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2015-2016学年高中数学 2.3.3、2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质练习


2.3.3 2.3.4
题号 答案 1 2 3 4

直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
5 6 7 8 9 10 11 得分

一、选择题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 1.对于任意的直线 l 与平面 α ,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l( A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.在下列四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是( )

)

(

图 L2?3?18 3.设平面 α ⊥平面 β ,若平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b,则 ) A.直线 a 必垂直于平面 β B.直线 b 必垂直于平面α C.直线 a 不一定垂直于平面 β D.过 a 的平面与过 b 的平面垂直 4.已知两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α ,β ,给出下列命题: ①若 α ∥β ,m? α ,则 m∥β ; ②若 m∥n,m∥β ,则 n∥β ; ③若 m? α ,n? β ,则 m,n 异面; ④若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β . 其中错误命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知直线 a,b,c 及平面 α ,下列条件中,能使 b∥c 成立的是( ) A.b⊥a 且 c⊥a B.b⊥α 且 c⊥α C.b,c 与 α 所成角相等 D.b∥α 且 c∥α 6.对于直线 m,n 和平面 α ,β ,γ ,有如下四个命题: ①若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α ; ②若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α ; ③若 α ⊥β ,γ ⊥β ,则 α ∥γ ; ④若 m⊥α ,m∥n,n? β ,则 α ⊥β . 其中真命题的个数是( )
1

A.1 B.2 C.3 D.4

图 L2?3?19 7.如图 L2?3?19 所示,在斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在平 面 ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 8.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中所有真命题的序号是________. 9.在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点.当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD. 10.已知 m,n 是空间两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下面有四个命题: ①m⊥α ,n∥β ,α ∥β ? m⊥n; ②m⊥n,α ∥β ,m⊥α ? n∥β ; ③m⊥n,α ∥β ,m∥α ? n⊥β ; ④m⊥α ,m∥n,α ∥β ? n⊥β . 其中所有真命题的序号是________. 11.如图 L2?3?20,在直角梯形 ABCD 中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N 分别是 AD,BE 的中点, 将三角形 ADE 沿 AE 折起.下列说法正确的是________.(填上所有正确说法的序号) ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥平面 DEC; ②不论 D 折至何位置都有 MN⊥AE; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥AD; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 EC⊥AD.

图 L2?3?20

2

三、解答题(本大题共 2 题,共 25 分) 得分 12.(12 分)如图 L2?3?21 所示,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为 正方形,PA=AB,G 为 PD 的中点.求证:AG⊥平面 PCD.

图 L2?3?21

13.(13 分)如图 L2?3?22 所示的五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形,B1C1⊥平面 ABB1N, 1 四边形 ABB1N 为梯形,且 AB⊥BB1,BC=AB=AN= BB1=4. 2 (1)求证:BN⊥平面 C1B1N; (2)求此五面体的体积.

图 L2?3?22

得分 14.(5 分)若 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,则下列命题 中为假命题的是( ) A.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,则 l⊥γ
3

B.若 l∥α ,l∥β ,α ∩β =m,则 l∥m C.若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥m,则 l∥n D.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ⊥β 或 α ∥β 15.(15 分)如图 L2?3?23(1)所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的 中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 L2 ?3?23(2)所示. (1)求证:DE∥平面 A1CB. (2)求证:A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ? 请说明理由.

图 L2?3?23

4

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 1.C [解析] 若 l 在平面 α 内,则存在直线 m⊥l;若 l 不在平面 α 内,且 l⊥α , 则 l 垂直于平面 α 内任意一条直线;若 l 不在平面 α 内,且 l 与 α 不垂直,则它的射影 在平面 α 内为一条直线,在平面 α 内必有直线 m 垂直于它的射影,故 m 垂直于 l.综上所 述,m 与 l 垂直. 2.A 3.C [解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一 个平面. 4.D [解析] 易知①正确;②中直线 n 也可能在平面 β 内,故②错误; ③中 m 与 n 也可能相交或平行,故③错误; ④显然错误. 5.B [解析] 由直线与平面垂直的性质易知 B 正确. 6.A [解析] ①不正确;②中直线 n 也可能在平面 α 内,故②不正确;③不正确;④ 当 m⊥α ,m∥n 时,有 n⊥α ,又 n? β ,所以 α ⊥β ,故④正确. 7.A [解析] ∵CA⊥AB,CA⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴CA⊥平面 ABC1,∴平面 ABC⊥平面 ABC1, ∴由面面垂直的性质定理可知 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线 AB 上. 8.②④ [解析] ②是面面垂直的判定定理;③中垂直于同一直线的两条直线不一定相 互平行,如正方体中共顶点的三条棱;由面面垂直的性质定理可知④正确. 9.DM⊥PC 或 BM⊥PC

10.①④ 11. ①②④ [解析] 如图, 设 Q, P 分别为 CE, DE 的中点, 可证 MNPQ 是矩形, 所以①② 正确;当平面 ADE⊥平面 ABCD 时,有 EC⊥AD ,④正确.故填①②④. 12.证明:∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD,∴PA⊥CD. 又 AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. 又 AG? 平面 PAD,∴AG⊥CD. ∵PA=AB=AD,G 为 PD 的中点,∴AG⊥PD. 又 PD∩CD=D,∴AG⊥平面 PCD. 13.解:(1)证明:过 N 作 NM⊥BB1,垂足为 M, ∵B1C1⊥平面 ABB1N,BN? 平面 ABB1N, ∴B1C1⊥BN, 又 BC=4,AB=4,BM=AN=4,BA⊥AN, 2 2 2 2 2 2 ∴ BN= 4 +4 =4 2,B1N= NM +B1M = 4 +4 =4 2, 2 2 2 ∵BB1=8 =64,B1N +BN =32+32=64,∴BN⊥B1N, ∵B1C1? 平面 B1C1N,B1N? 平面 B1C1N,B1N∩B1C1=B1, ∴BN⊥平面 C1B1N. 1 1 1 32 (2)连接 CN,则 VC-ABN= ×BC·S△ABN= ×4× ×4×4= , 3 3 2 3 又 B1C1⊥平面 ABB1N,所以平面 CBB1C1⊥平面 ABB1N,且平面 CBB1C1∩平面 ABB1N=BB1, NM⊥BB1,NM? 平面 ABB1N, ∴ NM⊥平面 B1C1CB, 1 1 128 ∴VN-B1C1CB= ×NM·S 矩形 B1C1CB= ×4×4×8= , 3 3 3

5

32 128 160 ∴此几何体的体积 V=VC-ABN+VN-B1C1CB= + = . 3 3 3 14.D 15.解:(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC. 又 DE?平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 DC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥DC.又 DE⊥A1D,A1D∩CD=D,所以 DE⊥平面 A1DC, 而 A1F? 平面 A1DC,所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE,所以 A1F⊥BE.

(3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下: 如图所示,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,连接 DP,PQ,QE, 则 PQ∥BC.又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ,所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP,所以 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,且 Q 为 A1B 的中点时,使得 A1C⊥平面 DEQ.

6


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