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陕西省长安一中2011届高三第五次质量检测(数学理)


陕西省长安一中 高 2011 级高三第五次质量检测 数 学 试 题(理)
第Ⅰ卷选择题 (共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.集合 A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则 A ? B= ( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0

,1} 2.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 a , b , c 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面, 下 ( 列 ) 命 题 中 正 确 的 是 ( )

A. a ? c , b ? c ? a // B. // ? ,/ / ? ? a // C. ? ? ? , ? ? ? ? ? // D. ? //,// ? ? ? //
? x ? y ≥ ?1 ? 4.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 ?y≥ 2 ?

= ) A.10 C.13

2+4

y







值 (



B.12 D.14 ( ) D.
63 32

(第 5 题)

5.执行如图的程序框图,如果输入 p ? 5 ,则输出的 S ? A.
15 16

B.

31 16

C.

31 32

6.设向量,满足: | a |? 1 , | b |? 2 , a ? ( a ? b) ? 0 , 则与的夹角是 A. 30
?

( D. 120
?



B. 60

?

C. 90

?

7.一个多面体的三视图分别是正方形.等腰三角形和矩形,其尺寸如图,则该多面体的体积为 9 ( ) A. 48 cm
3

B. 24 cm

3

C. 32 cm

3

D. 28 cm

3

8.已知 f ( x ) ? sin( x ?

?
2

), g ( x ) ? cos( x ?

?
2

) ,则下列结论中正确的是





A.函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的周期为 2; B.函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的最大值为 1; C.将 f ( x ) 的图象向左平移
?
2

个单位后得到 g ( x ) 的图象; 个单位后得到 g ( x ) 的图象;

D.将 f ( x ) 的图象向右平移
x a
2 2

?
2

9.过双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另一条渐近线

交于点 B,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为 D. 5



)A. 2

B. 3 C . 2

10. f ( x ) ? x ? 2 x , g ( x ) ? a x ? 2 ( a ? 0 ) ,对 ? x1 ? [ ? 1, 2 ], ? x 0 ? [ ? 1, 2 ], 使 g ( x1 ) ? f ( x 0 ) ,则ɑ的取值范
2

围是 A. (0 , ]
2 1

( B. [ , 3]
2 1



C. [3, ? ? )

D. (0 , 3]

试卷Ⅱ(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,满分 25 分) . 11.若 ( a ? 2 i ) i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b ? .

12.从 5 名男医生.4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男.女医生都有,则不同的 组队方案共有 种 (数字回答) . 13 . 在 平 面 几 何 里 , 有 : 若 ? A B C 的 三 边 长 分 别 为 a , b , c , 内 切 圆 半 径 为 , 则 三 角 形 面 积 为 “
S ? ABC ? 1 2 (a ? b ? c)r

” ,拓展到空间,类比上述结论, “若四面体 A ? BCD 的四个面的面积分别为 ”

S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , 内切球的半径为,则四面体的体积为

14. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) 且 f ( x ) 在[—1, 0]上是增函数, 给出下列四个命题: ① f ( x ) 是周期函数;② f ( x ) 的图像关于 x ? 1 对称;③ f ( x ) 在[1,2]上是减函数;④ f ( 2 ) ? f ( 0 ) , 其中正确命题的序号是 。 (请把正确命题的序号全部写出来) 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做.则按所做的第一题评阅计分)
? A.选修 4—4 坐标系与参数方程)已知圆 C 的圆心为 ( (6, )半径为 5, , 直线 ? ? ? ( ? ? ? ? ? , ? ? R ) 2 2

被圆截得的弦长为 8,则 ? = B. (选修 4—5 不等式选讲)如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,则实数 a 的取 值范围是 ; C. (选 修 4—1 几何证明选讲) ,AB 为圆 O 的直径,弦 AC.BD 交于点 P,若 AB=3,CD=1,则 sin ? A P D = ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
x 2 x 2 x 2 1 2

16. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)若
f (? ) ? 2 4

f ( x ) ? sin

cos

? cos

2

?


? ,? ? ?

, ? ? ? 0 , ? ?, 求 ? 的值

; (2)求函数

f (x)

在 ??
?

?

?
4

上最大值和最小值.

17. (本小题满分 12 分)甲.乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一 人比对方多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 p(p> 1 ),且各局胜负相互独立。已 2
5 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 9 . (1)求 p 的值; (2)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,

求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 底面是矩形的四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 底 面 A B C D , E . F 分别是 P C . P D 的中点, PA ? AB ? 1 , BC ? 2 . (I)求证: EF ∥平面 PAB ;

(II)求证:平面 PAD ? 平面 PDC ; (III)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

19. (本题满分 12 分)已知数列 { a n } 是首项为 1 公差为正的等差数列,数 列 { b n } 是首项为 1 的等比数列, 设 c n ? a n b n ( n ? N * ) ,且数列 { c n } 的前三项依次为 1,4,12, (1)求数列 { a n } . { b n } 的通项公式; (2)若等差数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,求数列 ?
? Sn ? ? 的前项的和 Tn. ? n ?

( 20. (本小题满分 13 分) 已知点 P (4, , C: x ? m ) 2 ? y 2 ? 5 ( m ? 3) 4) 圆

y P

与椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

有一个公共点 A(3,1) 1.F2 分别是椭圆 ,F
F1 O C Q

A

的左.右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 A P ? A Q 的取值范围.
??? ???? ?

F2

x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? a ) ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值。
2

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x ) ? ?
5 2 x ? b 在区间(0,2)有两个不等实根,求实数 b 的取值范围。

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) . 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C
1 3

5 C

6 D

7 A

8 D

9 C

10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) . 11. 1 12. 70 13. V四面体
2? 3
A ? BCD

?

( S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 )r

14.①②④

15.

A.



B. a>-1;

C.

2 3

2



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ?
1 2
2 2

sin x ?

1 ? cos x 2
?
4

?

1 2
2

?

1 2

(sin x ? cos x ) ?

2 2

sin( x ?

?
4

)

由题意知 f (? ) ?

sin( ? ?

)?

,即 sin( ? ?
?
4 5? 6

?
4

)?

1 2
?

4

∵? ? (0, ? ) 即 ? ? ? (2)∵

?
4

?(

?
4

,

5? 4

)

∴?

?

?

?

?

7? 12

?
4

?? ?? 即
0 ?? ?

?
4

?

5? 4

f (x) m a x ? f (

?
4

)?

2 2

, f ( x ) min

? f (? ) ? ?

1 2

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止,故 p ? (1 ? p ) ?
2 2 5 9

,解得

p ?

2 3

或p ?

1 3

,又p ?

1 2

,故 p ?

2 3

(2)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6,设每两局比赛为一轮,
5 则该轮结束时比赛停止的概率为 9 ,若该轮结束时比赛还将继续,则

甲.乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否 停止没有影响,从而有
P (? ? 2) ?
5 9 5 , P (? ? 4) ? (1 ? 9 ) ? 5 9

?

20 80

5 5 , P ( ? ? 6) ? (1 ? 9 ) ? (1 ? 9 ) ? 1 ?

16 81

,则随机变量 ? 的分布列

5 为: 故 E ? ? 2 ? 9 ? 4 ?

20 81

? 6?

16 81

?

266 81

18. (本小题满分 12 分) 解:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐 标系,则 A ?0 , 0 , 0 ?, B ?1, 0 , 0 ?, C ?1, 2 , 0 ?, D ?0 , 2 , 0 ?, P ?0 , 0 ,1 ? ∴ E ?
?1 ?2 ,1, 1? ? 1? ? , F ? 0 ,1, ? , 2? ? 2?

? 1 ? EF ? ? ? , 0 , 0 ? , PB ? ?1, 0 , ? 1 ? , PD ? ?0 , 2 , ? 1 ? , AP ? ?0 , 0 ,1 ? , ? 2 ?
AD ? ?0 , 2 , 0 ? , DC ? ?1, 0 , 0 ? , AB ? ?1, 0 , 0 ? .

(Ⅰ)∵ EF ? ?

1 2

AB , ∴ EF ∥ AB ,即 EF ∥ AB ,

又 AB ? 平面 PAB , EF ? 平面 PAB , ∴ EF ∥平面 PAB . (Ⅱ)∵ AP ? DC ? ?0 , 0 ,1 ? ? ?1, 0 , 0 ? ? 0 , AD ? DC ? ?0 , 2 , 0 ? ? ?1, 0 , 0 ? ? 0 , ∴ AP ? DC , AD ? DC ,即 AP ? DC , AD ? DC . 又 AP ? AD ? A , AP ? 面 PAD , AD ? 面 PAD ,∴ DC ? 平面 PAD .∵ DC ? 平面 PDC , ∴平面 PAD ? 平面 PDC . (Ⅲ)设平面 PBD 的一个法向量 n ? ? x , y , z ? ,则
? ? n ? PB ? 0 ? n ? PD ? 0 ?
? x? z ?0 ?2 y ? z ? 0

∴?

,即 ?

,解得平面 APC 的一个法向量 n ? ? 2 ,1, 2 ? .

而平面 APD 的一个法向量是 DC ? ?1, 0 , 0 ? ,设二面角 A ? PD ? B 为 ? ,则
cos ? ? n ? DC n ? DC ?

? 2 ,1, 2 ? ? ?1, 0 , 0 ?
3?1

?

2 3

.即二面角 A ? PD ? B 的余弦值为

2 3



19. (本小题满分 12 分) 解?1)设数列 ? a n ? 的公差为 d , ? b n ? 的公比为 q ,则由题意知
a 1 b1 ? 1 ( a 1 ? d )( b1 q ) ? 4 ( a 1 ? 2 d )( b1 q ) ? 1 2
2

因为数列 ? a n ? 各项为正数, 所以 d ? 0

所以把 a=1,b=1 代入方程组解得 ?

?d ? 1 ?q ? 2
n ( n ? 1) 2 d

(2)由(1) 知等差数列 { a n } 的前 n 项和 Sn=na+ 所以
sn n ? a 1 ? ( n ? 1) d 2

所以数列 ?

d 1 ? Sn ? ? 是首项是 a=1,公差为 = 的等差数列 2 2 ? n ?

所以 T=n a+

n ( n ? 1) d 2 2

=n+

n ( n ? 1) 4

=

n ? 3n
2

4

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m ) 2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1.

圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4 ) ? 4 ,即 kx ? y ? 4 k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
11 2 1 2

| k ? 0 ? 4k ? 4 | k
2

?

5



?1

解得 k 当 k=

? 1 2

,或k ?

.当 k=

11 2

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为

36 11

,不合题意舍去.

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,
2 ? 2 ?6 2

∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .2a=AF1+AF2= 5 圆 E 的方程为:
??? ?

,a

?3 2

,a2=18,b2=2.椭

x

2

?

y

2

? 1.
??? ?

18

2

(Ⅱ) A P ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,3 ? , Q x y )1
??? ???? ? A P ? A Q ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6


2

.∵

x

2

?

y

? 1 ,即 x ? (3 y ) ? 18
2 2



18

2

而 x 2 ? (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 则 ( x ? 3 y ) 2 ? x 2 ? (3 y ) 2 ? 6 xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].
x ? 3y

的取值范围是[-6,6].

??? ???? ? ∴ A P ? A Q ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 f ? ( x ) ?
1 x?a ? 2x ?1 ?

1 ? 2 x(x ? a) ? (x ? a) (x ? a)

? f ?( x ) ? 0

?

1? a

(2)由(1)得 f ? ( x ) ?
? 2 x(x ? ? x ?1 3 2 )

? 0? a ? 1 a 1 ? 2 x ( x ? 1) ? ( x ? 1) x ?1

( x ? ? 1) 由 f ? ( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 0

? f ( x ) 的单调递增区间为(—1,0) ,单调递减区间为 ( 0 , ?? )

(3)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ?

5 2

x ? b ) ? ln( x ? 1) ? x ?
2

3 2

x ? b , x ? (0,2 )

则 g ?( x ) ?

1 x ?1

? 2x ?

3 2

令 g ? ( x ) ? 0 得 x ? 1或 x ? ?

5 4

(舍) ,

当 0 ? x ? 1 时 g ?( x ) ? 0 , 当 1 ? x ? 2时 g ? ( x ) ? 0即 g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上递增,在(1,2)上递减 方程 f ( x ) ? ? 点。
??b ? 0 ?b ? 0 ? g (0 ) ? 0 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? g (1) ? 0 ? ? ln 2 ? ? b ? 0 ? ? b ? ln 2 ? 2 2 ? g (2) ? 0 ? ? ? ? ln 3 ? 1 ? b ? 0 ? b ? ln 3 ? 1 ? ?

5 2

x ? b 在区间 ( 0 , 2 ) 上有两个不等实根等价于函数 g ( x ) 在(0,2)上有两个不同的零

? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 2

即实数 b 的取值范围为 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 2


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