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数学归纳法证明不等式


4.1 数学归纳法证明不等式(2)
☆学习目标:1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点:应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景: 关于正整数 n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性: 10. 验证 n 取 20. 假设当 时命题 ( 即 n= n 时命题成立) (归纳奠基) ; (归纳递推

). !(结论) .

时命题成立,证明当 n=k+1 时命题

30. 由 10、20 知,对于一切 n≥ n 的自然数 n 命题 要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明



数学归纳法的应用:
2m

例 1. 求证: e

? 3m ,其中 m ? 1 ,且 m ? N ? .

例 2 已知数列 {an } 的各项为正,且 a ? 1, an ?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ? ;

1 an ? (4 ? an ), n ? N ? . 2

(2)求数列 {an } 的通项公式 an .

1

例 3 (06 湖南)已知函数 f ( x) ? x ? sin x , 数列 {an } 满足: 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1,2,3, 证明: (ⅰ ) 0 ? an?1 ? an ? 1; (ⅱ ) an ?1 ?

,

1 3 an . 6

例 4 (09 山东)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N , 点 (n, Sn ) 均在函数 均为常数)的图像上. y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1 , b , r (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

?

bn ? 2 ( l o2 g an ?
?

n 1? ) (N ?

)
n ? 1 成立

证明:对任意的 n ? N

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · ·n ? ,不等式 b · b · bn 1 2

选修 4-5 练习

§4.1.2 数学归纳法证明不等式(2)
2

姓名

1、正数 a、b、c 成等差数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,试证明:an+cn>2bn.

2、正数 a、b、c 成等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,试证明:an+cn>2bn.

3、若 n 为大于 1 的自然数,求证:

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 13 ? . 2n 24

x?3 4、 (05 辽宁)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ( x ? ?1) , 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ,

{bn } 满足 bn ?| an ? 3 |, Sn ? b1 ? b2 ?
(Ⅰ )用数学归纳法证明 bn ?
( 3? 1 ) 2n ?1 ;
n

? bn (n ? N * )
2 3 .. 3

(Ⅱ )证明 S n ?

3

1 1 1 1 5、 (05 湖北)已知不等式 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数, [log2 n] 表

示不超过 log2 n 的最大整数. 设数列 {an } 的各项为正,且满足
a1 ? b(b ? 0), a n ? nan ?1 , n ? 2,3,4,? n ? an ?1

证明:

an ?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[log2 n]

6、(09 广 东 )已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,

) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率
? x2 n ?1 ? 1 ? xn ? 1 ? xn xn . yn

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?

2 sin

参考答案:
4

1. 关于正整数 n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性: 10. 验证 n 取第一个值时命题成立( 即 n= n 时命题成立) (归纳奠基) ; 20. 假设当 n=k 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立(归纳递推). 30. 由 10、20 知,对于一切 n≥ n 的自然数 n 命题都成立!(结论) 要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 例 1.求证: e
2m

? 3m ,其中 m ? 1 ,且 m ? N ? .

证法一:用数学归纳法证明. (1)当 m=2 时, e ? 2 ? 3 ? 2 ,不等式成立.
4 4 2k 2( k ?1) ? e2 k ? e2 ? 3k ? e2 ? 6k , (2)假设 m ? k (k ? 2, k ? N ) 时,有 e ? 3k ,则 e

*

k ? 1) ? k 3? 3 ?,即 0 6k ? 3 k (? 1 ) ∵k ? 2 ,∴6k ? 3 ( .
从而 e
2 ( k? 1 )

? 6 k ? 3 (k ? 1 ) 即 m ? k ? 1 时,亦有 e2 m ? 3m . ,
?

由(1)和(2)知,对 m ? 1, m ? N 都成立. 证法二:作差、放缩,然后利用二项展开式和放缩法证明.

e 2 m ? 3m ? (1 ? 1) 2 m ? 3m
0 1 2 ? C2 m ? C2 m ? C2 m ? 3m

2m(2m ? 1) ? 3m 2 ? 1 ? 2m ? m ? 3m ? 1 ? 2m ? ?0
? 2m ∴当 m ? 1 ,且 m ? N 时, e ? 3m .

( m ? 1 ? 2m ? 1 ? 1)

例 2(2005 年江西第 21 题第(1)小题,本小题满分 12 分) 已知数列

{an } 的各项都是正数, 且满足 : a ? 1, a ? 1 a ? (4 ? a ), n ? N . 0 n ?1 n n 2
an ? an?1 ? 2, n ? N ;
(2)求数列

(1)证明

{an } 的通项公式 a . n

解: (1)方法一 用数学归纳法证明:

1° 当 n=1 时,

a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2



a0 ? a1 ? 2 ,命题正确.

5

2° 假设 n=k 时有

ak ?1 ? ak ? 2.



n ? k ? 1时, ak ? ak ?1 ?

1 1 ak ? 1(4 ? ak ? ) ak (4 ? ak ) 1? 2 2

1 1 ? 2(ak ?1 ? ak ) ? (ak ? 1? ak )(ak ? 1 ? ak ) ? (ak ? ? 1 ak )(4 ? ak ? ? 1 ak ). 2 2


ak ?1 ? ak ?0 ,
ak ?1 ?

4 ? ak?1 ? ak ?0 ,

? ak ?a ?1 k

? 0.



1 1 ak (4 ? ak ) ? [4 ? (ak ? 2) 2 ] ? 2. 2 2

∴n ? k ? 1 时命题也正确.

由 1° 、2° 知,对一切 n∈ N 时有 方法二:用数学归纳法证明:

an ? an?1 ? 2.

1° 当 n=1 时,

a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2 ∴0 ? a0 ? a1 ? 2 ; f ( x) ? 1 x(4 ? x) 2 , f ( x) 在[0,2]上单调递增,

a ? ak ? 2 成立, 令 2° 假设 n=k 时有 k ?1
所以由假设有:

f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2),

1 1 1 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2
也即当 n=k+1 时

ak ? ak ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2
a n ?1 ? 1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2

(2)下面来求数列的通项: 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

1 2 1 1 2 2 1 1 22 bn ? ? bn ( ? bn ?2 ) ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ?1 ? 令bn ? an ? 2, 则 2 2 2 2 2
1 n 1 n bn ? ?( ) 2 ?1 , 即an ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2 又 bn=-1,所以
an ? 2 ? ( ) {a } 2 本题也可先求出第(2)问,即数列 n 的通项公式 1
2n ?1

1 ? ?( )1?2? 2

? 2n ?1

2 bn

n

,然后利用函数

6

1 x f ( x ) ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 的单调性和有界性,来证明第(1)问的不等式.但若这样做,则无 形当中加大了第(1)问的难度, 显然不如用数学归纳法证明来得简捷. 例 3(06 年湖南卷. 理 .19 本小题满分 14 分)

0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1, 2,3, a ? s i n,x 已知函数 f ( x)? x 数列{ n }满足: 0 ? an?1 ? an ? 1;(ⅱ) 证明:(ⅰ )
证明: (I) .先用数学归纳法证明

.

1 an ?1 ? an 3 6 .

0 ? an ? 1 ,n=1,2,3,… 0 ? ak ? 1 .因为 0<x<1 时

(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii).假设当 n=k 时结论成立,即

f ' ( x)? 1? c o x s ? ,所以 0 f(x)在(0,1)上是增函数. 又 f(x)在[0,1]上连续,
从而

f(0) ?f a (k ? )f

(即 1 ) ,? a0 k ?1 ? ?

1 ?s i.故 n1 1 n=k+1 时,结论成立.

由(i)、(ii)可知, 又因为 所以

0 ? an ? 1 对一切正整数都成立.

0 ? an ? 1 时, an?1 ? an ? an ? s i n an ? an ? ? s i n an ? 0 ,

an?1 ? an ,综上所述 0 ? an?1 ? an ? 1 .

1 g ( x) ? sin x ? x ? x3 6 , 0 ? x ? 1 .由(I)知,当 0 ? x ? 1 时, sin x ? x , (II) .设函数

g ' ( x) ? cos x ? 1 ?
从而

x2 x x2 x x2 ? ?2sin 2 ? ? ?2( ) 2 ? ? 0. 2 2 2 2 2

所以 g (x)在(0,1)上是增函数. 又 g (x)在[0,1]上连续,且 g (0)=0,

1 g (an ) ? 0, 即sin an ? an ? an 3 ? 0 6 所以当 0 ? x ? 1 时,g (x)>0 成立.于是 . 1 an ?1 ? an 3 6 故 .
例 4 解(1) :因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常
x
?

7

数的图像上.所以得 Sn ? bn ? r ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列,所以 r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1 (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n
2n ? 1 2n 2n ? 1 ? n ? 1 成立. 2n

bn ? 1 2n ? 1 , ? bn 2n

所以

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6

下面用数学归纳法证明不等式

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立 , 即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6

2k ? 1 ? k ? 1 成立 . 2k ? 2k ? 1 2 k ? 3 ? 2k 2k ? 2

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)
所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】 : 本题主要考查了等比数列的定义 , 通项公式 , 以及已知 Sn 求 an 的基本题型 , 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 练习: 1、试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列, 当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,均有:an+cn>2bn. 分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,考查的知识包括等差数列、等比 数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a -c)>0 恒成立(a、b、c 为正数),从而 ak+1+ck+1>ak· c+ck· a. 2.证明:(1)设 a、b、c 为等比数列,a=

b q

,c=bq >0 且 q≠1)

8

bn n n n 1 n ∴a +c = n +b q =b ( n +q )>2bn q q
n n

a?c n an ? cn (2)设 a、b、c 为等差数列,则 2b=a+c 猜想 >( ) (n≥2 且 n∈N*) 2 2
下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时,由 2(a2+c2)>(a+c)2,∴

a2 ? c2 a?c 2 ?( ) 2 2

②设 n=k 时成立,即

ak ? ck a?c k ?( ) , 2 2

1 1 a k ?1 ? c k ?1 1 k+1 k+1 k+1 k+1 ? (a +c +a +c ) > (ak+1+ck+1+ak· 则当 n=k+1 时, c+ck· a)= 4 4 2 4
(ak+ck)(a+c)>(

a?c k a?c a ? c k+1 )· ( )=( ) 2 2 2

根据①、②可知不等式对 n>1,n∈N*都成立.

1 1 1 13 ? ??? ? n ? 1 n ? 2 2 n 24 . 3、若 n 为大于 1 的自然数,求证:
证明:(1)当 n=2 时,

1 1 7 13 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12 24 1 1 1 13 (2)假设当 n=k 时成立,即 ? ? ?? ? k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n ? k ? 1时, ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)( k ? 1) 24

1 1 1 13 ? ??? ? 2n 24 所以:对于 n∈N ,且 n>1 时,有 n ? 1 n ? 2
*

4、 (05 年辽宁卷.19 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x?3 ( x ? ?1) 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) , {bn } 满足 x ?1
9

bn ?| an ? 3 |, Sn ? b1 ? b2 ?
(Ⅰ )用数学归纳法证明 bn ?

? bn (n ? N * )
( 3? 1n) ; 2n ?1
(Ⅱ )证明 S n ?

2 3 . 3

分析:本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关 问题的能力

(Ⅰ )证明:当

x ? 0时, f ( x) ? 1 ?

2 ? 1. x ?1

因为 a1=1, 所以

a n ? 1(n ? N*).

( 3 ? 1) n bn ? . 2 n ?1 下面用数学归纳法证明不等式
(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立,

(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即

bk ?

( 3 ? 1) k . 2 k ?1
? 3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 2 2k

bk ?1 ?| ak ?1 ? 3 |?
那么

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 1 ? ak

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈ N*都成立。

(Ⅱ )证明:由(Ⅰ )知,

bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ??? 2 2 n?1

3 ?1 n ) 1 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (
n ? N ? , Sn ? 2 3. 3 )

故对任意

5、 (05 年湖北卷.理 22.本小题满分 14 分)

10

已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数, [log2 n] 表示不超过 2 3 n 2
nan?1 , n ? 2,3,4,? n ? an?1

log2 n 的最大整数. 设数列 {an } 的各项为正,且满足 a1 ? b(b ? 0), an ?
(Ⅰ)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[ l o 2g n]

(Ⅱ)猜测数列 {an } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; 分析:本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

n ? 2时,0 ? an ?
(Ⅰ )证法 1:当

nan?1 1 n ? an?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? an?1 an nan?1 an?1 n

1 1 1 ? ? , a a n?1 n 即 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a2 a1 2 a3 a2 3 an an?1 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . an a1 2 3 n

于是有

所有不等式两边相加可得

1 1 1 ? ? [log2 n]. a a1 2 由已知不等式知,当 n≥3 时有, n

a1 ? b,?


2 ? b[log2 n] 1 1 1 ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b
f ( n) ?

an ?

2b . 2 ? b[log2 n]

证法 2:设

1 1 1 ? ??? 2 3 n ,首先利用数学归纳法证不等式

an ?

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b

a3 ?
(i)当 n=3 时, 由

3a 2 3 3 b ? ? ? . 3 2 ? a 3 ? a2 1 ? f (3)b 1 ?1 3? ?1 a2 2a1
11

知不等式成立.

ak ?
(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即

b , 1 ? f (k )b

a k ?1 ?


(k ? 1)a k k ?1 k ?1 ? ? 1 ? f (k )b (k ? 1) ? a k (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? ?1 ak b
b 1 ? ( f (k ) ? 1 )b k ?1 ? b , 1 ? f (k ? 1)b

?

(k ? 1)b ? (k ? 1) ? (k ? 1) f (k )b ? b

即当 n=k+1 时,不等式也成立.

an ?
由(i) 、 (ii)知,

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b

an ?
又由已知不等式得 (Ⅱ )有极限,且 n ? ?

b 1 1 ? [log2 n]b 2

?

2b , n ? 3,4,5,?. 2 ? b[log2 n]

lim a n ? 0.

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5 (Ⅲ )∵
10 , 故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 则有 log2 n ? [log2 n] ? 10, ? n ? 2 ? 1024

1 an ? . 5

6、解 : ( 1 ) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x ? 2nx ? y ? 0 得
2 2

2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0,

2 2 2 2 则 ? ? (2k n ? 2n) ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴ k n ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

12

1 ? xn ? ( 2) 证 明 : ∵ 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 ? 2n ? 1 1 ? xn

f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x ,
令 f ' ( x) ? 0 ,得 cos x ? 则函数 f ( x) 在 (0, 又0 ?

? 2 ,给定区间 (0, ) ,则有 f ' ( x) ? 0 , 4 2

?

) 上单调递减, ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立, 4 4

?

1 1 ? 1 1 ,即 ? ? ,则有 ? 2s i n 2n ? 1 3 4 2n ? 1 2n ? 1

1 ? xn x ? 2 s i n n .7、已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. 1 ? xn yn
(1)求数列{bn}的通项公式 bn; (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, bn

试比较 Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3

?b1 ? 1 ?b ? 1 ? ?? 1 ? 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 (1)解:设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? ,∴ bn=3n-2

1 1 (2)证明:由 bn=3n-2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4 )+…+loga(1+ 3n ? 2 )
13

1 1 4 3 n ? 2 )] =loga[(1+1)(1+ )…(1+ 1 1 3 而 3 logabn+1=loga 3n ? 1 ,于是,比较 Sn 与 3 logabn+1 的大小 1 1 ? 比较(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3n ? 2 )与 3 3n ? 1 的大小.
3 3 3 取 n=1,有(1+1)= 8 ? 4 ? 3 ?1 ? 1

1 3 ) ? 8 ? 3 7 ? 3 3? 2 ?1 4 取 n=2,有(1+1)(1+ 1 1 3 * 推测:(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3n ? 2 )> 3n ? 1 ( )
① 当 n=1 时,已验证( )式成立.
*

1 1 3 ② 假设 n=k(k≥1)时( )式成立,即(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3k ? 2 )> 3k ? 1
*

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) ? 3k ? 2 3 3k ? 1 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1 3k ? 1

?(

3k ? 2 3 3k ? 1) 3 ? (3 3k ? 4 ) 3 3k ? 1 (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
3

?

3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1

1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 * 4 3k ? 2 3k ?1 ,即当 n=k+1 时,( )式成立
由① ② 知,( )式对任意正整数 n 都成立.
*

1 于是,当 a>1 时,Sn> 3 logabn+1

1 ,当 0<a<1 时,Sn< 3 logabn+1

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