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2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟5


2015 年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟 5
一、填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1.若正实数 a , b 满足 log8 a ? log 4 b ? 5 和 log8 b ? log4 a2 ? 7 ,则 log4 a ? log8 b 的值是 2.圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 2,表面积为 24,则 .

1 1 ? 的值是

r h

3.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,并且对任意正整数 n 成立 Sn?2 ? 4Sn ? 3 ,则 a2 的值是 4.若关于 x 的不等式

4x 1 ? ? 4 在区间[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围是 a x

5.直线 l 在平面 ? 上.直线 m 平行于平面 ? ,并与直线 l 异面.动点 P 在平面 ? 上,且到 l 和 ? 的 距离相等.则 P 点的轨迹是 6.设 x ? sin ? ? sin(? ?
2

2? ? 67? ) sin(? ? ) ,当 ? ? 时, x 的小数点后第一位数字是 3 3 2014

. .

7.数列{ an }满足 an?1 ? an ? an?1 , n ? 2 .若 a7 ? 8 ,则 a1 ? a2 ? 8.若 a ? 1 ? i, b ? 2 ? i, c ? 3 ? i, x ?
x y z

? a10 等于


1 (?1 ? 3i ) ,则 | a ? bx ? cx2 | 的值是 2

9.将集合 {2 ? 2 ? 2 | x, y, z ? N , x ? y ? z} 中的数从小到大排列,第 100 个是 字作答) . 10.函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ?

. (用数

? x ? 3, x ? 1000; 则 f (84) 的值是 ? f ( f ( x ? 5)), x ? 1000.



二.解答题(每小题 20 分,共 100 分. ) 11.设 A,B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1上两个动点,O 是坐标原点,且 OA ? OB ? 0 .又设 P 点在 AB 上, 2

且 OP ? AB .求 | OP | 的值.

]

1

12.在四面体 ABCD 内部有一点 O,满足 OA=OB=OC=4, OD=l,求四面体 ABCD 体积的最大值.

13、

14.(20 分)设

3 ? x ? 5 ,求证: 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 14 x ? 2 19 ? 2 70 2

15 . 设 函 数 f ( x) ? 1 ? e

?x

. ( l ) 证 明 : 当 x ? 0 时 , f ( x) ?

x ; (2) 数 列 { an } 满 足 x ?1

a1 ? 1, ane?an ?1 ? f (an ) ,证明:数列{ an }递减且 an ?

1 . 2n

2

2015 年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟 5
一、填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1 、4 6 、7 2、6 7、88. 3、2 或 6 8、 3 4、 0 ? a ? 9、577

参考答案

4 3

5、双曲线. 10、997

二.解答题(每小题 20 分,共 100 分. ) 11.设 A,B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1上两个动点,O 是坐标原点,且 OA ? OB ? 0 .又设 P 点在 AB 上, 2

且 OP ? AB .求 | OP | 的值. 解 : 方 法 一 : 由 O A? O B ? 0 , 不 妨 设 A(a, ka), B(?kb, b) . 这 样 | O A |2 ? (1 ? k2 )a2,

| OB |2 ? (1 ? k 2 )b2 .
由 A, B 在椭圆上,有
2 2

a2 k 2b 2 ? k 2 a 2 ? 1, ? b2 ? 1. 2 2
2 2

因此 a ? 1/(k ? 1/ 2), b ? 1/(1 ? k / 2) . … … (l0 分) 现在,在 Rt△OAB 中, | OP | ?| OA | | OA | / | AB | ,所以
2 2 2 2

6 (1 ? k 2 )a 2b2 1? k 2 2 .… … (20 分) | OP | ? ? ? .因此 | OP |? 2 2 2 2 3 a ?b (1 ? k / 2) ? (k ? 1/ 2) 3
2

方法二:不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 ? , OB 与 x 轴正向的夹角为 ? ? 设 A(a cos ? , b sin ? ), B(?b sin ? , b cos ? ) .代入椭圆方程可得

?
2

.这样,可进一步

1 1 a 2 ( cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 1, b 2 ( sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 1 . 2 2
由此可见

1 1 1 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? 1 ? ? . ,也即 a 2 b2 2 2 a 2b 2 2

| | OA ? | | OB | 因 此 | OP |2 ? a2 b2 / ( a2? b2 )? 2 / . 在 Rt △ OAB 中 , | OP |? | A B ? , 3 这样

| OP |?

6 .… … (20 分) 3
3

12.在四面体 ABCD 内部有一点 O,满足 OA=OB=OC=4, OD=l,求四面体 ABCD 体积的最大 值. 解:首先,固定 A,B,C, D 四点时,要使 ABCD 的体积最大,则 D 点到平面 ABC 的距离应最 大.但 D 点在以 O 为球心,1 为半径的球面上运动,故取最大值时,OD⊥平面 ABC. …… (5 分) 设 O 在平面 ABC 的投影点为 E,且|OE|=x.那么, D 到 ABC 的距离为 1 + x.而 EA= EB=EC= 16 ? x2 ,可知△ABC 的面积 ?

3 3 (注:这里用到,若 A , B , C 是半径为 R (16 ? x 2 ) . 4

的圆上三点,则△ABC 的面积 ?

3 3 2 )……… (l 0 分) R . 4

因此, ABCD 的体积 ?

3 3 ,易知 (16 ? x 2 )(1 ? x) .考虑函数 f ( x) ? (16? x2 )(1? x ),x ? (0, 4) 4

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2x ? 16 , 可见 f ( x) 在(0, 3)上有唯一的临界点 x ? 2 , f ( x) 在(0, 3)的最大值
为 f (2) =36. 从而所求最大值为 9 3 . ( 20 分) 13、

4

14.(20 分)设

3 ? x ? 5 ,求证: 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 14 x ? 2 19 ? 2 70 2

14、证明:依柯西不等式得

2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 2x ? 2 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 ?1 ?1 ? x ?14
等号成立的充要条件是 而上面的方程无实数解 ∴ 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 2x ? 2 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 x ? 14 ∴ 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 14x ? 2 x ? 14 ? 2 14x ∵

2x ? 2 2x ? 3 15 ? 3x , ? ? 2 1 1

3 ? x ? 5 ,∴ 2 x ? 14 ? 2 14 x ? 2 19 ? 2 70 2

所以 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 14 x ? 2 19 ? 2 70

15 . 设 函 数 f ( x) ? 1 ? e

?x

. ( l ) 证 明 : 当 x ? 0 时 , f ( x) ?

x ; (2) 数 列 { an } 满 足 x ?1

a1 ? 1, ane?an ?1 ? f (an ) ,证明:数列{ an }递减且 an ?
解 : (1) 待 证 式 等 价 于 e
?x

1 . 2n

?

1 ( ? 1. ) 令 h( x)? x? l n (x? 1 )则 , 即 ?x ? ? l n x , x ?1

h' ( x )? 1 ?

1 ,可见, h( x) 在 [0, ??) 上单调增,因此当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 . x ?1

…… (5 分)
5

(2)记 g ( x) ? ? ln

1 ? e? x , 则 an?1 ? g (an ) . 要证明 { an } 递减, 只需证明当 x ? 0 时,g ( x) ? x . x

事实上, g ( x) ? x 等价于 ln

1 ? e? x ? ? x ,也即 1 ? e? x ? xe? x ,注意 f ( x) ? 1 ? e? x ,可见上式 x

也等价于 f ( x) ? x(1 ? f ( x)) ,即 f ( x) ? x /( x ? 1) ,这由(l)即证. … … (10 分) 要 证 明 an ?

1 x 1 ? e? x x ? 0 g ( x ) ? ? e? x / 2 . 也 即 , 只 需 证 明 当 时 , . 这 等 价 于 n 2 2 x

e x / 2 ? e? x / 2 ? x .为证此式,令 F ( x) ? ex / 2 ? e? x / 2 ? x ,则 F ' ( x ) ?
号成立当且仅当 e
x/2

1 x / 2 ?x / 2 (e ? e ) ? 1? 0 ,且等 2

? e? x / 2 ,即 x ? 0 .因此 F ( x) 在 [0, ??) 上单调增, F ( x) ? F (0) ? 0 .于是

e x / 2 ? e? x / 2 ? x 得证. … …. ( 20 分)

6


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