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梅涅劳斯定理及例题拓展


梅涅劳斯定理及例题拓展
梅涅劳斯介绍:在证明点共线时,有一个非常重要的定理,它就是梅涅劳 斯定理,梅涅劳斯(Menelaus)是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家,著有 几何学和三角学方面的许多书籍。下面的定理就是他首先发现的。这个定理在几 何学上有很重要的应用价值。 定理:设 D、E、F 依次是三角形 ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线上的点, 且这三点共线,则满足

AD BE CF ? ? ?1 DB EC FA

证明: (此定理需要分四种情况讨论,但有两种可以排除) 先来说明两种不可能的情况 情况一:当三点均在三角形边上时,由基本事实可知三点不可能共线(只能 组成内接三角形的三角形。 情况二: 当一点在三角形一边上, 另两点分别在三角形另两边的延长线上时, 如图是三角形 ABC 直线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,平移直线 DE 即可发现不能可两点同时在延长线上 情况三: 当两点分别在三角形两边上, 另一点在三角形另一边的延长线上时, 如图是三角形 ABC 直线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E, ∵D、E、F 三点共线 ∴可过 C 作 CM∥DE 交 AB 于 M,于是

BE BD AD AF ? , ? , EC DM DM FC BE AD BD AF ? ? ? ? EC DM DM FC
所以

AD BE CF ? ? ?1 DB EC FA

情况四:三点分别在三角形三边的延长线上时,如图是三角形 ABC 直线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E, 同情况三∵D、E、F 三点共线 ∴可过 C 作 CM∥DE 交 AB 于 M,于是

BE BD AD AF ? , ? , EC DM DM FC BE AD BD AF ? ? ? ? EC DM DM FC
所以

AD BE CF ? ? ?1 DB EC FA

∴设 D、E、F 依次是三角形 ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线上的点,且 这三点共线,则满足

AD BE CF ? ? ?1 DB EC FA

拓展 (1 题) 在任意三角形 PQR 中, A2,A4 分别是 PR,PQ 延长线上的点, 做射线 A4A2,A6 是射线 A4A2 上的一点,做射线 A6Q,A1 是射线 A6Q 上的一点,连结 A1A2 交射线 PR 于 X,作射线 A4A3 交射线 PQ 于点 A3,交射线 A1A6 于点 Y,连结 A1A3 交射线 PR 于点 A5,连结 A6A5 交射线 PQ 于点 Z,求证 X,Y,Z 三点共线 (该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证:它的三对对边(所在直 线)的交点共线)这个定理为帕波斯定理

(2 题)给定△ABC 内两点 O,O',连结 AO,AO'交 BC 于点 X,X',BO,BO'交 AC 于 Y,Y',CO,CO'交 AB 于 Z,Z'.设 YZ'与 Y'Z 交于点 P,ZX'与 Z'X 交于点 Q,XY'与 X'Y 交于点 R.求证 O,O',P,Q,R 五点共线

(3 题)在任意三角形 ABC 中,E 是直线 AC 上的一点,D 是直线 BC 上的一点,F 是直线 DE 上一点,G 是直线 AC 上一点,作直线 BG 交直线 DF 于点 Q,作直线 CF 交直线 AB 于点 P,作直线 GF 交直线 AB 于点 H 作直线 DH 交直线 AC 于点 R,求证 P,Q,R 三点共线

(4 题)一直线截△ABC 三边 BC,CA,AB 或延长线 X,Y,Z。证明:这三点的等截点 X',Y',Z'共线。 (在三角形任意一边所在直线上,设有两点与此边的中点等距,则称这两个点互 为等截点)

(5 题)将一点与正三角形的顶点连线, (1)若依次连结三联结线中点求证是个正三角形 (2)三联结线的中垂线分别与对边(所在直线)的交点共线


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