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直线与方程答案OK


直线与方程——答案
直线与方程 小结与复习(教案)
【学习探究】
【知识归类】 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量, 他们的关系是 k ? tan ? ( ? ? 900 ) . (2)直线倾斜角的范围是 [0 0 ,900 ] . (3)直线过 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )(x1 ? x2 ) 两点的斜率公式为 1 :k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1

2.两直线垂直与平行的判定 (1)对于不重合的两条直线 l1 ,l 2 ,其斜率分别为 k1 , k 2 , ,则有:

l1 // l 2 ?

k1 ? k 2 ; l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1 .

(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时,这两条直线 平行 ;当一条直线斜 率为 0,另一条直线斜率不存在时,两条直线 垂直 . 3.直线方程的几种形式 名 方程形式 适用条件 称 点 不表示过点 P( x0 , y0 ) 且垂 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 斜式 直于 x 轴的直线 斜 截式 两 点式 截 距式 一 般式

y ? k ( x ? x0 ) ? y0
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b
Ax ? By ? c ? 0 ( A 2 ? B 2 ? 0)

不表示过点 P( x0 , y0 ) 且垂 直于 x 轴 不表示 直线 不表示 过原点和垂直于 x 轴 的直线 表示平面内任意的一条直 线,可以与其它形式相互转化 的直线 垂直于 x 轴 的

求直线方程时,要灵活选用多种形式. 4.几个距离公式 (1)两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 之间的距离公式是: 1

| P P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 1
(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? c ? 0 的距离公式是: d ? (3)两条平行线 l : Ax ? By ? c1 ? 0, l : Ax ? By ? c2 ? 0 间的

| Ax0 ? By0 ? c | A2 ? B 2

.

1

距离公式是: d ?

| c1 ? c2 | A ?B
2 2

.

【题型归类】 题型一:直线的倾斜与斜率问题 例 1 已知坐标平面内三点 A(?1,1), B(1,1), C(2, 3 ? 1) . (1)求直线 AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角. (2)若 D 为 ?ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率为 k 的变化范围. 【审题要津】由题目可获取以下主要信息: (1) A 、 B 、 C 三点的坐标已知. (2)直线 CD 经过线段 AB 上的某个动点.(3)求斜率及变化范围. 解答本题可借助图形, (1) 第 问利用斜率公式求斜率, 由斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 第 (2)问可借助图形直观观察得直线 CD 斜率 k 的取值范围. 解: (1)由斜率公式得

k AB ? k AC ?

1 ?1 3 ?1?1 ? 0, k BC ? ? 3. 1 ? (?1) 2 ?1 3 ?1?1 3 .在区间 00 ,1800 范围内. ? 2 ? (?1) 3

?

?

? tan00 ? 0,? AB 的倾斜角为 0 0 .

y
3

C

tan600 ? 3,? BC 的倾斜角为 600 .
A D B

tan300 ?

3 ,? AC 的倾斜角为 300 . 3

-1

O 1

2

x

如图,当斜率 k 变化时,直线 CD 绕 C 点旋转,当直线 CD 由 CA 逆时针转到 CB 时,直线 CD 与 AB 恒有交点,即 D 在线段 AB 上,此时 k 由 k CA 增大到 k CB ,所以 k 的取值范围为 ?

? 3 ? , 3? . ? 3 ?

【规律总结】数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点 由与 x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行(或垂直)时,斜率由零逐渐 增大到 ? ? (即斜率不存在) ;按顺时针方向旋转到与 y 轴平行(或垂直)时,斜率由零逐 渐减少到 ? ? (即斜率不存在).这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系,也可以定量 求解斜率和倾斜角的取值范围. 题型二:直线的平行与垂直问题 例 2 已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求直线 l ? 的方程, l ? 满足 (1)过点 (?1,3) ,且与 l 平行;

2

(2)过 (?1,3) ,且与 l 垂直.

【审题要津】解答本题可先求出 l 的斜率,然后又平行(垂直)的条件得所求直线的斜 率,再由点斜式写方程;也可由两直线平行(垂直)的方程特征,设出方程,再由待定系数 法求解. 解:由题设 l 的方程可化为 y ? ?

3 3 x ? 3, ? l 的斜率为 ? . 4 4 3 (1)由 l ? 与 l 平行,? l ? 的斜率为 ? . 4
又? l ? 过 (?1,3) ,由点斜式知方程为

3 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 . 4 4 ( 2 ) 由 l ? 与 l 垂 直 , ? l ? 的 斜 率 为 , 又 过 (?1,3) , 由 点 斜 式 可 得 方 程 为 3 4 y ? 3 ? ( x ? 1) ,即 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 . 3
【规律总结】与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? C1 ? 0 ,再由 其 他 条 件 列 方 程 求 出 C1 ; 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 垂 直 的 直 线 方 程 可 设 为

Bx ? Ay ? C2 ? 0 ,再由其他条件求出 C 2 .
题型三:直线的交点、距离问题 例 3 已知直线 l 经过点 A ( 2,4) ,且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得的线段的中点 M 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程. 【审题要津】已知直线 l 过点 A (2,4), 要求直线 l 的方程,只需求另外一点或直线 l 的斜 率即可. 解:? 点 M 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,? 设点 M 的坐标为 (t ,3 ? t ) .又点 M 到 l1 ,l 2 的距 离相等,即 解得 t ?

t ? (3 ? t ) ? 1 2

?

t ? (3 ? t ) ? 1 2



3 3 3 .? M ( , ) . 2 2 2

又 l 经过点 A ( 2,4) ,

3

3 3 x? 2 ? 2 , 即 5x ? y ? 6 ? 0 . 由两点式得 3 3 4? 2? 2 2 y?
【规律总结】解此类题目常用的方法是待定系数法,然后由题意列出方程求参数;也可 综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,判断直线的特征,然后由已知条件 写出直线的方程. 题型四:直线方程的应用 例 4 已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 . (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围. 【审题要津】解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程,然后指明直线恒过第一象限 内的某点可证得第一问;第二问可先画出草图,借助图形,然后用“数形结合”法求得. 解:将直线 l 的方程整理为 y ?

3 1 ? a( x ? ) , 5 5 1 3 1 3 ? l 的斜率为 ? ,且过定点 A( , ) ,而点 A( , ) 在第一象限,故不论 a 为何值, 5 5 5 5 l 恒过第一象限. 3 ?0 (2)直线 OA 的斜率为 k ? 5 ? 3. 1 ?0 5
要使 l 不经过第二象限,需它在 y 轴上的截距不大于零,即令 x ? 0 时,

y??

a?3 ? 0,? a ? 3 . 5

【规律总结】含有一个参数的直线方程,一般是过定点的,这里对一般式灵活变形后发 现问题是解决问题的关键,在变形后特点还不明显的情况,可研究直线过定点. 【思想方法】 1.数学思想: 本章用到的数学思想方法主要有数形结合的思想、 分类讨论的思想、 函数与方程的思想、 转化与化归的思想. 2.数学方法: 本章涉及到许多数学方法,例如:求直线方程时用到待定系数法,求最值问题时用到配 方法、换元法等.

【自我检测】
1.若直线过点 (1,2), (4,2 ? 3), 则此直线的倾斜角是(A (A) 30
0

).

(B) 45 (C) 60

0

0

(D) 90

0

2.过点 E (1,1) 和 F (?1,0) 的直线与过点 M ( ?

k k ,0) 和点 N (0, ) 直线的位置关系是 2 4

4

(C ). (A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合 3. 过点 (?1,3) 且垂直与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(C (A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 5 ? 0 (C) x ? 2 y ? 5 ? 0

). (D) x ? 2 y ? 7 ? 0

4.已知点 A(1,2), B(3,1), 则到 A, B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( B ). (A) 4 x ? 2 y ? 5 (B) 4 x ? 2 y ? 5 (C) x ? 2 y ? 5 (D) x ? 2 y ? 5 5.直线 l1 : ax ? y ? b ? 0, l 2 : bx ? y ? a ? 0(a ? 0, b ? 0, a ? b) 在同一直角坐标系中 的图形大致是( C ).
l1
y

l2
O
A
2

y

y l 1
l2

y
l2

l1

l2
O
D

x

O
B

x l1

O
C

x

x

6.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是(A ).

4 7 8 (B) (C) (D) 3 3 5 5 7.直线 l 被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是原点 O ,则 直线 l 的方程为 x ? 6 y ? 0 .
(A) 8. ( 08 浙 江 ) 已 知 a ? 0, 若 平 面 内 三 点 A(1,?a), B(2, a 2 ), C(3, a 3 ) 共 线 , 则 a =

1? 2 .
9.(09 湖北)过点 A(1,4), 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有(C ).

(A)1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 10.如图所示, ?ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,?BAC 的 在 平分线所在直线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标. 解:由 ?
y ?x ? 2 y ? 1 ? 0 B(1,2) 得顶点 A(?1,0) . ?y ? 0 D 2?0 ? AB 的斜率为 k AB ? ? 1. 1 ? (?1) A O x 轴是 ?BAC 的平分线,故 AC 的斜率为 ? 1 , ?x ? AC 所在直线的方程为 y ? ?( x ? 1) . ? BC 上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , C ? BC 的斜率为 ? 2, BC 所在直线的方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) . ? 顶点 C 的坐标为(5,-6).

11. ( 09 新 疆 ) 已 知 直 线 l 过 点 P(1,1) , 且 被 平 行 直 线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 与

3x ? 4 y ? 7 ? 0 截得的线段长为 4 2 ,求直线 l 的方程.

5

解 : 设 l 的 方 程 为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 与 3x ? 4 y ? 13 ? 0 联 立 得 交 点 坐 标 为

4k ? 17 ? 10 k ? 3 , ) , l 的 方 程 与 3x ? 4 y ? 7 ? 0 联 立 得 交 点 坐 标 为 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 10 k ? 3 B( , ). 4k ? 3 4k ? 3 1 由 | AB |? 4 2 ,得 k ? 7 或 k ? ? . 7 A(

? 所求直线 l 的方程为 7 x ? y ? 6 ? 0 或 x ? 7 y ? 8 ? 0 .
12 * .已知实数 x 、y 满足 y ? x 2 ? 2x ? 2(?1 ? x ? 1) , 试求
解:

y?3 的几何意义表示动点 ( x, y ) 与定点 (?2,?3) 的连线的斜率,由已知得动点在 x?2

y?3 的最大值和最小值. x?2

抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 2 上,在 A(1,1), B(?1,5) 两点之间运动,故 k PA ? k ? k PB ,

?

4 y?3 4 ? k ? 8 ,? 的最大值为 8 ,最小值为 . 3 x?2 3

17.解:由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 2 ,解得 ? ,交点为 ( 2,2) , ? x? y ?0 ?y ? 2
2 ? 2k k 2 ?1 ? 2 10 , 5

当斜率存在时,设所求直线方程为 y ? k ( x ? 2) ? 2 ,原点到其距离 d ? 解得 k ?

1 或 k ? 3; 3
1 ( x ? 2) ? 2 和 y ? 3( x ? 2) ? 2 ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3

当斜率不存在时,直线方程为 x ? 2 ,原点到其距离 d ? 2 ,不合题意; 故满足条件的直线的方程为 y ?

3x ? y ? 4 ? 0 .
18.解:设入射光线与 x 轴的交点为 A(x,0) ,则反射光线也经过 A 点, 由题意,可知 k AP ? ?k AQ ,即

3?0 1? 0 1 ?1 ? ?? ,解得 x ? ,即 A? ,0 ? , ?2? x 1? x 4 ?4 ?

1 y?0 4 ,即 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 由两点式,可知入射光线所在直线 AP 的方程为 ? 1 3?0 ?2? 4 x?
同理,反射光线所在直线 AQ 的方程为 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 19.解: (1)设点 C 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得

x?3 y?5 ? 0, ? 0 ,解得 x ? ?3, y ? ?5 , 2 2

6

故 C 的坐标为 (?3,?5) ; (2)由中点坐标公式可知, D 点的坐标为 (0,1) ,∴ BD ?

(?2 ? 0) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 2 5 ,

k BD ?

5 ?1 ? ?2 . ?2?0

20.解:由 4 x ? 2 y ? b ? 0 ,即 2 x ? y ? 行,所以 a ? 2 .

b ? 0 , 因为两直线关于点对称,说明两直线平 2

在 2 x ? y ? 1 ? 0 上取点 (0,?1) ,这点关于 (2,?1) 的对称点为 (4,?1) , 又因为 (4,?1) 满足 2 x ? y ?

b ? 0 , 得 b ? ?14 , 所以 a ? 2 , b ? ?14 . 2
2 2

2 2 ? 1 ? ?1 ? ?1 ? 2 21.解:设点 P? x, x ? ,则 PA ? PB ? ?x ? 1? ? ? x ? 1? ? ( x ? 2) 2 ? ? x ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? ?2 ?

5 2 x ? 9 x ? 10 ? 2 9 2 当 x ? 时, PA 5 ?

?

5? 9 ? 19 ?x ? ? ? , 2? 5 ? 10 19 2 ?9 9 ? ? PB min ? ,此时 P? , ? . 10 ? 5 10 ?

2

?

22. 解: 由题意得, A( 3,0) ,B(0,1) , AB ? 2 , ∴ ∵△ ABC 是等边△,∴ C 到直线 AB 的距离为 3 , 又∵ △ ABP 和△ ABC 的面积相等, ∴ 点 P 定 在过 C 与 直线 AB 平 行的 直线 上, 设为

y??

3 x?t, 3

则有

t ?1 1 ?1 3
1 2

? 3 ,解得 t ? 3 或 t ? ?1 (舍),所以点 P 定在直线 y ? ?

3 x ? 3 上, 3

把 P (m, ) 代入,

1 3 5 3 ?? m ? 3 ,解得 m ? 2 3 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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