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17.1.2 反比例函数的图象和性质教案


17.1.2

反比例函数的图象和性质

教学目标 1.知识与技能 会画反比例函数的图象,并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别,能从反 比例函数的图象上分析出简单的性质.能用反比例函数的定义和性质解决实际问题. 2.过程与方法 通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能 力.同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法,归纳反比例函数一些性质特征. 3.情感、态度与价值观 由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性,感受数学美,并通过图象 的直观教学激发学习兴趣. 教学重点难点 重点:反比例函数图象的画法及探究,反比例函数的性质的运用. 难点:反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析. 课时安排 2 课时 第 1 课时 (一)创设情境,导入新课 问题:1.若 y=
( 2 n ? 1)( n ? 1) x

是反比例函数,则 n 必须满足条件 n≠

1 2

或 n≠-1 .

2.用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 . 3.试用描点法画出下列函数的图象: (1)y=2x; (2)y=1-2x. (二)合作交流,解读探究 问题:我们已知道,一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,?那么反比例函数 y=
k x

(k 为常数且 k≠0)的图象是什么样呢? 尝试 用描点法来画出反比例函数的图象. 画出反比例函数 y=
6 x

和 y=-4

6 x

的图象. -2 -2 3 -1 1 -6 2 3 3 4 5 6 1 ?

x y= 6
x

解:列表 ? -6

-5 -1 1.2

-3 -1.5

y=- 6
x

1

6

-1.5

(请把表中空白处填好) 描点,以表中各对应值为坐标,在直角坐标系中描出各点. 连线,用平滑的曲线把所描的点依次连接起来.

-1-

探究 反比例函数 y= 做一做 把 y=
6 x

6 x

和 y=6 x

6 x

的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?

和 y=6 x

的图象放到同一坐标系中,观察一下,看它们是否对称.
6 x

归纳 反比例函数 y=

和 y=-

的图象的共同特征:

(1)它们都由两条曲线组成. (2)随着 x 的不断增大(或减小) ,曲线越来越接近坐标轴(x 轴、y 轴) . (3)反比例函数的图象属于双曲线(hyperbola) . 此外,y=
6 x

的图象和 y=-

6 x

的图象关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称.
3 x

做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数 y= 交流 两个函数图象都用描点法画出? 【分析】 由 y=
6 x

和 y=-

3 x

的图象.

和 y=-

6 x

的图象及 y=

3 x

和 y=-

3 x

的图象知道,

(1)它们有什么共同特征和不同点? (2)每个函数的图象分别位于哪几个象限? (3)在每一个象限内,y 随 x 的变化而如何变化? 猜想 反比例函数 y=
k x

(k≠0)的图象在哪些象限由什么因素决定??在每一个象限

内,y 随 x 的变化情况如何?它可能与坐标轴相交吗? 【归纳】 (1)反比例函数 y=
k x

(k 为常数,k≠0)的图象是双曲线.

(2)当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y?值随 x 值的增大而减小. (3)当 k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,y?值随 x 值的增大而增大. (三)应用迁移,巩固提高 例题 指出当 k>0 时,下列图象中哪些可能是 y=kx 与 y= 的图象 ( )
k x

(k≠0)?在同一坐标系中

【分析】 对于 y=kx 来说,当 k>0 时,图象经过一、三象限,当 k<0 时,图象经过 二、四象限;对于 y=
k x
-2-

来说,当 k>0 时,图象在一、三象限,当 k<0 时,图象在二、四

象限,所以应选 B. 【答案】 B 备选例题 1. (2005 年中考·泉州)请你写出一个反比例函数的 解析式,使它的图象在第一、三象限. 2. (2005 年中考·宣昌)如图所示的函数图象的关 系式可能是(? ) A.y=x B.y=
1 x

C.y=x

2

D.y=

1 |x|

(四)总结反思,拓展升华 1.画反比例函数的图象. 2.反比例函数的性质. 3.反比例函数的图象在哪个象限由 k 决定,且 y 值随 x 值变化只能在“每一个象限 内”研究. 4.在 y=
k x

(k≠0)中,由于 x≠0,同时 y≠0,因此双曲

线两个分支不可能到达坐标轴. (五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.已知反比例函数 y=
k x

的图象如图所示,则 k > 0,在

图象的每一支上,?y 值随 x 的增大而 减小 . 2.下列图象中,是反比例函数的图象的是 (D)

3. (2005 年中考·东营)在反比例函数 y= (x2,y2) ,且 x1>x2>0,则 y1-y2 的值为 (A) (A)正数 (B)负数 (C)非正数 提升能力

k x

(k<0)的图象上有两点 A(x1,y1) ,B (D)非负数
k ?2 x

4. (2005 年中考·苏州)已知反比例函数 y=

的图象在第一、三象限内,则 k 的

值可是________(写出满足条件的一个 k 值即可) . 【答案】 略 5.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为倒数,?则这点一定在函数图象上 y=
1 x

(填函数关系式) .

-3-

6.若一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限,则反比例函数 y= 定在 二、四 象限. 开放探究 7.两个不同的反比例函数的图象是否会相交?为什么? 【答案】 不会相交,因为当 k1≠k2 时,方程
k1 x

kb x

的图象一


1 x

k2 x

无解. c.

8.点 A(a,b) 、B(a-1,c)均在反比例函数 y= 第 2 课时 (一)创设情境,导入新课

的图象上,若 a<0,则 b <

老师在黑板上写了这样一道题: “已知点(2,5)在反比例函数 y=

? x

的图象上,?试

判断点(-5,-2)是否也在此图象上. ”题中的“??”是被一个同学不小心擦掉的一个数 字,请你分析一下“?”代表什么数,并解答此题目. (二)合作交流,解读探究 探究 点(2,5)在反比例函数图象上,其坐标当然满足函数解析式,因此,代入后 易求得?=10, 即反比例函数关系式为 y=
10 x

, 再当 x=-5 时, 代入易求得 y=-2, 说明点 (-5,

?-2)适合此函数解析式,进而说明点(-5,-2)一定在其函数图象上. 交流 与同学们分享成功的喜悦. (三)应用迁移,巩固提高 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A(2,6) (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大而如何变化? (2)点 B(3,4) 、C(-2
1 2

,-4

4

)和 D(2,5)是否在这个函数的图象上? ,因为它过点 A(2,6) ,所以把坐标代入得 6=
k 2

解: (1)设这个反比例函数为 y= ?解得 k=12,此反比例函数式为 y= 个象限内,y 随 x 的增大而减小.
12 x

5 k x



,又因 k=12>0,所以图象在第一、三象限,且在每

(2)把点 B、C、D 的坐标分别代入 y=

12 x

,知点 B、C 的坐标满足函数关系式,点 D?

的坐标不满足函数关系式,所以点 B、 在函 C 数 y=
12 x

的图象上,点 D 不在这个函数的图

象上. 例 2(2005 年中考·河南)三个反比例 函数

-4-

(1)

y=

k1 x

(2)y=

k2 x

(3)y=

k3 x

在 x 轴上方的图象如图所示,由此推出 k1,

k2,k3 的大小关系 【分析】 由图象所在的象限可知,k1<0,k2>0,k3>0;在(2) (3)中,为了比较 k2 与 k3 的大小,可取 x=a>0,作直线 x=a,与两图象相交,找到 y= b?和 c,由于 k2=ab,k3=ac,而 c>b>0,因而 k3>k2>k1. 【答案】 k3>k2>k1. 例 3 直线 y=kx 与反比例函数 y=6 x
k2 x

与 y=

k3 x

的对应函数值

的图象相交于点 A、

B,过点 A 作 AC 垂直于 y 轴于点 C,求 S△ABC. 解:反比例函数的图象关系原点对称,又 y=kx 过原点, 故点 A、B 必关于原点对称,从而有 OA=OB,所以 S△AOC=S△BOC. 设点 A 坐标为(x1,y1) ,则 xy=-6,且由题意 AC=│x1 │,OC=│y1│. 故 S△AOC=
1 2

AC·OC=

1 2

│x1y1│=

1 2

×6=3,

从而 S△ABC=2S△AOC=6. 备选例题 1. (2005 年中考·兰州)已知函数 y=-kx(k≠0)和 y=过点 A 作 AC 垂直于 y 轴,垂足为 C,则 S△BOC=_________. 2. (2005 年中考· 常德) 已知正比例函数 y=kx 和反比例函数 y= 1) ,求此正比例函数解析式及另一交点的坐标. 【答案】 1.2; 2.y=
1 3 3 x 4 x

的图象交于 A、B 两点,

的图象都过点 A (m,

x, (-3,-1)

(四)总结反思,拓展升华 反比例函数的性质及运用 (1)k 的符号决定图象所在象限. (2)在每一象限内,y 随 x 的变化情况,在不同象限,不能运用此性质. (3)从反比例函数 y= 点所构成的三角形面积 S△=
k x 1

的图象上任一点向一坐标轴作垂线,这一点和垂足及坐标原 │k│.

2

(4)性质与图象在涉及点的坐标,确定解析式方面的运用. (五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.判断下列说法是否正确 (1)反比例函数图象的每个分支只能无限接近 x 轴和 y 轴,?但永远也不可能到达 x 轴或 y 轴. (∨)
-5-

(2)在 y=

3 x

中,由于 3>0,所以 y 一定随 x 的增大而减小. (×)
2 x

(3)已知点 A(-3,a) 、B(-2,b) 、C(4,c)均在 y=3?m x

的图象上,则 a<b<c. (×)

(4)反比例函数图象若过点(a,b) ,则它一定过点(-a,-b)(∨) . 2.设反比例函数 y= 的图象上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,且当 x1<0<x2 时, m<3 .
k x

有 y1<y2,则 m 的取值范围是

3.点(1,3)在反比例函数 y= x?的增大而 减小 .

的图象上,则 k=

3 ,在图象的每一支上,y 随

4. 正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=

k x

的图象有一个交点的纵坐标是 2, (1) 求

x=-3 时反比例函数 y 的值; (2)当-3<x<-1 时,反比例函数 y 的取值范围. 【答案】 (1)提升能力 5. (2005 年中考·资阳)已知正比例函数 y=k1x(k1≠0)与反比例函数 y=
k2 x

4 3

, (2)-4<9-

4 3

(k2≠0)

?的图象有一个交点的坐标为(-2,-1) ,则它的另一个交点的坐标是(A) A. (2,1) B. (-2,-1) C. (-2,1) D. (2,-1) 6. (2005 年中考·沈阳)如图所示,已知直线 y1=x+m 与 x 轴、y?轴分别交于点 A、B, 与双曲线 y2=
k x

(k<0)分别交于点 C、D,且 C 点坐标为(-1,2) .

(1)分别求直线 AB 与双曲线的解析式; (2)求出点 D 的坐标; (3)利用图象直接写出当 x 在什么范围内取何值时,y1>y2.

【答案】 (1)直线:y=x+3,双曲线:y=7.画出 y=2 x

2 x

; (2) (-2,1) (3)-2<x<-1 ;

与 y=-

2 |x|

的图象,并加以区别.

-6-

【答案】 略 开放探究 8. (2005 年中考·湖州)两个反比例函数 y= 点 P1,P2,P3,?,P2005 在反比例函数 y=
6 x 3 x



6 x

,在第一象限内的图象如图所示,

图象上,它们的横坐标分别是 x1,x2,x3,?,

x2005,?纵坐标分别 1,3,5,?,共 2005 年连续奇数,过点 P1,P2,P3,?,P2005 分别作 y 轴的平行线,与 y=
3 x

的图象交点依次是 Q1(x1,y1) 2(x2,y2) 3(x3,y3) ,Q ,Q ,?,Q2005

(x2005,y2005) ,则 y2005= 2004.5 .

教学反思

-7-



题 备课时间 教学目标 教学重点 教学难点

反比例函数 课时序数 2 2006/2/7 授课时间 主备人 1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出 它的性质; 2.利用反比例函数的图象解决有关问题. 1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,会说出它的性质; 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题. 教 学 过 程 改笔栏

一、创设情境 上节的练习中,我们画出了问题 1 中函数
t ? s v

的图象,发现它并不是直线.那么它是怎么

样的曲线呢?本节课, 我们就来讨论一般的反比例 函数 y ?
k x

(k 是常数,k≠0)的图象,探究它有

什么性质. 二、探究归纳 1.画出函数 y ?
6 x

的图象.

分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三 个步骤,在反比例函数中自变量 x ≠0. 解 1.列表:这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数,列出 x 与 y 的对应值:

2.描点: 用表里各组对应值作为点的坐标, 在直角坐标系中描出在京各点点(-6, -1)、(-3,-2)、(-2,-3)等. 3.连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用 平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合 起来,就是反比例函数的图象. 学生讨论、交流以下问题,并将讨论、交流的结果回答问题. 1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数 y ? 6 的图象有什么不同?
x

-8-

2.反比例函数 y ?

k x

(k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?

3.联系一次函数的性质,你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加,函 数 y 将怎样变化?有什么规律? 反比例函数 y ?
k x

有下列性质:

(1)当 k>0 时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右 下降,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少; (2)当 k<0 时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右 上升,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加. 注 1.双曲线的两个分支与 x 轴和 y 轴没有交点; 2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称. 以上两点性质在上堂课的问题 1 和问题 2 中反映了怎样的实际意义? 在问题 1 中反映了汽车比自行车的速度快,小华乘汽车比骑自行车到镇上的时 间少. 在问题 2 中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小. 三、实践应用 例 1 若反比例函数 y ? ( m ? 1) x
2?m
2

的图象在第二、四象限,求 m 的值.
2

分析 由反比例函数的定义可知: 2 ? m ? ? 1 , 又由于图象在二、四象限, 所以 m+1<0,由这两个条件可解出 m 的值. 解 由题意,得 ?
? 2 ? m 2 ? ? 1, ?m ? 1 ? 0
k x

解得 m ? ? 3 .

例 2 已知反比例函数 y ?

(k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,求一次

函数 y=kx-k 的图象经过的象限. 分析 由于反比例函数 y ?
k x

(k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,因此 k

<0,而一次函数 y=kx-k 中,k<0,可知,图象过二、四象限,又-k>0, 所以直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 解 因为反比例函数 y ?
k x

(k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,所以 k

<0,所以一次函数 y=kx-k 的图象经过一、二、四象限. 教后记

-9-


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