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3.2 简单的三角恒等变换(1)


3.2 简单的三角恒等变换
一、选择题(共 5 小题;共 25 分) 1. 函数 y = sin + 3cos 的图象的一个对称中心是 (
2 2 x x

)
π 3

A.

4π 3

,0

B.

5π 6

r />,0

C. )

,0

D. ? 3 , 0
π 2

π

2. 函数 f(x) = 1 + 3tanx cosx 的最小正周期为 ( A. 2π 3. 已知函数 f x = A. 15
2?2sin 2 x 4sin
π +x 2

B.

3π 2

C. π )

D.

+ 2 asinx 的最大值为 2,则常数 a 的值为 ( B. ? 15
π 2

1

C. ± 15 ,则 f x 的最大值为 ( C. 3 + 1 ) )

D. ± 10

4. 已知函数 f x = 1 + 3tanx cosx , 0 ≤ x < A. 1 B. 2

D. 3 + 2

5. 函数 y = 3sinx ? cosx 在 x ∈ 0, π 的最小值为 ( A. ?2 B. ? 3 C. 0

D. ?1

二、填空题(共 5 小题;共 25 分) 6. 定义在 上的函数 f x = sinx + 3cosx 的最大值是 .

7. 如图,半径为 1 的圆 O 的直径为 AB,点 P 是圆 O 上一动点,角 x 的始边为射线 OB,终边为射线 OP,过点 O 作 BP 的垂线 OE,垂足为 E,延长 OE 交圆 O 于点 F,过点 F 作 OB 的垂线 FN,垂足 为 N,则 OE + NF 的最大值为 .

8. 函数 y = 4sinx + 3cosx 的最大值是
2 2

. .
π 2

2 9. f x = a1 cos x + a2 ? 1 sinxcosx + 3sin x a2 1 + a 2 ≠ 0 ,无论 x 为何值,函数 f x 的图象总是

一条直线,则 a1 + a2 的值是

10. 已知 sinx + siny = 3 cosy ? cosx ,x, y ∈ 0, 三、解答题(共 2 小题;共 26 分)

,则 x ? y =



11. 函数 f x = 1 + cos 2ωx + 3sin 2ωx (0 < ω < 1),若直线 x = 3 是函数 f x 图象的一条对称 轴.

π

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(1) 试求 ω 的值; (2) 先列表再作出函数 f x 在区间 ?π, π 上的图象;并写出在 ?π, π 上的单调递减区间. 12. 化简: 2sin130? + sin100? 1 + 3tan370? .

第 2 页(共 4 页)

答案
第一部分 1. A 2. A 3. C 4. B 5. D

第二部分 6. 2 7. 8. 5 9. 4 10.
π 3

2

第三部分 11. (1) f x = 1 + 2sin 2ωx + 6 . 因为直线 x = 所以
2πω 3 π 6 π 3 π

是函数 f x 图象的一条对称轴,所以 sin
π 2

2ωπ 3

+

π 6

= ±1.

+ = kπ +
3 1

k ∈ .

所以 ω = 2 k + 2. 因为 0 < ω < 1,所以 ? < k < .
3 3 1 1

又 k ∈ , 所以 k = 0,ω = 2. (2) 由(1)知,f x = 1 + 2sin x + 6 . 列表: x 5 ? π 6 ?π 0 ? π 2 0 1 ? π 6 1 π 2 π 3 3 π 5 π 6 1 7 π 6 π 0
π 1

π + 6 x y

2 ? π 3 ?1

描点作图,函数 f x 在 ?π, π 上的图象如图所示.

单调递减区间 ?π, ?

2π 3



π 3

,π .

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原式 = 2sin50? + sin80? 1 + 3tan10? = 2cos40? + cos10? ? 12. = 2cos40? + 2
1 2 cos 10 ? + 3sin 10 ? cos 10 ? 3 2

cos10? +

sin10?

= 2cos40? + 2sin40? = 2 2sin85? .

第 4 页(共 4 页)


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