当前位置:首页 >> 高一数学 >> 竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)

竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)


三角函数及其应用 三角函数及其应用
三角是代数与几何联系的“桥梁” 同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具. 三角是代数与几何联系的“桥梁” 同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具. , ☆三角与代数☆ 三角与代数☆ 【例 1】求证: 】求证:

1 7 < sin 20° < . 3 20

证明: 证明:
证法 1:由 sin x < x, x ∈ (0, : 由 sin x >

π
2

) , sin 20° = sin

π
9

<

π
9

<

π π 3 π 1 x, x ∈ (0, ) , sin 20° = sin > × = . π 6 9 π 9 3 3 3 3 3 = 0, ,设 sin 20° = x ,则 4 x ? 3 x + 证法 2: sin 60° = 3 sin 20° ? 4 sin 20° = : 2 2 3 1 3 2 设 f ( x) = 4 x ? 3x + , f ′( x ) = 12 x ? 3 = 0, x = ± , 2 2 1 1 1 1 ∴函数 y = f (x) 单调区间 (?∞,? ) ↗, (? , ) ↘, ( ,+∞) ↗, 2 2 2 2 1 1 4 3 7 3 ? 1.757 ?1+ > 0, f ( ) = < 0, 又∵ 0 < sin 20° < ,及 f ( ) = 2 3 27 2 20 2 1 7 ∴ < sin 20° < . 3 20 1 2 补充】求证: 【补充】求证: < tan 10° < 6 9
3
求证: 【练习】 n ∈ N , n ≥ 2 ,求证: cos 练习】

7 , 20

1 1 1 2 ? cos ? L cos > . 2 3 n 3

证明: 证明:∵ 0 <

1 1 1 1 < < L < < < 1, n n ?1 3 2 1 1 < , k k

∴ 0 < sin

∴ cos 2

1 1 1 (k ? 1)(k + 1) = 1 ? sin 2 > 1 ? 2 = , k = 2,3,L , n . k k k k2

1 1 1 1 3 2 4 3 5 n ?1 n +1 ? ) ∴ (cos ? cos ? L cos ) 2 > ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? )L ( 2 3 n 2 2 3 3 4 4 n n = 1 n +1 1 2 > > ( )2 , 2 n 2 3

1

1 1 1 2 ∴ cos ? cos ? L cos > . 2 3 n 3
锐角△ 的三个内角,求证: 【例 2】 A, B, C 为锐角△ ABC 的三个内角,求证: 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 】 证法 1:因为 y = sin x 在区间 (0, :

π
2

3 3 . 2

) 上为上凸函数,由琴生 上为上凸函数,由琴生(Jensen)不等式得 不等式得 A+ B+C 3 3 = , 3 2

sin A + sin B + sin C ≤ 3 sin
又由 sin x >

x, x ∈ (0, ) 得, π 2 2 sin A + sin B + sin C > ( A + B + C ) = 2 .

2

π

证法 2: sin A + sin B + sin C = 2 sin :

A+ B A? B A+ B cos + sin C ≤ 2 sin + sin C 2 2 2 C C C C 2 3 C C = 2 cos (1 + sin ) = 2 cos 2 (1 + sin ) 2 = (3 ? 3 sin )(1 + sin ) 3 2 2 2 2 3 2 2

π

2 3 6 4 3 3 ( ) = . 3 4 2 Q A, B, C 为锐角△ ABC 的三个内角,不妨设 A ≥ B ≥ C , 为锐角△ 的三个内角, A? B C A? B C < , cos > cos , ∴ A < B + C, A ? B < C , 2 2 2 2 A+ B A? B A+ B C ∴ sin A + sin B + sin C = 2 sin cos + sin C > 2 sin cos + sin C 2 2 2 2 C = 2 cos 2 + sin C = 1 + cos C + sin C > 2 . 2 3 练习】 为锐角△ 的三个内角,求证: 【练习】 A, B, C 为锐角△ ABC 的三个内角,求证: 1 < cos A + cos B + cos C ≤ . 2 A+ B A? B A+ B cos + cos C ≥ 2 cos + cos C 证明: 证明: cos A + cos B + cos C = 2 cos 2 2 2 C C C 1 3 3 = 2 sin + 1 ? 2 sin 2 = ?2(sin ? ) 2 + ≤ , 2 2 2 2 2 2 π π A+ B π ? ( A + B) cos + cos( A + B ? ) = 2 cos cos , 2 2 2 2 A+ B A? B cos A + cos B = 2 cos cos , 2 2 A ? B π ? ( A + B) Q < , 2 2 A? B π ? ( A + B) C ∴ cos > cos = cos , 2 2 2 ≤

2

A+ B A? B C C cos > 2 sin cos = sin C , 2 2 2 2 ∴ cos A + cos B + cos C > sin C + cos C > 1 . a b c 3 3 求证: + + ≤ 【例 3】已知 a, b, c ∈ (0,1), ab + bc + ca = 1 ,求证: 1 < 】 . 2 2 2 4 1+ a 1+ b 1+ c
∴ cos A + cos B = 2 cos
证明: 证明: 方法 1:由已知 a, b, c ∈ (0,1), ab + bc + ca = 1 ,可设 a = tan :

A B C , b = tan , c = tan , 2 2 2 A tan a 2 = 1 sin A , = 其 中 A, B, C 为 锐 角 △ ABC 的 三 个 内 角 , 则 2 A 2 1+ a 1 + tan 2 2 B C tan tan b 2 = 1 sin B , c = 2 = 1 sin C , = 2 2 B 2 C 2 1+ b 1+ c 1 + tan 2 1 + tan 2 2 2 3 3 原不等式等价于 原不等式等价于 2 < sin A + sin B + sin C ≤ ,证法见例 2. . 2 a a a ab + ac = 2 = = 方法 2: : , 2 1+ a a + ab + ac + bc (a + b)(a + c) (a + b)(a + c)(b + c) a b c 2 + + = , 2 2 2 (a + b)(a + c)(b + c) 1+ a 1+ b 1+ c
只需证 1 <

2 3 3 8 3 ≤ ≤ (a + b)(a + c)(b + c) < 2 . ,即 (a + b)(a + c)(b + c) 4 9 3,

由 a, b, c ∈ (0,1), ab + bc + ca = 1 ,可知 a + b + c ≥

只需证加强不等式 8( a + b + c)( ab + bc + ca ) ≤ 9( a + b)( a + c)(b + c) ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 8(3abc+ a b + a c + b c + b a + c a + c b) ≤ 9(2abc+ a b + a c + b c + b a + c a + c b) ,

由均值可知显然成立. 即 6abc ≤ a b + a c + b c + b a + c a + c b ,由均值可知显然成立.
2 2 2 2 2 2

求证: 【练习】已知 a, b, c > 0, a + b + c = abc ,求证: 1 < 练习】

3 . 1+ a2 1 + b2 1+ c2 2 3 提示: 原不等式等价于 提示:设 a = tan A, b = tan B, c = tan C ,原不等式等价于 1 < cos A + cos B + cos C ≤ . 2 a b c 3 变式】 求证: 1 + + ≤ . 【变式】 已知 a, b, c ∈ (0,+∞), ab + bc + ca = 1 , 求证: < 2 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c A B C A B C 3 提示: 原不等式等价于 提示:设 a = tan , b = tan , c = tan ,原不等式等价于 1 < sin + sin + sin ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 + + ≤
3

1

1

1

(或将 a, b, c 分别替换为 【例 4】设 x ≥ y ≥ z ≥ 】

的最大值和最小值. ,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值. 12 2 1 1 1 cos x sin y cos z = [sin( x + y ) ? sin( x ? y )] cos z ≤ sin( x + y ) cos z = cos 2 z 2 2 2

π

1 1 1 , , 将变为上面练习. 将变为上面练习. ) a b c

,且 x + y + z =

π

1 + cos 1 + cos 2 z 6 = 2 + 3 .( x = y = 5π , z = π ) = ≤ 4 4 8 24 12 1 1 1 cos x sin y cos z = cos x[sin( y + z ) + sin( y ? z )] ≥ cos x sin( y + z ) = cos 2 x 2 2 2 2π 1 + cos 1 + cos 2 x 3 = 1 .( x = π , y = z = π ) = ≥ 4 4 8 3 12 3 【练习】设 A, B, C 是三角形的三个内角,求证: ? 2 < sin 3 A + sin 3B + sin 3C ≤ 练习】 是三角形的三个内角, 求证: 3 ,并 2
确定其中的等号何时成立. 确定其中的等号何时成立. 解析: 解析:不妨设 A ≥ 60° ,则 B + C ≤ 120° ,从而 0° ≤

π

3 3 | B ? C |< ( B + C ) ≤ 180° , 2 2 3 3 3 由此可得 cos ( B ? C ) > cos ( B + C ) .再由 sin ( B + C ) ≥ 0 ,得到 2 2 2 3 3 3 3 2 sin ( B + C ) cos ( B ? C ) ≥ 2 sin ( B + C ) cos ( B + C ) , 2 2 2 2 即 sin 3B + sin 3C ≥ sin 3( B + C ) , 于是 sin 3 A + sin 3B + sin 3C ≥ sin 3 A + sin 3( B + C ) ≥ ?2 , 为使 sin 3 A + sin 3B + sin 3C = ?2 , 3 这是不可能的, 必须满足 sin 3 A = sin 3( B + C ) = ?1 , sin ( B + C ) = 0 ,这是不可能的, 2 从而 sin 3 A + sin 3B + sin 3C > ?2 . 另一方面, 可知, 另一方面,由 A ≥ 60° 可知, 3 3 sin 3 A + sin 3B + sin 3C = sin 3 A + 2 sin ( B + C ) cos ( B ? C ) 2 2 3 3 3 3 ≤ sin 3 A + 2 sin ( B + C ) = sin 3 A ? 2 cos A = 2(sin A ? 1) cos A 2 2 2 2 3 3 1 3 3 = 2 (sin A + 1)(1 ? sin A) 3 = 2 (3 sin A + 3)(1 ? sin A) 3 2 2 3 2 2

1 6 4 3 ( ) = 3. 3 4 2 3 3 3 当且仅当 (3 sin A + 3) = (1 ? sin A), cos ( B ? C ) = 1, 2 2 2 等号成立. 即 A = 140°, B = C = 20° 时,等号成立. ≤2
4

【例 5】对于任意的正数 x 、 y 、 z 、及△ ABC 三内角 A、B、C, 】 、 、 , 总有: x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 yz cos A + 2 zx cos B + 2 xy cos C . 总有: 证明: 证明:

f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 ? 2 yz cos A ? 2 zx cos B ? 2 xy cos C = ( x ? z cos B ? y cos C ) 2 + y 2 + z 2 ? 2 yz cos A ? z 2 cos 2 B ? y 2 cos 2 C ? 2 yz cos B cos C = ( x ? z cos B ? y cos C ) 2 + y 2 sin 2 C + z 2 sin 2 B ? 2 yz sin B sin C = ( x ? z cos B ? y cos C ) 2 + ( y sin C ? z sin B) 2 ≥ 0 ∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 yz cos A + 2 zx cos B + 2 xy cos C .
【补充】求证: x + y + z + 2 yz cos 2 A + 2 zx cos 2 B + 2 xy cos 2C ≥ 0 补充】求证: 【变式】
2 2 2

求证: 求证: x cos A + y cos B + z cos C ≤ 求证: 求证: cos A + cos B + cos C ≤

1 yz zx xy ( + + ) 2 x y z

3 2 2 2 2 求证: 求证: a + b + c = 2bc cos A + 2ca cos B + 2ab cos C 2 2 2 求证: 求证: sin A + sin B + sin C = 2 sin B sin C cos A + 2 sin C sin A cos B + 2 sin A sin B cos C 1 bc ac ab 求证: + ) 求证: a cos A + b cos B + c cos C ≤ ( + 2 a b c
【练习】给定正整数 n ,求最小的正数 λ ,使得对于任何 θ i = (0, 练习】
n 2

π

2

)(i = 1,2,L , n) ,

只要 tan θ 1 ? tan θ 2 ? L ? tan θ n = 2 ,就有 cos θ 1 + cos θ 2 + L + cos θ n 不大于 λ . 解析: 解析:1°当 n = 1,2 时, λ =

n 3 , 3
2 , cos θ 1 = 3 , 3
2

当 n = 1 时, tan θ 1 =

2 当 n = 2 时, tan θ 1 tan θ 2 = 2, 设 tan θ 1 = x ,则 tan θ 2 =

4 , x 1 1 1 1 cos θ 1 + cos θ 2 = + = + 2 2 4 1+ x 1 + tan θ 1 1 + tan θ 2 1+ x

? ? 1 ? 1 + 4 ? 1+ x 1+ ? x ?

4 4 ? 2+ x+ + 2 5+ x+ ? 2 3 x x = 1+ ? = ? 4 ? 4 5+ x+ 4 5+ x+ 5+ x+ ? x x ? x

2

5

? ? ? ? 1 1 1 1 ? 4 ? = t ∈ (0, ] ,则 + = ?3t 2 + 2t + 1 ≤ , 设 4? ? 1+ x 3 3 4 1+ ? 5+ x+ ? x? ? x 1 1 2 3 cos θ1 + cos θ 2 = 时取等号 + ≤ ,当 x = 2 即 θ1 = θ 2 时取等号. 4 1+ x 3 1+ x 2°当 n ≥ 3 时, λ = n ? 1 , ° ① 先证 cos θ 1 + cos θ 2 + L + cos θ n < n ? 1
不妨设 θ1 ≥ θ 2 ≥ θ 3 ≥ L ≥ θ n , 要证明①式成立, 要证明①式成立,只要证 cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 < 2 ,②
n 2

2

tan θ 1 ? tan θ 2 ? L ? tan θ n = 2 ,故 tan θ1 ? tan θ 2 ? tan θ 3 ≥ 2 2 . cos θ i = 1 ? sin 2 θ i < 1 ? sin 2 θ i , 2 sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 cos θ 2 + cos θ 3 < 2 ? ≤ 2 ? sin θ 2 sin θ 3 , 2 8 1 8 tan 2 θ1 ≥ ,∴ ≥ 1+ , 2 2 2 2 tan θ 2 tan θ 3 cos θ1 tan θ 2 tan 2 θ 3 tan θ 2 tan θ 3 sin θ 2 sin θ 3 cos θ1 ≤ = , 8 + tan 2 θ 2 tan 2 θ 3 8 cos 2 θ 2 cos 2 θ 3 + sin 2 θ 2 sin 2 θ 3

cos θ1 + cos θ 2 + cos θ 3 < 2 ? sin θ 2 sin θ 3 (1 ?
cos θ1 + cos θ 2 + cos θ 3 < 2 , ? 8 cos 2 θ 2 cos 2 θ 3 + sin 2 θ 2 sin 2 θ 3 ≥ 1

1 8 cos θ 2 cos θ 3 + sin 2 θ 2 sin 2 θ 3
2 2

)

? 8 + tan 2 θ 2 tan 2 θ 3 ≥ sec 2 θ 2 sec 2 θ 3 = (1 + tan 2 θ 2 )(1 + tan 2 θ 3 ) ? tan 2 θ 2 + tan 2 θ 3 ≤ 7
若③式成立,则②式成立. 式成立, 式成立. ③.

6

若③式不成立,即 tan θ 2 + tan θ 3 > 7 ,从而 tan θ1 ≥ tan θ 2 > 式不成立,
2 2

2

2

7 , 2

cos θ1 ≤ cos θ 2 <

为最小的. 现证 λ = n ? 1 为最小的.

2 2 2 , cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 < + 1 < 2 .从而①式得证. 从而①式得证. 3 3
< 1 ,从而存在 θ i ∈ (0, ) i = 1,2,L , n, n ?1 2
n

事实上, 事实上,若 0 < λ < n ? 1 ,则取 a = 使得 cos θ i = a, tan θ i =

λ

π

a 1? a2 (i = 1,2,L , n ? 1) , tan θ n = 2 2 ( ) n ?1 2 a 1? a
n 2

从而 tan θ 1 ? tan θ 2 ? L ? tan θ n = 2 ,但

cos θ1 + cos θ 2 + L + cos θ n > cos θ1 + cos θ 2 + L + cos θ n ?1 = λ , 当 n ≥ 3 时,最小的正数 λ 为 n ? 1 . ?n 3 , (n = 1,2) ? 综上所求最小正数 λ = ? 3 . ?n ? 1, (n ≥ 3) ? a > 0, b > 0, c > 0, abc = 8 , 求 证 : 【 练 习 】 设 1 1 1 1< + + < 2. 1+ a 1+ b 1+ c
B ☆三角与几何☆ 三角与几何☆ 是锐角△ 内一点,使得∠ 【例 6】已知点 P 是锐角△ABC 内一点,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA. 】 ∠ ∠ . 求证: cot ∠PAB = cot A + cot B + cot C . 求证: 证明: 证明: 证法 1:设 PA = x, PB = y , PC = z ,∠PAB=∠PBC=∠PCA= θ 则 : ∠ ∠

A

P C

y 2 = x 2 + c 2 ? 2 xc cos θ z 2 = y 2 + a 2 ? 2 ya cos θ x 2 = z 2 + b 2 ? 2 zb cos θ a 2 + b 2 + c 2 = 2 cos θ (ay + bz + cx) ,
又 S ?ABC =

1 a2 + b2 + c2 sin θ (ay + bz + cx) ,∴ cot θ = , 2 4 S ?ABC

cos A cos B cos C b2 + c2 ? a 2 a2 + b2 + c2 + + =∑ = , a abc sin A sin B sin C 2bc ? 4× 2R 4R 1 abc S ?ABC = ab sin C = , 2 4R ∴ cot ∠PAB = cot A + cot B + cot C . cot A + cot B + cot C =

7

证法 2:由角元式赛瓦(Ceva)定理得 :由角元式赛瓦( )

由 sin A cos B cos C + cos A sin B cos C + cos A cos B sin C = sin A sin B sin C , cos A sin B sin C + sin A cos B sin C + sin A sin B cos C = 1 + cos A cos B cos C 得 ( ∏ sin A ) cot 3 θ ? (( ∏ cos A ) + 1) cot 2 θ + ( ∏ sin A ) cot θ ? (( ∏ cos A ) + 1) = 0
(( ∏ sin A ) cot θ ? (( ∏ cos A ) + 1))(cot 2 θ + 1) = 0 , ( ∏ sin A ) cot θ ? (( ∏ cos A ) + 1) = 0 ,

(∏ sin A) cot 3 θ ? (∑ sin A sin B cos C ) cot 2 θ + (∑ sin A cos B cos C ) cot θ ? (∏ cos A) ? 1 = 0

sin θ sin θ sin θ ? ? = 1, sin( A ? θ ) sin( B ? θ ) sin(C ? θ ) (sin A cot θ ? cos A)(sin B cot θ ? cos B )(sin C cot θ ? cos C ) = 1 ,

cot θ =

(∏ cos A) + 1

= cot A + cot B + cot C
(平面几何证法 证法 3: 平面几何证法)略 : 平面几何证法) ( 练习】 内或边界上一点, 【练习】设 P 为△ABC 内或边界上一点,点 P 到三边的距离为 PD、PE、PF. 、 、 . 求证: 求证: PA + PB + PC ≥ 2( PD + PE + PF ) .

∏ sin A

=

cos A sin B sin C + sin A cos B sin C + sin A sin B cos C sin A sin B sin C

PA sin A = EF = PE 2 + PF 2 ? 2 PEPF cos( B + C ) = PE 2 + PF 2 ? 2 PEPF cos B cos C + 2 PEPF sin B sin C = ( PE sin C + PF sin B) 2 + ( PE cos C ? PF cos B) 2
F

A E P C

≥ PE sin C + PF sin B B D sin C sin B + PF ∴ PA ≥ PE , sin A sin A sin A sin C sin B sin A + PD + PE 同理 PB ≥ PF , PC ≥ PD , sin B sin B sin C sin C sin C sin B sin C sin A sin B sin A PA + PB + PC ≥ PD( + ) + PE ( + ) + PF ( + ) sin B sin C sin A sin C sin A sin B ≥ 2( PD + PE + PF )
的垂心, 为垂足, 【补充】 H 为锐角△ ABC 的垂心, D, E , F 为垂足, 补充】 为锐角△ 求证: (1)垂足△ 求证: )垂足△ DEF 的周长 = a cos A + b cos B + c cos C ≤ ( 的内心; (2) H 为垂足△ DEF 的内心; ) 为垂足△ (3)九点圆半径为外接圆半径的一半。 )九点圆半径为外接圆半径的一半。 提示: (1) 提示: ) ?AEF ~ ?ABC , (

1 (a + b + c) ; 2

EF AE = = cos A , a AB 1 1 a cos A + b cos B + c cos C ≤ (a + b + c)(cos A + cos B + cos C ) ≤ (a + b + c) 3 2

(切比雪夫不等式) 切比雪夫不等式)

8

或由排序不等式可得 a cos A + b cos B + c cos C ≤ a cos B + b cos C + c cos A

a cos A + b cos B + c cos C ≤ a cos C + b cos A + c cos B 1 a cos A + b cos B + c cos C ≤ (a + b + c) 2
(2) ∠BED = ∠BEF = ) (3) 2 R0 = )

π

2

?B;

EF a cos A = =R sin(π ? 2 A) sin 2 A

【例 7】半径为 R 的圆内接六边形 ABCDEF 中,AB=CD=EF=R,M、N、T、分别为 BC、DE、 】 , FA 中点,求证:△MNT 为正三角形. 为正三角形. 中点,求证: 证明: 证明:设 ∠DOE = 2α , ∠FOA = 2 β , ∠BOC = 2γ ,则 F

α + β + γ = 90°
2 2

A

T

MN 2 = OM 2 + ON 2 ? 2OMON cos ∠MON = R cos γ + R cos α ? 2 R cos γ cos α cos(γ + α + 60°)
2 2 2


B M C

= R 2 cos 2 γ + R 2 cos 2 α ? 2 R 2 cos γ cos α cos(150° ? β )




D

E N

= R 2 cos 2 γ + R 2 cos 2 α ? R 2 cos γ cos α sin β + 3R 2 cos γ cos α cos β
2 2 2 2 2 2 2 同理 NT = R cos α + R cos β ? R cos α cos β sin γ + 3R cos α cos β cos γ

TM 2 = R 2 cos 2 β + R 2 cos 2 γ ? R 2 cos β cos γ sin α + 3R 2 cos β cos γ cos α 1 + cos 2γ 1 + cos 2 β ? = cos γ cos α sin β ? cos α cos β sin γ 2 2 只需证 cos 2γ ? cos 2 β = 2 cos α sin( β ? γ ) cos 2γ ? cos 2 β = ?2 sin(γ + β ) sin(γ ? β ) = 2 cos α sin( β ? γ ) . 为正三角形. ∴ MN = NT ,同理 NT = TM ,∴△MNT 为正三角形.

2 2 只需证: 只需证: MN = NT ,即 cos γ ? cos γ cos α sin β = cos β ? cos α cos β sin γ 2 2

的弦, 的三等分点, 【练习】AB 为圆 O 的弦,C、D 分别为弦 AB 的三等分点,M、N 分别为劣弧 AB 上的三等分 练习】 点,MC、ND 交于点 P,求证: ∠AOB = 3∠APB ,求证: P 提示: 斜率相等. 提示: ∠AOB = 3∠APB ? OM // AP ,建系证明直线 AP 与 OM 斜率相等.

O C
9

D N

A M

B

10


赞助商链接
更多相关文档:

三角函数期末难题复习-教师版

三角函数期末难题复习-教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。博翰教育,专注...2. 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,同时考查了创新能力,以及分类讨论...

三角函数全套教案(教师版)

三角函数全套教案(教师版) 隐藏>> 第1讲【2013 年高考会这样考】 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确...

三角函数教师版

三角函数教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。专题七 三角恒等变换与解三角...竞赛讲座(三角函数及其应... 10页 免费 三角函数基础练习 教师版... 暂无评价...

(教师版)三角函数的图像与性质第1讲

(教师版)三角函数的图像与性质第1讲_数学_高中教育_教育专区。第1讲考情解读...常常借助三角 函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与...

高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教师版)

高考题型专题冲刺精讲(数学)专题一:三角函数(教师版)。个人觉得不错!2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学) 专题一 三角函数【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们...

高中数学竞赛(07-10)试题之三角函数教师版

高中数学竞赛( 试题分类汇总——三角、向量 三角、 高中数学竞赛(07-10 年)试题分类汇总 三角一、选择题 1.(07 全国)设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数...

第21讲 三角函数简单应用(老师)

第21讲 三角函数简单应用(老师) - 课 题 三角函数的应用 编写人 年 级时间 授课对象 学习目标 学习重点、难点 教学过程 第一部分 知识点讲解 一、选择题(每...

2015-2017三角函数高考真题教师版

2015-2017三角函数高考真题教师版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2017三角函数全国卷高考真题 2015-2017 三角函数高考真题 1、 (2015 全国 1 卷 2 题)...

1.5 三角函数的应用 教学设计

三角函数的应用 1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章第五节的内容,...教师活动 (恰到好处的引导作用) 学生活动 (体现充分的主体作用) 第3页 共 ...

单位圆内的三角函数线应用讲练(教师版)

单位圆内的三角函数线应用讲练(教师版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。单位圆内的三角函数线应用讲练(教师版) 山西忻州五寨一中 摄爱忠 一、求有关三角...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com