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2015届高三数学总复习分类汇编 第三期 I单元 统计


I 单元

统计

目录 I 单元 统计 ................................................................. 1 I1 随机抽样 ................................................................. 1 I2 用样本

估计总体 ........................................................... 1 I3 正态分布 ................................................................. 5 I4 变量的相关性与统计案例 ................................................... 5 I5 单元综合 .................................................................. 7

I1

随机抽样

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】4、我校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为 1 到 24,现用系统抽样方法,抽取 4 个班 进行调查,若抽到编号之和为 48,则抽到的最小编号为( ) A、2 B、3 C、4 D、5 【知识点】系统抽样方法.I1 【答案解析】B 解析:系统抽样的抽取间隔为

24 =6. 4

设抽到的最小编号 x,则 x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48, 所以 x=3.故选:B. 【思路点拨】求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号 x,根据编号的和为 48,求 x 即可.

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】4、我校三个年级共有 24 个班,学 校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为 1 到 24,现用系统抽样方法,抽取 4 个班进行调查, 若抽到编号之和为 48,则抽到的最小编号为 A、2 B、3 C、4 D、5 【知识点】系统抽样的意义. I1 【答案解析】B 解析:根据系统抽样的意义,将 24 个班分成以下 4 组:1-6,7-12,13-18,19-24.设 1-6 号 中抽到号码为 x,则 x+(x+6)+(x+12)+(x+18)=48,解得 x=3,故选 B. 【思路点拨】根据系统抽样方法的意义求解.

I2

用样本估计总体

【数学理卷·2015 届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考(201410) 】17. (本小题满分 12 分) 某学校 900 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,抽取其中 50 个样本,将测试 结果按如下方式分成五组:第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? ,下图是按上述分组方法
1

得到的频率分布直方图. (1)若成绩小于 14 秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计本年级 900 名学生中,成绩属于第三组的人数; (3)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、 五组中各抽 2 个同学组成一个实验组,设其中男同学的数量为 ? ,求 ? 的分布列和期望.
频率 组距 0.38 0.32

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



【知识点】频率分布直方图;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6 【答案解析】(1)3(2)342(3) ? ? 的分布列为 P 1 1/3 11 分 2 1/2 3 1/6

19 题 图

?
??

∴ E? ? 1 ? p (? ? 1) ? 2 ? p (? ? 2) ? 3 ? p (? ? 3) ? 6 解析:解: (1)由频率分布直方图知,成绩在第一组的为优秀,频率为 0.06, 人数为:50×0.06=3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3 ??? ????? 3 分 (2)由频率分布直方图知,成绩在第三组的频率 0.38,以此估计本年级 900 名学生成绩属于第三组的概率 为 0.38,人数为:900×0.38=342 所以估计本年级 900 名学生中,成绩属于第三组的人数为 342。??? 7 分 (3)第五组共有 50×0.008=4 人,其中 1 男,3 女,则 ? 的可能取值为 1,2,3;
1 C 32 ? C10 1 C11 ? C 2 p(? ? 1) ? ? ??? 3 C 32 C 42
频率

11

8分

组距 0.38 0.32

C 2 ? C 0 C 0 ? C 2 C1 ? C1 C1 ? C1 1 p (? ? 2) ? 2 2 1 ? 1 2 3 ? 2 2 1 ? 1 2 3 ? ?? 9 分 2 C3 C4 C3 C4 p (? ? 3) ?
1 1 2 ? C3 C2 ? C10 C1 1 ? ? ??? 2 2 6 C3 C4

10 分

0.16

? ? 的分布列为
P

1 1/3 11 分

2 1/2

3 1/6

0.08 0.06 O

?
??

13

14

15

16

17

18



19 题 图

∴ E? ? 1 ? p (? ? 1) ? 2 ? p (? ? 2) ? 3 ? p (? ? 3) ? 6 ????12 分 【思路点拨】由直方图可直接求出数据列出分布列,再利用公式计算数学期望.
2

11

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】17、 (本题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名.为研究工人的日平均生产量 是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分成两组,并将两组工人的日平均生产 件数分成 5 组: ?50,60 ?, ?60,70 ?, ?70,80 ? ,

?80,90? , ?90,100? 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名, 求至少抽到一名 25 周岁以下的工人的概率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件作出 2 ? 2 列联表,并判断是否 0 有 90 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公式:

p( K 2 ? k )
K
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? c)
【知识点】用样本估计总体;统计案例;古典概型. 【答案解析】(1) I2 I4 K2

7 ; (2) 10
生产能手 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

25 周岁以上 25 周岁以下 合计

15 15 30

没有 90 0 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”. 解析: (1)由已知得,样本中 25 周岁以上的工人有 60 名,25 周岁以下的工人有 40 名,所以样本中日平 均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上的工人有 60 ? 0.05 ? 3(名) ,记为 A1 , A2 , A3 ;25 周岁以下的 工人有 40 ? 0.05 ? 2 (名),记为 B1 , B2 . 从中随机任取 2 名工人,所有可能的结果为: ? A 1, A 2 ?,? A 1, A 3 ?,? A 2, A 3 ?,? A 1, B 1 ?, ? A 1 , B2 ? ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,共 10 种.------2 分
其 中 , 至 少 抽 到 一 名 25 周 岁 以 下 的 工 人 的 可 能 得 结 果 为

, ? A1, B? 1 ?

A1, ?B2,
3

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,共 7 种.-----4 分
故所求概率 p ?

7 .-------6 分 10

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,25 周岁以上的生产能手有

60 ? 0.25 ? 15 (名) ,25 周岁以上的生产能手有 40 ? 0.375 ? 15 (名) ,----8 分
据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上 25 周岁以下 合计 -------------10 分 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? 1.79 . = 60 ? 40 ? 30 ? 70 14 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? c) 因为 1.79<2.706,所以没有 90 0 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.---12 分
所以 K ?
2

【思路点拨】(1) 先求样本中日平均生产件数不足 60 件的工人有 5 人,其中 25 周岁以下的 2 人,25 周岁 以上的 3 人,逐个写出从中随机任取 2 名工人的所有可能结果,共 10 种.其中 至少抽到一名 25 周岁以下的工人的可能得结果有 7 种,故所求概率 p ?

7 ; 10

(2)根据频率分布直方图求得:25 周岁以上“生产能手”人数及“非生产能手”人数;25 周岁以下“生 产能手”人数及“非生产能手”人数.从而得 2 ? 2 列联表,然后据所给公式和附表求值并判断结论.

【数学文卷·2015 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试(201410) 】20、 (本小题满分 12 分) 高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答 如下问题: 茎 5 6 7 8 9 叶 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 5 8

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份 分数在[90,100]之间的概率. 【知识点】用样本估计总体 I2 【答案解析】 (Ⅰ)25(Ⅱ)0.6
4

(Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. 0.08 (Ⅱ)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15 个。 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个, 9 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 =0.6. 15 【思路点拨】根据频率分布直方图比例关系求出全班人数,列出基本事件求出概率。

I3

正态分布

I4

变量的相关性与统计案例

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】7、已知 x , y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3 )

$ ? 0.95x ? a ,则 x ? 13 时, y =( 从所得散点图中分析可知: y 与 x 线性相关,且 y A、1.45 B.13.8 C、13 D、12.8 【知识点】线性回归方程.I4
【答案解析】B 解析:由题意, = (0+1+4+5+6+8)=4, = ( )=5.25

$ ? 0.95x ? a , ∵y 与 x 线性相关,且 y ∴5.25=0.95×4+a,∴a=1.45

$ =13.8.故选 B. 从而当 x=13 时,有 y 【思路点拨】计算平均数,可得样本中心点,代入线性回归方程,求得 a 的值,再代入 x=13,即可求出 y.

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】17、 (本题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名.为研究工人的日平均生产量 是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,
5

然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分成两组,并将两组工人的日平均生产 件数分成 5 组: ?50,60 ?, ?60,70 ?, ?70,80 ? ,

?80,90? , ?90,100? 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(3) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名, 求至少抽到一名 25 周岁以下的工人的概率. (4) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件作出 2 ? 2 列联表,并判断是否 有 90 0 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公式:

p( K 2 ? k )
K

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? c)
I2 I4 K2

【知识点】用样本估计总体;统计案例;古典概型. 【答案解析】(1)

7 ; (2) 10
生产能手 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

25 周岁以上 25 周岁以下 合计

15 15 30

没有 90 0 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”. 解析: (1)由已知得,样本中 25 周岁以上的工人有 60 名,25 周岁以下的工人有 40 名,所以样本中日平 均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上的工人有 60 ? 0.05 ? 3(名) ,记为 A1 , A2 , A3 ;25 周岁以下的 工人有 40 ? 0.05 ? 2 (名),记为 B1 , B2 . 从中随机任取 2 名工人,所有可能的结果为: ? A 1, A 2 ?,? A 1, A 3 ?,? A 2, A 3 ?,? A 1, B 1 ?, ? A 1, B2 ? ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,共 10 种.------2 分
其 中 , 至 少 抽 到 一 名 25 周 岁 以 下 的 工 人 的 可 能 得 结 果 为

, ? A1, B? 1 ?

A1, ?B2,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,共 7 种.-----4 分
故所求概率 p ?

7 .-------6 分 10
6

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,25 周岁以上的生产能手有

60 ? 0.25 ? 15 (名) ,25 周岁以上的生产能手有 40 ? 0.375 ? 15 (名) ,----8 分
据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上 25 周岁以下 合计 -------------10 分 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? 1.79 . 所以 K ? = 60 ? 40 ? 30 ? 70 14 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? c) 因为 1.79<2.706,所以没有 90 0 0 以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.---12 分
2

【思路点拨】(1) 先求样本中日平均生产件数不足 60 件的工人有 5 人,其中 25 周岁以下的 2 人,25 周岁 以上的 3 人,逐个写出从中随机任取 2 名工人的所有可能结果,共 10 种.其中 至少抽到一名 25 周岁以下的工人的可能得结果有 7 种,故所求概率 p ?

7 ; 10

(2)根据频率分布直方图求得:25 周岁以上“生产能手”人数及“非生产能手”人数;25 周岁以下“生 产能手”人数及“非生产能手”人数.从而得 2 ? 2 列联表,然后据所给公式和附表求值并判断结论.

I5 单元综合

7


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