入得 x 2 ? x1 x + (a ? p)(a ? y1 ) = 0,

则 ? = x12 ? 4(a ? p )(a ? y1 ) = 4 ?? a ?
??

??

? p? ? y1 + a( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P(x3, y3) ,Q(x4, y4) ,则有
?? p? ? p? ? | PQ |=| x3 ? x4 |= 4 ?? a ? ? y1 + a ( p ? a) ? = 2 ? a ? ? y1 + a( p ? a ). 2? 2? ? ?? ?

令a?

p p p = 0, 得a = ,此时|PQ|=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y = ,即 2 2 2

抛物线的通径所在的直线. 50、已知双曲线 C :

x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = (Ⅰ) 2 a b 3

求双曲线 C 的方程;Ⅱ) ( 设直线 l 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上动点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0) 处的切线,

l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,证明 ∠AOB 的大小为定值.
【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? = ? 3 ,解得 a = 1, c = 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c = 3 ?a ?
∴ b = c ? a = 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2 2

y2 = 1. 2

(Ⅱ)点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 2 上, 圆在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y0 = ?

x0 ( x ? x0 ) , y0

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x0 x + y0 y = 2

.



? 2 y2 =1 ?x ? 2 ? ?x x + y y = 2 0 ? 0



2 2 x0 + y0 = 2



( 3x

2 0

2 ? 4 ) x 2 ? 4 x0 x + 8 ? 2 x0 = 0 , 2

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 < x0 < 2 ,
2 2 2 ∴ 3 x0 ? 4 ≠ 0 ,且 ? = 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 > 0 , 2

(

)(

)

2 4 x0 8 ? 2 x0 设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 2 , 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

∵ cos ∠AOB =

OA ? OB OA ? OB

,且 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 +

1 2 ? x0 x1 )( 2 ? x0 x2 ) , 2 ( y0

= x1 x2 +

1 2 ? 4 ? 2 x0 ( x1 + x2 ) + x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

2 2 2 2 x0 ( 8 ? 2 x0 ) ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? = 2 + + 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ? 2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 = 0 .∴ ∠AOB 的大小为 90° . 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

==

(Ⅰ)同解法 1. 【解法 2】 (Ⅱ)点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 2 上, 圆在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y0 = ?

x0 ( x ? x0 ) , y0

? 2 y2 =1 ?x ? 2 2 2 2 化简得 x0 x + y0 y = 2 .由 ? 及 x0 + y0 = 2 得 ( 3 x0 ? 4 ) x 2 ? 4 x0 x + 8 ? 2 x0 = 0 2 ?x x + y y = 2 0 ? 0
2 2 ① 3 x0 ? 4 y 2 ? 8 y0 x ? 8 + 2 x0 = 0

(

)

②∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且

2 2 0 < x0 < 2 , ∴ 3 x0 ? 4 ≠ 0 , 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ? 8 ° x1 x2 = 2 , y1 y2 = 2 ,∴ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 ,∴ ∠AOB 的大小为 90 . 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

(∵ x0 + y0 = 2 且 x0 y0 ≠ 0 ,∴ 0 < x0 < 2, 0 < y0 < 2 ,从而当 3 x0 ? 4 ≠ 0 时,方程①和
2 2 2 2 2

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方程②的判别式均大于零). 2 51、 (1)若 A、B 是抛物线 y =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点) .求证:直线 AB 过定点. (2)已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F, A、B 为抛物线上的两个动点. (Ⅰ)如果直 线 AB 过抛物线焦点,判断坐标原点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并给出证明; uuv uuu v (Ⅱ)如果 OA ? OB = ?4 ( O 为坐标原点) ,证明直线 AB 必过一定点,并求出该定点. (1)证明:设 OA:y=kx,代入 y =2px 得 k x =2px 则 x =
2 2 2

2p 2p ,y = 2 k k

∴ A(

2p 2p , ) k2 k

k AB

1 2 x 可得 B(2pk ,-2pk) k 2p 1 + 2 pk +k 1 k = k = k = = 2 2p 1 1 ? 2 pk 2 ?k2 ? k 1? k k k2 k2 k ∴ AB : y 2 pk = ( x ? 2 pk 2 ) 令 x=2p 得 y=0,说明 AB 恒过定点(2p,0) 2 1? k
同理由 OB:y=-

(2)解:Ⅰ) ( ∵焦点 F 为 (1, , 0)过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x = ty + 1 , 代入抛物线 y 2 = 4 x 得: y 2 ? 4ty ? 4 = 0 , 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 y2 = ?4 ,
x1 x2 =
2 y12 y2 i = 1. 4 4

∴ OAiOB = x1 x2 + y1 y2 = 1 ? 4 = ?3 < 0 ,

于是 ∠AOB 为钝角,故 O 在圆内.
2

………………6 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 x = ty + b, 代入抛物线y = 4 x 消去 x,得

y 2 ? 4ty ? 4b = 0.设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 y1 + y2 = 4t , y1 y2 = ?4b.
∵ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = (ty1 + b)(ty2 + b) + y1 y2 = t 2 y1 y2 + bt ( y1 + y2 ) + b 2 + y1 y2
= ? 4bt + 4bt + b ? 4b = b ? 4b .
2 2 2 2

令 b 2 ? 4b = ?4,∴ b = 2. ,∴直线 AB 过定点(2,0) .…………………13 分 52、 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 上存在一点 P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的 a2 b2

距 离相等. 求椭圆的离心率 e 的取值范围; (I) (II) 若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)若直线 l : y = kx + m 与(II)中所述椭圆 C 相交于 A 、

B 两点( A 、 B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A2 ,求证:直线 l
过定点,并求出该定点坐标.

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解:(Ⅰ)设点 P 的坐标为 P ( x, y ) ,则|PF|= a + ex ,∴ a + ex =

a ? x , 整理得: c

2

x=

a 2 (a ? c) a 2 (a ? c) ,而 x ≤ a ,∴ ≤ a ,解得 2 ? 1 ≤ e < 1 c ( a + c) c(a + c)
∴椭圆的方程为

(II) a + c = 3, a ? c = 1 ,∴ a = 2, c = 1, b 2 = 3 ,

x2 y 2 + = 1. 4 3

? y = kx + m, ? (Ⅲ)设 A( x2 , y2 ), B ( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 = 1, ? + 3 ?4
得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8mkx + 4( m 2 ? 3) = 0 .

? ?△= 64m2 k 2 ? 16(3 + 4k 2 )(m 2 ? 3) > 0, 即3 + 4k 2 ? m 2 ? 0 ? 8mk ? 则 ? x1 + x2 = ? , 3 + 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 ? x2 = . ? 3 + 4k 2 ?
又 y1 y2 = ( kx2 + m)( kx2 + m) ? k x1 x2 + mk ( x1 ? x2 ) + m =
2 2

3(m 2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

∵椭圆的右顶点为 A2 (2, 0), AA2 ⊥ BA2 , ,

∴ ( x2 ? 2)( x2 ? 2) + y1 y2 = 0, ∴ y1 y2 + x1 x2 ? 2( x1 + x2 ) + 4 = 0, ∴ 3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk + + + 4 = 0, ∴ 7 m 2 + 16mk + 4k 2 = 0, 3 ? 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
2k 2 2 ,且均满足 3 + 4k ? m > 0 , 7

解得: m1 = ?2k , m2 = ?

当 m1 = ?2k 时, l 的方程为 y = k ( x ? 2) ,直线过定点 ( 2, 0 ) ,与已知矛盾. 当 m2 = ?

2k 2 时, l 的方程为 y = k ( x ? ) , 7 7

直线过定点 ?

?2 ? ,0? , ?7 ?

∴直线 l 过定点,定点坐标为 ?

?2 ? ,0? . ?7 ? ? 3? ? ? 2?

53、 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过 A ( ?2, 0 ) 、B ( 2,0 ) 、C ? 1,

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三点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y = k ( x ? 1) ( k ≠ 0 )与椭圆 E 交于 M 、

N 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的交点在一条定直线上.

x2 y2 (Ⅰ)解法一:当椭圆 E 的焦点在 x 轴上时,设其方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 解法一: , 解法一 a b
则 a = 2 ,又点 C ? 1,

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆 E 上,得 2 + 2 = 1 .解得 b = 3 . 2 4b 2? ?
x2 y 2 + = 1. 4 3

∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 当椭圆 E 的焦点在 y 轴上时,设其方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , b a
则 b = 2 ,又点 C ? 1,

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆 E 上,得 2 + 2 = 1 .解得 a = 3 ,这与 a > b 矛盾. 2 4a 2? ? x2 y 2 + = 1. 4 3
……4 分

综上可知,椭圆 E 的方程为

2 2 解法二: ,将 A ( ?2, 0 ) 、 B ( 2,0 ) 、C ? 1, 解法二:设椭圆方程为 mx + ny = 1( m > 0, n > 0 )

? 3? ?代 ? 2?

?4m = 1, 1 1 x2 y 2 ? 解得 m = , n = .∴椭圆 E 的方程为 + = 1. 入椭圆 E 的方程,得 ? 9 4 3 4 3 ?m + 4 n = 1. ?
( Ⅱ ) 证 法 一 : 将 直 线 l : y = k ( x ? 1) 代 入 椭 圆 E 的 方 程

x2 y 2 + =1 并整理,得 4 3

( 3 + 4k ) x
2

2

? 8k 2 x + 4 ( k 2 ? 3) = 0 ,设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
……8 分

4 ( k 2 ? 3) 8k 2 , x1 x2 = . 由根与系数的关系,得 x1 + x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2
直线 AM 的方程为: y =

? 6y ? y1 ( x + 2 ) ,它与直线 x = 4 的交点坐标为 P ? 4, 1 ? ,同理 x1 + 2 ? x1 + 2 ? ? ? 2 y2 ? ?. x2 ? 2 ?
……10 分

可求得直线 BN 与直线 x = 4 的交点坐标为 Q ? 4,

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等:
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∵ y1 = k ( x1 ? 1) , y2 = k ( x2 ? 1) , ∴

6k ( x1 ? 1)( x2 ? 2 ) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 + 2 ) 6 y1 2 y2 ? = x1 + 2 x2 ? 2 ( x1 + 2 )( x2 ? 2 )

? 8 ( k 2 ? 3) 40k 2 ? 2k ? ? + 8? 2 3 + 4k 2 2k ? 2 x1 x2 ? 5 ( x1 + x2 ) + 8? ? ? ? 3 + 4k ? ? ? =0. = = x1 + 2 )( x2 ? 2 ) x1 + 2 )( x2 ? 2 ) ( (
因此结论成立. 综上可知,直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x = 4 上. 证 法 二 : 将 直 线 l : y = k ( x ? 1) , 代 入 椭 圆 E 的 方 程 ……14 分

x2 y 2 + =1 并整理,得 4 3
……6 分

( 3 + 4k ) x
2

2

? 8k 2 x + 4 ( k 2 ? 3 ) = 0 ,

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 由根与系数的关系,得 x1 + x2 =

4 ( k 2 ? 3) 8k 2 , x1 x2 = . 3 + 4k 2 3 + 4k 2

……8 分

直线 AM 的方程为: y =

k ( x ? 1) y1 ( x + 2 ) ,即 y = 1 ( x + 2 ) . x1 + 2 x1 + 2 k ( x ? 1) y2 ( x ? 2 ) ,即 y = 2 ( x ? 2 ) . x2 ? 2 x2 ? 2
……10 分

直线 BN 的方程为: y =

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得

x=

2 ( 2 x1 x2 ? 3 x1 + x2 ) x1 + 3 x2 ? 4

2 ? 2 x1 x2 ? 3 ( x1 + x2 ) + 4 x2 ? ? = ? ( x1 + x2 ) + 2 x2 ? 4

? 8 ( k 2 ? 3) 24k 2 ? 2 2? ? + 4 x2 ? 4 ? ? 4k + 6 + x ? 2 2 ? 2? 2 3 + 4k ? 3 + 4k ? ? ? = ? 3 + 4k ? = 4. = 2 2 8k 4k + 6 ? 4 + 2 x2 ? + x2 2 3 + 4k 3 + 4k 2 ∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x = 4 上.
证 法 三 : 将 直 线 l : y = k ( x ? 1) , 代 入 椭 圆 方 程

……14 分

x2 y 2 + =1 并 整 理 , 得 4 3
……6 分

( 3 + 4k ) x
2

2

? 8k 2 x + 4 ( k 2 ? 3 ) = 0 ,
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设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

4 ( k 2 ? 3) 8k 2 由根与系数的关系,得 x1 + x2 = , x1 x2 = . 3 + 4k 2 3 + 4k 2
消去 k 得, 2 x1 x2 = 5 ( x1 + x2 ) ? 8 .
2

……8 分 ……10 分

直线 AM 的方程为: y =

k ( x ? 1) y1 ( x + 2 ) ,即 y = 1 ( x + 2 ) . x1 + 2 x1 + 2 k ( x ? 1) y2 ( x ? 2 ) ,即 y = 2 ( x ? 2 ) . x2 ? 2 x2 ? 2
……12 分

直线 BN 的方程为: y =

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y 得,

x=

2 ( 2 x1 x2 ? 3x1 + x2 ) 2 ?5 ( x1 + x2 ) ? 8 ? 3x1 + x2 ? ? =4. = ? x1 + 3 x2 ? 4 x1 + 3x2 ? 4
……14 分

∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x = 4 上.

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