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山东省济南外国语学校2012届高三5月份适应性训练(数学文)试题


绝密★启用前

济南外国语学校 2012 届高三 5 月适应性训练 文科数学试题
本试题卷共 5 页,共 22 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作

答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.如果复数 A.0
2 ? bi 1? i ( b ? R , i为 虚 数 单 位 ) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于(



B.1

C.2

D.3

2.已知集合 A ? { ? 1, 0, a }, B ? { x | 0 ? x ? 1}, 若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 A.{1} C.d(1,+ ? ) B. (— ? ,0) D. (0,1)
1 3

3.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为 是

,则该几何体的俯视图可以

4.函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?(其中 A ? 0 , ? ? 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象( A.向右平移
?
6

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x

)

个长度单位 个长度单位 个长度单位

B.向右平移 C.向左平移

?
3

?
6

D.向左平移

?
3

个长度单位

5.给出下面的类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a、b ? R,则 a 一 b =0 ? a =b”类比推出“a、b∈C,则 a 一 b=0 ? a=b” ②“若 a、b、c、d∈R,则复数 a+bi =c+di ? a=c,b=d"类比推出“若 a、b、c、d∈Q,则 “a +b 2 =c+d 2 ? a=c,b=d" ③“若 a、b ? R,则 a 一 b ? a >b"类比推出“a、b∈C,则 a 一 b>0 ? a>b” ④“若 x ? R,则|x| <1 ? 一 1<x <1”类比推出“Z∈C,则|z|<1 ? 一 1<z<l" 其中类比结论正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
? 6. 如图, D,C,B 三点在地面同一直线上, DC=a, C,D 两点测得 A 点的仰角分别是 ? , ( ? < ? ) 从 ,

则点 A 离地面的高度 AB 等于

7.一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 O 的等差数列{ a n },若 a3 =8,且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是 A.13 ,12 B.13 ,13 C.12 ,13
x 3

D.13 ,14.

8.已知函数 f ( x ) ? 2 ? x , g ( x ) ? x ? log 2 x , h ( x ) ? x ? x 零点依次为 a,b,c,则 A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a

9.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=l,BC= 2 ,则球 O 的 表面积等于 A.4 ? 10. 已知双曲线
x a
2 2

B.3 ?
? y b
2 2

C.2 ?

D. ?

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 被斜率为 1 的直线截得的弦的中点为 (4,1) ,则该双曲

线离心率的值为( A. 5

) B.
10 2

C.

6 2

D.

5 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 ....... 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.如图是 2012 年某高校自主招生面试环节中,7 位评委对某考生打出的分 数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 ____,方差为____. 12. 某单位为了了解用电量 y(度)与气温茗(℃)之间的关系,随机统 计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

? 由表中数据,得线性回归方程 y = -2x 十口.当气温为一 4℃时,预测用电量的度数约



。 .

13. 设有算法如图:如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是 开始

输入非零正整数 A,B 是 B=0? 否 C=A 除以 B 的余数 输出 A 结束

A=B

B=C

? 2 a x , x ? 1, ? 且 f ( 2 2 ) ? 1, 则 a= 14.设 f ( x ) ? ? 2 ? lo g a ( x ? 1), x ? 1 ?
f ( f ( 2 )) ?





15.如果数列 a 1 ,

a2 a1



a3 a2

,?,

an a n ?1

,?是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,

则 a 5 等于 16.在平面直角坐标系 xO y 中, O 为坐标原点,定义两点 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) 之间的“直角 距离”为 d ( P , Q ) ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 .已知 B (1, 0) ,点 M 为直线 x ? y ? 2 ? 0 上的动点,则
d ( B , M ) 的最小值为

.

17.定义: S 为 R 的真子集, ? x , y ? S ,若 x ? y ? S , x ? y ? S ,则称 S 对加减法封闭。 有以下四个命题,请判断真假: ①自然数集对加减法封闭;②有理数集对加减法封闭; ③若有理数集对加减法封闭,则无理数集也对加减法封闭; ④若 S 1 , S 2 为 R 的两个真子集,且对加减法封闭,则必存在 c ? R ,使得 c ? S 1 ? S 2 ; 四个命题中为“真”的是 ; (填写序号)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 11 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=-14. (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,E 是 AB 上一点.已知 PD= 2,CD=4,AD= 3. π (Ⅰ)若∠ADE=6,求证:CE⊥平面 PDE; 2 21 (Ⅱ)当点 A 到平面 PDE 的距离为 7 时,求三棱锥 A-PDE 的侧面积.

20. (本小题满分 13 分) 某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],?, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

(Ⅰ)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (Ⅱ)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视 力差的绝对值低于 0.5 的概率.

21. (本小题满分 14 分) 设 a∈R,函数 f(x)=lnx-ax. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)已知 x1= e(e 为自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值
3

并证明:x2>e 2 .

22. (本小题满分 14 分) x2 y2 2 已知椭圆 Γ:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为3,半焦距为 c(c>0) ,且 a-c=1.经过 椭圆的左焦点 F,斜率为 k1(k1≠0)的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的标准方程; (Ⅱ)当 k1=1 时,求 S△AOB 的值; (Ⅲ)设 R(1,0) ,延长 AR,BR 分别与椭圆交于 C,D 两点,直线 CD 的斜率为 k2,求 k1 证:k 为定值. 2

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分. 1—5:ADDAB 6-10:ABADA 二、填空题:每小题 5 分,满分 35 分. 11.85 ,1.6 12. 68 13. 15. 32 16.3 17.②④

3

14. 7,6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分. 18. (本小题满分 12 分) 11 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 cos(B+C)=-14,得 sin(B+C)= 1-cos2(B+C)= 11 5 3 1-(-14)2= 14 ,

∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB 11 1 5 3 3 1 =-14×2+ 14 × 2 =7.????????????????(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 sinC= 1-cos2C= 1 4 3 5 3 1-(7)2= 7 ,sinA=sin(B+C)= 14 .

a c 在△ A B C 中,由正弦定理sinA=sinC,得 5 5 3 14 = ,∴ c=8, 4 3 7 c

1 1 3 故△ABC 的面积为 S=2acsinB=2×5×8× 2 =10 3.???????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) π 解: (Ⅰ)在 Rt△DAE 中,AD= 3,∠ADE=6, 3 ∴AE=AD·tan∠ADE= 3· 3 =1. 又 AB=CD=4,∴BE=3. BC 3 π 在 Rt△EBC 中,BC=AD= 3,∴tan∠CEB=BE= 3 ,∴∠CEB=6. π π 又∠AED=3,∴∠DEC=2,即 CE⊥DE. ∵PD⊥底面 ABCD,CE ? 底面 ABCD, ∴PD⊥CE.

∴CE⊥平面 PDE.???????????????????????(6 分) (Ⅱ)∵PD⊥底面 ABCD,PD ? 平面 PDE, ∴平面 PDE⊥平面 ABCD. 如图,过 A 作 AF⊥DE 于 F,∴AF⊥平面 PDE, 2 21 ∴AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离,即 AF= 7 . 在 Rt△DAE 中,由 AD·AE=AF·DE,得 2 21 3AE= 7 · 3+AE 2,解得 AE=2. 1 1 6 ∴S△APD=2PD·AD=2× 2× 3= 2 , 1 1 S△ADE=2AD·AE=2× 3×2= 3, ∵BA⊥AD,BA⊥PD,∴BA⊥平面 PAD, ∵PA ? 平面 PAD,∴BA⊥PA. 在 Rt△PAE 中,AE=2,PA= PD 2+AD 2= 2+3= 5, 1 1 ∴S△APE=2PA·AE=2× 5×2= 5. 6 ∴三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧= 2 + 3+ 5.??????????(12 分) 20. (本小题满分 13 分) 2 解: (Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n,由n=0.04,得 n=50. 25 y 14 ∴x=50=0.5,y=50-3-6-25-2=14,z=n=50=0.28.?????(6 分) (Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a,b,c,在(5.1,5.4]的 2 人为 d,e. 由题意,从 5 人中随机抽取两人,所有可能的结果有:{a,b},{a,c},{a,d}, {a,e },{b,c},{b,d},{b,e },{c,d},{c,e },{d,e },共 10 种. 设事件 A 表示“两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的可能的结果 有:{a,b},{a,c},{b,c},{d,e },共 4 种. 4 2 ∴P(A)=10=5. 2 故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为5.??????????(13 分) 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . 1-ax 1 求导数,得 f ′(x)=x -a= x . ①若 a≤0,则 f ′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值; 1 ②若 a>0,令 f ′(x)=0,得 x=a. 1 当 x∈(0,a)时,f ′(x)>0,f(x)是增函数;

1 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)是减函数. 1 1 1 ∴当 x=a时,f(x)有极大值,极大值为 f(a)=lna-1=-lna-1. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的递增区间为(0,+∞) ,无极值;当 a>0 时,f(x) 1 1 的递增区间为(0,a) ,递减区间为(a,+∞) ,极大值为-lna-1.?(8 分) (Ⅱ)∵x1= e是函数 f(x)的零点, 1 1 e ∴f ( e)=0,即2-a e=0,解得 a= = 2e . 2 e 1 ∴f(x)=lnx- x. 2 e 3 e 5 e2 ∵f(e )=2-2>0,f(e 2 )=2- 2 <0,∴f(e 2 )f(e 2 )<0.
3 2 5 3 5

由(Ⅰ)知,函数 f(x)在(2 e,+∞)上单调递减,
3 5

∴函数 f(x)在区间(e 2 ,e 2 )上有唯一零点,
3

因此 x2>e 2 .????????????????????????(14 分) 22. (本小题满分 14 分)

? c =2, ? ? ?a=3, 解: (Ⅰ)由题意,得?a 3 解得? ?c=2。 ? ?a-c=1。 ?
∴b2=a2-c2=5, x2 y2 故椭圆 Γ 的方程为 9 + 5 =1.??????????????????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 F(-2,0) ,∴直线 AB 的方程为 y=x+2,

?y=x+2, ? 由?x2 y2 消去 y 并整理,得 14x2+36x-9=0. ? + =1. ?9 5
18 9 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=- 7 ,x1x2=-14, 30 ∴|AB|= 2| x1-x2|= 2· (x1+x2)2-4x1x2= 7 . |0-0+2| 设 O 点到直线 AB 的距离为 d,则 d= = 2. 2 1 1 30 15 2 ∴S△AOB=2|AB|·d=2× 7 × 2= 7 .?????????????(8 分) (Ⅲ)设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 由已知,直线 AR 的方程为 y= x1-1 y1 (x-1),即 x= y y+1. x1-1 1

-1 ?x=x y y+1, 由? x y ? 9 + 5 =1.
1 1 2 2

5-x1 x1-1 消去 x 并整理,得 y2 y 2+ y y-4=0. 1 1

则 y1y3=-

4y2 4y1 1 ,∵y1≠0,∴y3= , 5-x1 x1-5

x1-1 x1-1 4y1 5x1-9 ∴x3= y y3+1= y · +1= . x1-5 x1-5 1 1 5x1-9 4y1 5x2-9 4y2 ∴C( , ) .同理 D( , ) . x1-5 x1-5 x2-5 x2-5 4y1 4y2 - x1-5 x2-5 4y1(x2-5)-4y2(x1-5) ∴k2= = 5x1-9 5x2-9 (5x1-9) (x2-5)-(5x2-9) (x1-5) - x1-5 x2-5 4y1(x2-5)-4y2(x1-5) = . 16(x2-x1) ∵y1=k1(x1+2),y2=k1(x2+2), 4k1(x1+2)(x2-5)-4k1(x2+2)(x1-5) 7k1(x2-x1) 7k1 ∴k2= = =4, 16(x2-x1) 4(x2-x1) k1 4 ∴k =7为定值.???????????????????????(14 分)
2


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