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2013年高考数学总复习精品资料6 集合


2013 年高考数学总复习精品资料
集合
考纲导读 (一)集合的含义与表示 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (二)集合间的基本关系 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中,了解全集与空集的含义. (三)集合的基本运算 1.理解两个集合

的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算。 知识网络 分类 集合的概念 集 合 元素的性质 无限集 有限集 空集 确定性 互异性 列举法 描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 集合运算 子集 相 等 交集 并集 高考导航 无序性

集合的表示法

补集

根据考试大纲的要求,结合 2009 年高考的命题情况,我们可以预测 2010 年集合部分在选择、填空和解答 题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应 用等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载 体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题 型常以解答题的形式出现.

第 1 课时

集合的概念

基础过关 一、集合 1.集合是一个不能定义的原始概念,描述性定义为:某些指定的对象 就成为一个集合,简 称 .集合中的每一个对象叫做这个集合的 . 2.集合中的元素属性具有: (1) 确定性; (2) ; (3) . 3.集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种,有限集常用 ,无限集 常用 ,图示法常用于表示集合之间的相互关系. 二、元素与集合的关系 4.元素与集合是属于和 的从属关系,若 a 是集合 A 的元素,记作 ,若 a 不是集合 B 的元素,记作 .但是要注意元素与集合是相对而言的. 三、集合与集合的关系 5.集合与集合的关系用符号 表示. 6.子集:若集合 A 中 都是集合 B 的元素,就说集合 A 包含于集合 B(或集合 B 包含集合 A) , 记作 . 7.相等:若集合 A 中 都是集合 B 的元素,同时集合 B 中 都是集合 A 的元素,就说 集合 A 等于集合 B,记作 . 8.真子集:如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 . 9.若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 个,真子集有 个,非空真子集有 个. 10.空集 ? 是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素, ? 是任何集合的 合的 ,解题时不可忽视 ? . 典型例题 例 1. 已知集合 A ? ? x ? N | , ? 是任何非空集

? ?

8 ? ? N ? ,试求集合 A 的所有子集. 6? x ?

解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,所以 6 ? x 可以是 1, 2, 4,8 ;相应的 x 为

2, 4,5 ,即 A ? ?2, 4,5? .
∴ A 的所有子集为 ? ,{2},{4},{5},{2, 4},{2,5},{4,5}{2, 4,5} . 变式训练 1.若 a,b ? R,集合 ?1, a ? b, a? ? ?0, b , b ? , 求 b-a 的值. ? ?
? a ?

解:由 ?1, a ? b, a? ? ?0, b , b ? 可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应关系: ? ?
? a ?

?a ? b ? 0 ?b ? ? ?a ?a ?b ? 1 ?

①或

? ?a ? b ? 0 ? ?b ? a ?b ? ?1 ?a



由①得 ?

?a ? ?1 , 符合题意;②无解.所以 b-a=2. ?b ? 1

例 2. 设集合 U ? {2,3, a 2 ? 2a ? 3} , A ? {| 2a ? 1|, 2} , CU A ? {5} ,求实数 a 的值. 解:此时只可能 a 2 ? 2a ? 3 ? 5 ,易得 a ? 2 或 ? 4 。 当 a ? 2 时, A ? {2,3} 符合题意。 当 a ? ?4 时, A ? {9,3} 不符合题意,舍去。 故a ? 2。 变式训练 2: (1)P={x|x2-2x-3=0},S={x|ax+2=0},S ? P,求 a 取值? (2)A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B ? A,求 m。 解: (1)a=0,S= ? , ? ? P 成立 得 3a+2=0,a=- a ? 0,S ? ? ,由 S ? P,P={3,-1} ∴a 值为 0 或-

2 或-a+2=0,a=2; 3

2 或 2. 3

(2)B= ? ,即 m+1>2m-1,m<2 ∴ ?

A 成立.

? m ? 1 ? 2m ? 1 ? B≠ ? ,由题意得 ? ?2 ? m ? 1 得 2≤m≤3 ?5 ? 2m ? 1 ?
∴m<2 或 2≤m≤3 即 m≤3 为取值范围. 注: (1)特殊集合 ? 作用,常易漏掉 例 3. 已知集合 A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}.? (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围;? (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值;? (3)若 A 中至多只有一个元素,求 m 的取值范围.? 解: 集合 A 是方程 mx2-2x+3=0 在实数范围内的解集.? (1)∵A 是空集,∴方程 mx2-2x+3=0 无解.? ∴Δ =4-12m<0,即 m> 1 .?
3

(2)∵A 中只有一个元素,? ∴方程 mx2-2x+3=0 只有一个解.? 若 m=0,方程为-2x+3=0,只有一解 x= 3 ;?
2

若 m≠0,则Δ =0,即 4-12m=0,m= 1 .?
3

∴m=0 或 m= 1 .?
3

(3)A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义,根据(1)(2)的结果, 、

得 m=0 或 m≥ 1 .
3

变式训练 3.(1)已知 A={a+2, (a+1)2,a2+3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值;? (2)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2}且 M=N,求 a,b 的值.? 解: (1)由题意知:? a+2=1 或(a+1)2=1 或 a2+3a+3=1,? ∴a=-1 或-2 或 0,根据元素的互异性排除-1,-2,?∴a=0 即为所求.?
? (2)由题意知, ? a ? 2a 或 ? a ? b ? ? a ? 0 或 ?a ? 0 或 ?a ? 4 ? ? ? ? 2 , ?
2

?

1

?b ? b

?b ? 2 a

?b ? 1

?b ? 0

?b ? 1 ? ? 2

根据元素的互异性得 ?a ? 0 或 ? a ? 4 即为所求. ? ?
?b ? 1
? ?b ? 1 ? ? 2
2

?

1

? a 例 4. 若集合 A={2, a ? 2a ? a ? 7 }, 4, B={1, a+1, ? 2a ? 2 ,
3 2

1 2 ( a ? 3a ? 8) 、 3 ? a 2 ? 3a ? 7 }, a 2

且 A∩B={2,5},试求实数 a 的值. 解:∵А ∩В ={2,5},∴2∈A 且 5∈A, 则 a ? 2a ? a ? 7 =5 ? (a-2)(a-1)(a+1)=0,
3 2

∴a=-1 或 a=1 或 a=2. 当 a=-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}矛盾,∴a≠-1. 当 a=1 时,B={1,2,1,5,12},与集合中元素互异性矛盾,∴a≠1. 当 a=2 时,B={1,3,2,5,25},满足 A∩B={2,5}.故所求 a 的值为 2. 变式训练 4.已知集合 A={a,a+d,a+2d},B={a,aq, aq 解:∵A=B
? ?a ? d ? aq ? ?a ? 2d ? aq 2 ?
2 ? ?a ? d ? aq ? ?a ? 2d ? aq ?

2

},其中 a≠0,若 A=B,求 q 的值

∴(Ⅰ)

或 (Ⅱ)

1 由(Ⅰ)得 q=1,由(Ⅱ)得 q=1 或 q=- 2 .

当 q=1 时,B 中的元素与集合元素的互异性矛盾,
1 ∴q=- 2

归纳小结 1.本节的重点是集合的基本概念和表示方法,对集合的认识,关键在于化简给定的集合,确定集合的元素, 并真正认识集合中元素的属性,特别要注意代表元素的形式,不要将点集和数集混淆. 2.利用相等集合的定义解题时,特别要注意集合中元素的互异性,对计算的结果要加以检验. 3.注意空集φ 的特殊性,在解题时,若未指明集合非空,则要考虑到集合为空集的可能性. 4.要注意数学思想方法在解题中的运用,如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用.

第 2 课时

集合的运算

基础过关 一、集合的运算 1.交集:由 2.并集:由

的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即 A∩B= 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B=

. .

3.补集:集合 A 是集合 S 的子集,由 即 CS A = .

的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集,记作 CS A ,

二、集合的常用运算性质 1.A∩A= ,A∩ ? = A∪ ? = ,A∪B=B∪A 2. A ? CU A = 3. CU ( A ? B) ? , A ? CU A = , ,

,A∩B=

,B∩A,A∪A= , C (CU A) ?





CU ( A ? B) ?
4.A∪B=A ? A∩B=A ? 典型例题

例 1. 设全集 U ? R , M ? {m | 方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 有实数根 } , N ? {n | 方程 x 2 ? x ? n ? 0 有实数根 } ,求 (CU M ) ? N . 解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; 当 m ? 0 时, ? ? 1 ? 4m ? 0, 即 m ? ? ∴ CU M ? ?m | m ? ? ?

1 1 ,且 m ? 0 ∴ m ? ? , 4 4

? ?

1? 4?
1 1? ? ,∴ N ? ?n | n ? ? . 4 4? ?

而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ?

∴ (CU M ) ? N ? ? x | x ? ? ?

? ?

1? 4?
6 2 ? ? 1, x ? R ? , B= x | x ? 2 x ? m ? 0 , x ?1 ?

变式训练 1.已知集合 A= ? x |

? ?

?

?

(1)当 m=3 时,求 A ? (CR B) ; (2)若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ,求实数 m 的值.

解:

由 6 ? 1, 得 x ? 5 ? 0. ∴-1<x≤5,∴A= ?x | ?1 ? x ? 5? .
x ?1 x ?1

(1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 CR B = ?x | x ? ?1或x ? 3? , ∴ A ? (CR B) = ?x | 3 ?

x ? 5? .

(2)∵A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ∴有 42-2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 例 2. 已知 A ? {x | a ? x ? a ? 3} , B ? {x | x ? ?1或 x ? 5} . (1)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (2) 若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围. 解:(1) A ? B ? ? , ∴ ? (2) A ? B ? B ,

? a ? ?1 ,解之得 ?1 ? a ? 2 . ?a ? 3 ? 5
∴ a ? 3 ? ?1 或 a ? 5 ,

∴A? B.

a ? ?4 或 a ? 5

∴若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是 [?1, 2] ;若 A ? B ? B ,则 a 的取值范围是 (??, ?4) ? (5, ??) .
2 2 变式训练 2:设集合 A= ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0? , B ? x | x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0 .

?

?

(1)若 A ? B ? ?2? , 求实数 a 的值; (2)若 A ? B=A,求实数 a 的取值范围; (3)若 U=R,A ? ( CU B )=A.求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A= ?1,2?. (1)∵A ? B ? ?2? , ∴2 ? B,代入 B 中的方程, 得 a +4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3; 当 a=-1 时,B= x | x 2 ? 4 ? 0 ? ??2, 2? , 满足条件; 当 a=-3 时,B= x | x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ? ?2? , 满足条件; 综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B, ? =4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). ∵A ? B=A,∴B ? A, ①当 ? <0,即 a<-3 时,B= ? ,满足条件; ②当 ? =0,即 a=-3 时,B ? ?2? , ,满足条件; ③当 ? >0,即 a>-3 时,B=A= ?1, 2?. 才能满足条件,
2

?

?

?

?

则由根与系数的关系得

?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) ?a ? ? 2 , 矛盾; 即? ? 2 2 ?1? 2 ? a ? 5 ?

?

5

?a ? 7

综上,a 的取值范围是 a≤-3. (3)∵A ? ( CU B )=A,∴A ? CU B ,∴A ? B ? ?; ①若 B= ? ,则 ? <0 ? a ? ?3 适合; ②若 B≠ ? ,则 a=-3 时,B= ?2? ,A ? B= ?2? ,不合题意; a>-3,此时需 1 ? B 且 2 ? B,将 2 代入 B 的方程得 a=-1 或 a=-3(舍去) ; 将 1 代入 B 的方程得 a +2a-2=0 ? a ? ?1 ? 3. ∴a≠-1 且 a≠-3 且 a≠-1 ? 3. 综上,a 的取值范围是 a<-3 或-3<a<-1- 3 或-1- 3 <a<-1 或-1<a<-1+ 3 或 a>-1+ 3 . 例 3. 已知集合 A= ? x | x 2 ? (2 ? a ) x ? 1 ? 0, x ? R? , B ? ?x ? R | x ? 0? , 试问是否存在实数 a, 使得 A ? B ? ?? 若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:方法一 假设存在实数 a 满足条件 A ? B= ? 则有 (1)当 A≠ ? 时,由 A ? B= ? ,B ? ?x ? R | x ? 0? ,知集合 A 中的元素为非正数, 设方程 x +(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系,得
2 2

?? ? (2 ? a) 2 ? 4 ? 0 ? ?x1 ? x2 ? ?(2 ? a) ? 0, 解得a ? 0; ?x x ? 1 ? 0 ?1 2
(2)当 A= ? 时,则有 ? =(2+a)2-4<0,解得-4<a<0. 综上(1)(2) 、 ,知存在满足条件 A ? B= ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+∞). 2 方法二 假设存在实数 a 满足条件 A ? B≠ ? ,则方程 x +(2+a)x+1=0 的两实数根 x1,x2 至少有一个为正, 因为 x1·x2=1>0,所以两根 x1,x2 均为正数.

?a ? 0或a ? ?4 ?? ? (2 ? a)2 ? 4 ? 0 则由根与系数的关系,得 ? , 即a ? ?4. , 解得 ? ?a ? ?2 ? x1 ? x2 ? ?(2 ? a) ? 0
又∵集合 ?a | a ? ?4? 的补集为 ?a | a ? ?4? , ∴存在满足条件 A ? B= ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+∞). 变式训练 3.设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数 a,使 A∩B≠ ? ?若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由.? 解:假设 A∩B≠ ? ,则方程组?

? y ? 2x ?1 有正整数解,消去 y,得 ax2-(a+2)x+a+1=0. ? 2 ? y ? ax ? ax ? a

由Δ ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得- 2 3 ? a ? 2 3 .因 a 为非零整数,∴a=±1,?
3 3

当 a=-1 时,代入(*) ,?解得 x=0 或 x=-1,? 而 x∈N*.故 a≠-1.当 a=1 时,代入(*),? 解得 x=1 或 x=2,符合题意.故存在 a=1,使得 A∩B≠ ? , 此时 A∩B={(1,1)(2,3)}. , 例 4. 已知 A={x|x2-2ax+(4a-3)=0,x∈R},又 B={x|x2-2 2 ax+a2+a+2=0,x∈R},是否存 在实数 a,使得 A ? B= ? ?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由. 解:1<a<2 即实数 a ? (1,2)时, A? B = ? . 变式训练 4.设集合 A 为函数 y ? ln(? x2 ? 2x ? 8) 的定义域,集合 B 为函数 y ? x ?

1 的值域,集合 C 为 x ?1

不等式 (ax ? )( x ? 4) ? 0 的解集.(1)求 A ? B ; (2)若 C ? CR A ,求 a 的取值范围. 解: (1)解得 A=(-4,2) B= ? ??, ?3? ? ?1, ??? 。 所以 A ? B ? ? ?4, ?3? ? ?1,2? , (2)a 的范围为 ? 归纳小结 1.在解决有关集合运算题目时,关键是准确理解题目中符号语言的含义,善于转化为文字语言. 2.集合的运算可以用韦恩图帮助思考,实数集合的交、并运算可在数轴上表示,注意在运算中运用数形结 合思想. 3.对于给出集合是否为空集,集合中的元素个数是否确定,都是常见的讨论点,解题时要有分类讨论的意 识.

1 a

2 ? a <0 2

集合单元测试题
一、选择题 2 1.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集合为( A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 2.当 x ? R,下列四个集合中是空集的是( ) 2 2 A. {x|x -3x+2=0} B. {x|x <x} C. {x|x -2x+3=0}
2



C. {x|sinx+cosx=

6 } 5


3.设集合 A ? ?5, log2 (a ? 3)? ,集合 B ? {a, b} ,若 A ? B ? {2} , 则 A ? B 等于( A. ?1, 2,5? C. ?2,5,7? 4.设集合 A ? y | y ? A. A ? B B. ??1, 2,5? D. ??7, 2,5?

?

x2 ?1 , B ? x | y ? x2 ? 1 ,则下列关系中正确的是( )
C. B ? A D. A ? B ? [1, ??) )

?

?

?

B. A ? B

5.设 M,P 是两个非空集合,定义 M 与 P 的差集为 M-P={x|x ? M 且 x ? p},则 M-(M-P)等于( A. P B. M ? P C. M ? P D. M 6.已知 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? a , 若 A ? B , 则实数 a 的取值范围是( /
2

?

?

?

?

)

A. (?1, ??) 7.集合 M={x|x=sin A. ??1, 0,1 C.{0} 8.已知集合 M={x| x ? A.M=N C.M N

B. [3, ??)

C. (3, ??)

D. (??,3] )

n? n? ,n∈Z},N={ x|x=cos ,n∈Z },M∩N= ( 2 3

?

B. ?0,1 D. ?

?
( )

k 1 k 1 ? , k ? Z },N={x│ ? ? , k ? Z },则 x 4 2 2 4

B.M N D.M ? N=φ

9. 设全集∪={x|1≤x <9,x∈N},则满足 ?1,3,5,7,8? ? CU B ? ?1,3,5,7? 的所有集合 B 的个数有 ( ) A.1 个 C.5 个 B.4 个 D.8 个
9 ? x2

10.已知集合 M={(x,y)︱y=

},N={(x,y)︱y=x+b},且 M∩N= ? ,则实数 b 应满足的条件是

A.︱b︱≥ 3 2 C.-3≤b≤ 3 2 二、填空题

( ) B.0<b< 2 D.b> 3 2 或 b<-3

11.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B ,则实数 k 的取值范围 是 .

12.设全集 U=R,A= {x | 2x ( x?2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则右图中阴影部分表示的集合为 .

1 13.已知集合 A= ? ,2,3,4? ,那么 A 的真子集的个数
是 .
x

? ? 14.若集合 S ? ?y | y ? ? 1 ? ? 1, x ? R ? , T ? ?y | y ? log2 (x ? 1), x ? ?1?,则 S ? T 等于 ? ? ? ? ? ? ?2? ? ?

.

15.满足 ?0,1, 2?

A ? {0,1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数是_______个.
1 ? x ? 3} ,函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 2) 的定义域为 Q. 2


16.已知集合 P ? {x |

(1)若 P ? Q ? [ , ), P ? Q ? ( ?2,3] ,则实数 a 的值为 (2)若 P ? Q ? ? ,则实数a的取值范围为 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? (1)求集合 A、B (2)若 A B=B,求实数 a 的取值范围. .

1 2 2 3

x ?1 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a] 的定义域集合是 B x?2

2 2 18.设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? (m ? 1) x ? m ? 0 ;

?

?

?

?

若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值.

?x 2 2 19.设集合 A ? {x 1 / 32 ? 2 ? 4} , B ? x x ? 3mx ? 2m ? m ? 1 ? 0 .

?

?

(1)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集的个数;

(2)若 B= ? ,求 m 的取值范围; (3)若 A ? B ,求 m 的取值范围.

20. 对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”,若 f ( f ( x)) ? x ,则称 x 为 f(x)的“稳定点” , 函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即 A ? {x | f ( x ) ? x }, B ? {x | f [ f ( x)] ? x} . (1) 求证:A ? B (2) 若

f ( x) ? ax2 ?1(a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

单元测试参考答案 一、选择题 1.答案:A 2.答案:C 3.答案:A 4.提示: A ? { y | y ? 0}, B ? {x | x ? 1或x ? ?1} .答案: D 5.答案:B 6.答案:B n? n? 3 3 7. 由 与 的终边位置知 M={ ? ,0, },N={-1,0,1},故选 C. 2 2 3 2 8.C 9.D 10.D 11.提示: 2k ? 1 ? 2k ? 1 , ∴ B ? ? ,答案: ?1 ? k ?

1 2

12.答案: A ? (0, 2), B ? (??,1) ,图中阴影部分表示的集合为 A ?? B ? [1, 2) , U 13.答案:15 14. 答案: { y | y ? ?1} 15. 答案:7 16. 答案: a ? ?

3 ; a ? (??, ?4] 2

17. 解: (1)A= x | x ? ?1或x ? 2 ???? B= x | x ? a或x ? a ? 1 ?????

?

?

?

?

(2)由 A ? B=B 得 A

? B,因此 ?a ? ?1 ?

?a ? 1 ? 2

?????

所以 ?1 ? a ? 1 ,所以实数a的取值范围是 ? ?1,1? ????? 18. 解: A ? ??2, ?1? ,由 (CU A) ? B ? ? , 得B ? A , 当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ; 当 m ? 1 时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ? m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1或 2 . 19. 解:化简集合 A= x ? 2 ? x ? 5 ,集合 B 可写为 B ? x ( x ? m ? 1)(x ? 2m ? 1) ? 0 (1)? x ? Z ,? A ? ?? 2,?1,0,1,2,3,4,5?,即 A 中含有 8 个元素,? A 的非空真子集数为

?

?

?

?

28 ? 2 ? 254(个).
(1)显然只有当 m-1=2m+1 即 m=--2 时,B= ? . (2)当 B= ? 即 m=-2 时, B ? ? ? A ; 当 B ? ? 即 m ? ?2 时 (ⅰ)当 m<-2 时,B=(2m-1,m+1),要 B ? A 只要 ?

?2m ? 1 ? ?2 3 ? ? ? m ? 6 ,所以 m 的值不存在; 2 ? m ?1 ? 5

(ⅱ)当 m>-2 时,B=(m-1,2m+1),要 B ? A 只要 ?

?m ? 1 ? ?2 ? ?1 ? m ? 2 . ?2m ? 1 ? 5

综合,知 m 的取值范围是:m=-2 或 ? 1 ? m ? 2. 20.证明(1).若 A= ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A≠ ? ,设 t∈A,则 f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即 t∈B,从而 A ? B.
2 解 (2):A 中元素是方程 f(x)=x 即 ax ?1 ? x 的实根.

由 A≠ ? ,知 a=0 或 ? ? ? 1 ? 4a ? 0 即
a?? 1 4

?a?0 ?

2 2 B 中元素是方程 a(ax ? 1) ? 1 ? x



a 3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 的实根

2 2 2 2 由 A ? B,知上方程左边含有一个因式 ax ? x ? 1 ,即方程可化为 (ax ? x ? 1)(a x ? ax ? a ? 1) ? 0

因此,要 A=B,即要方程
a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0



2 要么没有实根,要么实根是方程 ax ? x ? 1 ? 0 ②的根.

若①没有实根,则

? 2 ? a 2 ? 4a 2 (1 ? a) ? 0

,由此解得

a?

3 4

2 2 若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有 a x ? ax ? a ,代入①有 2ax+1=0.

由此解得

x??

1 1 1 ? ? 1 ? 0, 2a ,再代入②得 4a 2a 由此解得

a?

3 4.

故 a 的取值范围是

[?

1 3 , ] 4 4


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