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(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题五 第三讲2 冲刺直击高考


2013 届高考数学(浙江专用)冲刺必备:第二部分 专题五 第 三讲 2 冲刺直击高考 限时:40 分钟 满分:56 分 1 1.(满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心 率为 的椭圆 E 的一个焦 2 点为圆 C:x +y -4x+2=0 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程; 1 (2)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1,

l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 2 相切时,求 P 的坐标. 解:(1)由 x +y -4x+2=0 得(x-2) +y =2,故圆 C 的圆心为点(2,0). 2 2 2 2 2 2 x2 y2 c 1 从而可设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),其焦距为 2c.由题设知 c=2,e= = .所 a b a 2 以 a=2c=4,b =a -c =12.故椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1,l2 的方程分别为 l1:y -y0=k1(x-x0), 2 2 2 x2 y2 l2:y-y0=k2(x-x0),且 k1k2= , |2k1+y0-k1x0| 2 2 2 2 由 l1 与圆 C:(x-2) +y =2 相切得 = 2,即[(2-x0) -2]k1+2(2- k2+1 1 1 2 x0)y0k1+y2-2=0. 0 同理可得[(2-x0) -2]k2+2(2-x0)y0k2+y0-2=0. 从而 k1,k2 是方程[(2-x0) -2]k +2(2-x0)y0k+y0-2=0 的两 个实根,于是 ?? 2-x0? -2≠0, ? ? 2 2 ? ?Δ =8[? 2-x0? +y0-2]>0, 2 2 2 2 2 2 2 ① y0-2 1 且 k1k2= = . 2 ? 2-x0? -2 2 x y ?16+12=1, ? 由? y -2 1 ?? 2-x ? -2=2, ? 2 0 2 0 2 0 2 0 2 得 5x0-8x0-36=0, 2 18 解得 x0=-2,或 x0= . 5 18 57 由 x0=-2 得 y0=±3;由 x0= 得 y0=± ,它们均满足①式. 5 5 1 57? 57? ?18 ?18 故点 P 的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或? , ?,或? ,- ?. 5 ? 5 ? ?5 ?5 2.(满分 14 分)如图,椭圆 C0: 2+ 2=1(a>b>0,a,b 为常数),动圆 x2 y2 a b C1:x2+y2=t12,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A, B,C,D 四点. (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x +y =t2 与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<t2<a,t1≠t2. 若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t1 +t2 为定值. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程为 y = 2 2 2 2 2 y1 (x+a),① x1+a 直线 A2B 的方程为 y= 2 -y1 (x-a).② x1-a 由①?②得 y = 2 -y1 2 2 (x -a ).③ x2-a2 1 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,得 2+ 2=1.从而

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