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初高中数学公式大全


初中几何定理,推理及公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10

内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相 等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对 称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这 条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三 角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)?180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形

64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a?b)÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一 组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它

的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L?h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比 , 例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那 么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边, 并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线 L 和圆 O 相交 (直线到圆心的距离)d<r (圆半径) ②直线 L 和圆 O 相切 d=r ③直线 L 和圆 O 相离 d>r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r) ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含 d<R-r(R>r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)?180°/n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此 k?(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=n 兀 R/180 145 扇形面积公式:S 扇形=n 兀 R^2/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 几何公式: 1、多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(n-2)180o(n≥3,n 是正整数) ,外角和 等于 360o 2、平行线分线段成比例定理: (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 如图:a∥b∥c,直线 l1 与 l2 分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F,则有: (图 1) (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应 线段成比例。 如图:△ABC 中,DE∥BC,DE 与 AB、AC 相交与点 D、E,则有: (图 2) (图 3) *3、直角三角形中的射影定理:如图:Rt△ABC 中,∠ACB=90o,CD⊥AB 于 D, 则有: (图 4) (图 5)

4、圆的有关性质:

(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的-任意两个性质: ①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;-⑤平分弦所对的优弧,那么这条 直线就具有另外三个性质.注:具备①,③时,弦不能是直径. (2)两条平行弦所夹的弧相等. (3)圆心角的度-数等于它所对的弧的度数. (4)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (5)圆周-角等于它所对的弧的度数的一半. (6)同弧或等-弧所对的圆周角相等. (7)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. (8)90o 的圆周角-所对的弦是直径,反之,直径所对的圆周角是 90o,直径是最长的弦. (9)圆内接四边形的对角互补. 5、三角形的内心与外心:三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三 内角角平分线 的交点.三-角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边 中垂线的交点. 常见结论: (1)Rt△ABC 的三条边分别为:a、b、c(c 为斜边) ,则它的内切圆的半径- (图 6) ; (2)△ABC 的周长为(图 7-0) ,面积为 S,其内切圆的半径为 r,则(图 7) ;

*6、弦切角定理及其推论: (1)弦切角:顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图:∠ PAC 为弦切角。 (2)弦切角定理:弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则(图 8) 推论:弦切角等于所夹弧所对的圆周角(作用证明角相等)

如果 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则(图 9) (图 10)

*7、相交弦定理、割线定理、切割线定理: 相交弦定理:圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①,即:PA?PB = PC?PD 割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②,即:PA?PB = PC?PD 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。如图③,即:PC2 = PA?PB (图 11) 8、面积公式: ①S 正△=-(图 12)-?(边长)2. - ②S 平行四边形=底?高. ③S 菱形=底?高=-(图 13)-?(对角线的积), (图 14)④S 圆=π R2. ⑤l 圆周长=2π R. ⑥弧长 L=-(图 15)-. - ⑦(图 16) ⑧S 圆柱侧=底面周长?高=2π rh,S 全面积=S 侧+S 底=2π rh+2π r2 ⑨S 圆锥侧=- -?底面周长?母线=π rb, S 全面积=S 侧+S 底=π rb+π r2 数学公式 1、 整数(包括: 正整数、 负整数)和分数(包括: 0、 有限小数和无限环循小数)都是有理数. 如: -3,- (图 17)-,0.231,0.737373…,-(图 18)-,-(图 19)-.-无限不环循小数叫 做无理数.-如:π ,-(图 20)-,0.1010010001…(两个 1 之间依次多 1 个 0).有理数和 无理数统称为实数.

2、-绝对值:a≥0-(图 21)-丨 a 丨=a;-a≤0(图 21)--丨 a 丨=-a.如:丨--(图 22)-丨=-(图 22)-;丨 3.14-π 丨=π -3.14. 3、一个近似数,从左边笫一个不是 0 的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这 个-近似数的有效数字.如:0.05972 精确到 0.001 得 0.060,结果有两个有效数字 6,0. 4、把一个数写成±a?10n-的形式(其中 1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫做科学记数 法.如:-40700=-4.07?105,0.000043=-4.3?10-5. 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab +b2. ③-(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. ④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; a2+b2=(a+b)2 -2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab. 6、 幂的运算性质: ①-am?an=am+n. ②am÷an=am-n. ③(am)n=amn. ④(ab)n=anbn. ⑤ ((图 23)-)n=-n-. ⑥a-n=(图 24) ,特别:(-(图 23)-)-n=(-(图 25)-)n.-⑦-a0=1(a≠0).如:a3 ?a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3-)3=27a9,(-3)-1=--(图 26)-,5-2=(图 27)-=-(图 28)-,-((图 29)-)-2=(-(图 30)-)2=-(图 31)-,(-3.14)o= 1,-(--(图 22)-(图 18)-)0=1. 7、二次根式:①-(-(图 32)-)2=a-(a≥0),②-(图 34)-=丨 a 丨,③-(图 35-0)-= -(图 32)-?-(图 33)-,④-(图 35)-=-(图 36)-(a>0,b≥0)-.如:①-(3-(图 20)-)2=45.②-(图 37)-=6.③a<0 时,-(图 38)-=-a--(图 33) .④-(图 39)的平方根=4 的平方根=±2. (平方根、立方根、算术平方根的概念) 8、一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0: ①求根公式是 x=-(图 40)-,其中-△=b2-4ac 叫做根-的判别式. 当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根; 当-△<0 时,方程没有实数根.注意:当△≥0 时,方程有实数根. ②若方程有两个实数根 x1 和 x2,并且二次三项式 ax2+bx+c 可分解为 a(x-x1)(x-x2). ③以 a 和 b 为根的一-元二次方程是-x2-(a+b)x+ab=0. 9、一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标即一次函数 在 y 轴上的截距).当 k>0 时,y-随 x 的增大而增大(直线从左向右上升);当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当 b=0 时,y=kx-(k≠0)又叫做正比例函数(y 与 x 成正比例),图象必过原点.

10、反比例函数 y=- -(k≠0)的图象叫做双曲线.当 k>0 时,双曲线在一、三象限(在每一 象限内,从左向右降);当 k<0 时,双曲线在二、四象限(在每一象限内,从左向右上升).因 此,它的增减性与一次函数相反. 11、统计初步: (1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个 体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.② 在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按 大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (2)公式:设有 n 个数-x1,x2,…,xn-,那么: ①平均数为: (图 41) ; ②极差: 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到的差 称为极差,即:极差=最大值-最小值; ③方差: 数据(图 44) ,则 =(图 42) 标准差:方差的算术平方根. 数据(图 45) ,则 =(图 43) 一组数据的方差越大,这组数据的波动越大,越不稳定。 12、频率与概率: (1)频率= ,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于 1,频率分布直方图中各 个小长方形的面积为各组频率。 (2)概率 ①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率,则 0≤P(A)≤1; P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0; ②在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的 概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值;

13、锐角三角函数: ①设∠A 是 Rt△ABC 的任一锐角,则∠A 的正弦:sinA= -,∠A 的余弦:cosA=- -,∠A 的正切:tanA=- .并且 sin2A+cos2A=1. 0<sinA<1,-0<cosA<1,-tanA>0.∠A 越大,∠A 的正弦和正切值越大,余弦值反而越 小. ②余角公式:sin(90o-A)=cosA,-cos(90o-A)=sinA. h l α ③特殊角的三角函数值:sin30o=cos60o=- -,sin45o=cos45o=- -,sin60o=cos30o=-, tan30o= ,tan45o=1,tan60o-= . ④斜坡的坡度:-i=- -=- -.设坡角为α ,则 i=tanα =- -. 14、平面直角坐标系中的有关知识: (1)对称性:若直角坐标系内一点 P(a,b) ,则 P 关于 x 轴对称的点为 P1(a,-b) 关 ,P 于 y 轴对称的点为 P2(-a,b) ,关于原点对称的点为 P3(-a,-b). (2)坐标平移:若直角坐标系内一点 P(a,b)向左平移 h 个单位,坐标变为 P(a-h,b) , 向右平移 h 个单位,坐标变为 P(a+h,b) ;向上平移 h 个单位,坐标变为 P(a,b+h) ,向 下平移 h 个单位,坐标变为 P(a,b-h).如:点 A(2,-1)向上平移 2 个单位,再向右平 移 5 个单位,则坐标变为 A(7,1). 15、二次函数的有关知识: 1.定义:一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数. 2.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向:当 时,开口向上;当 时,开口向下; 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地, 轴记作直线 .

几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

当 时 开口向上 当 时 开口向下 ( 轴) (0,0)

( 轴) (0, )

( ,0)

( , )

( )

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: ,∴顶点是 ,对称轴是直线 . (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称 轴是直线 .

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,对称轴与抛物线的 交点是顶点。 若已知抛物线上两点 (及 y 值相同) ,则对称轴方程可以表示为: 9.抛物线 中, 的作用 (1) 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样. (2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故:① 时,对称轴为 轴;② (即 、 同号)时,对称轴在 轴左侧;③ (即 、 异号) 时,对称轴在 轴右侧. (3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时, ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0, ) : ① ,抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴;③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 . 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式. (2)顶点式: .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式: . 12.直线与抛物线的交点 (1) 轴与抛物线 得交点为(0, ). (2)抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相交; ②有一个交点(顶点在 轴上) ( ) 抛物线与 轴相切;

③没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离. (3)平行于 轴的直线与抛物线的交点 同(2)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相 等,设纵坐 标为 ,则横坐标是 的两个实数根. (4)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组 的解的数目来确定:①方 程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方 程组只有一组解时 与 只有一个交点;③方程组无解时 与 没有交点. (5)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 ,则

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 … n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ …

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 高中数学公式总结

1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n 元集合的子集数:2n

真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 ,所有非空真子集的个数 是 。 二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时,解 析式的设法有三种形式,即 , 和 (顶点式) 。 2、 幂函数 ,当 n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是 3、 函数 的大致图象是 由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 。 二、 三角函数 1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边上任取一个 异于原点的点 ,点 P 到原点的距离记为 ,则 sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = , csc = 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ; 倒数关系是: , , ; 相除关系是: , 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: , = , 。 4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对称 轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: 的递增区间是 ,递减区间是 ; 的递增区间是 ,递减区间是 , 的递增区间是 , 的递减 区间是 。 6、 7、二倍角公式是:sin2 =

cos2 = = = tg2 = 。 8、三倍角公式是:sin3 = cos3 = 9、半角公式是:sin = cos = tg = = = 。 10、升幂公式是: 。 11、降幂公式是: 。 12、万能公式:sin = cos = tg = 13、sin( )sin( )= , cos( )cos( )= = 。 14、 = ; = ; = 。 15、 = 。 16、sin180= 。 17、特殊角的三角函数值: 0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tg 0 1 不存在 0 不存在 ctg 不存在 1 0 不存在 0 18、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) :

19、由余弦定理第一形式, = 由余弦定理第二形式,cosB= 20、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周长用 p 表示 则: ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥ 21、三角学中的射影定理:在△ABC 中, ,… 22、在△ABC 中, ,… 23、在△ABC 中: 24、积化和差公式: ① , ② , ③ , ④ 。 25、和差化积公式: ① , ② , ③ , ④ 。 三、 反三角函数 1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数;

的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数; 的定义域是 R,值域是 ,奇函数,增函数; 的定义域是 R,值域是 ,非奇非偶,减函数。 2、当 ; 对任意的 ,有: 当 。 3、最简三角方程的解集: 四、 不等式 1、若 n 为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 ) 若 n 为正偶数呢? ( 均为非负数时才能) 2、同向不等式能相减,相除吗 (不能) 能相加吗? ( 能 ) 能相乘吗? (能,但有条件) 3、两个正数的均值不等式是: 三个正数的均值不等式是: n 个正数的均值不等式是: 4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 6、 双向不等式是: 左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是 ,前 n 项和公式是: = 。 2、等比数列的通项公式是 ,

前 n 项和公式是: 3、当等比数列 的公比 q 满足 <1 时, =S= 。一般地,如果无穷数列 的前 n 项和的极限 存 在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和) ,用 S 表示,即 S= 。 4、若 m、n、p、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比数列时,有 。 5、 等差数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=60; 6、等比数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=70; 六、 复数 1、 怎样计算?(先求 n 被 4 除所得的余数, ) 2、 是 1 的两个虚立方根,并且: 3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数 z1、z2 对应的向量共线且反向(同向) 时取等号,右边在复数 z1、z2 对应的向量共线且同向(反向)时取等号。 4、 棣莫佛定理是: 5、 若非零复数 ,则 z 的 n 次方根有 n 个,即: 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系? 都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆 n 等分。 6、 若 ,复数 z1、z2 对应的点分别是 A、B,则△AOB(O 为坐标原点)的面积是 。 7、 = 。 8、 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹: ① 轨迹为一条射线。 ② 轨迹为一条射线。 ③ 轨迹是一个圆。 ④ 轨迹是一条直线。 ⑤ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为椭圆;b)当 时,轨迹为一条线段;c)当 时,轨 迹不存在。

⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两条射线;c) 当 时, 轨迹不存在。 七、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点? 加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 2、排列数公式是: = = ; 排列数与组合数的关系是: 组合数公式是: = = ; 组合数性质: = + = = = 3、 二项式定理: 二项展开式的通项公式: 八、 解析几何 1、 沙尔公式: 2、 数轴上两点间距离公式: 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: 4、 若点 P 分有向线段 成定比λ ,则λ = 5、 若点 ,点 P 分有向线段 成定比λ ,则:λ = = ; = = 若 ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 。 6、求直线斜率的定义式为 k= ,两点式为 k= 。 7、直线方程的几种形式:

点斜式: , 斜截式: 两点式: , 截距式: 一般式: 经过两条直线 的交点的直线系方程是: 8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ 满足: 直线 与 的夹角θ 满足: 直线 ,则从直线 到直线 的角θ 满足: 直线 与 的夹角θ 满足: 9、 点 到直线 的距离: 10、两条平行直线 距离是 11、圆的标准方程是: 圆的一般方程是: 其中,半径是 ,圆心坐标是 思考:方程 在 和 时各表示怎样的图形? 12、若 ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是 经过两个圆 , 的交点的圆系方程是: 经过直线 与圆 的交点的圆系方程是: 13、圆 为切点的切线方程是 一般地, 曲线 为切点的切线方程是: 。 例如, 抛物线 的以点 为切点的切线方程是: , 即: 。 注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规 过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ >0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于 直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是: 16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。 若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: ,过该抛物线的 焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 。 17、椭圆标准方程的两种形式是: 和 。 18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 。其中 。 19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的长是 和 。 20、双曲线标准方程的两种形式是: 和 。 21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 。其 中 。 22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。 23、若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 ; 若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 。 24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有: 。 25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h,k) ,若点 P 在原坐标系下 的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = 。 九、 极坐标、参数方程 1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。

2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。其中点 P 对应的参数 t 的几何意义 是:有向线段 的数量。 若点 P1、P2、P 是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ;当点 P 分有向线段 时, ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, 。 3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。 3、 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极坐标为 直角 坐标为 ,则 , , 。 4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: , 经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。 5、 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。 6、 若点 M 、N ,则 。 十、 立体几何 1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是二面角的一个面内图形 F 的面积, 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。 2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线 m 是平面 内经过 的斜足的一条直线, 与 所成 的角为 , 与 m 所成的角为 , 与 m 所成的角为θ ,则这三个角之间的关系是 。 3、体积公式: 柱体: ,圆柱体: 。 斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长) ;

锥体: ,圆锥体: 。 台体: , 圆台体: 球体: 。 4、 侧面积: 直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ; 正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ; 圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: , 圆台侧面积: ,球的表面积: 。 5、几个基本公式: 弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0) ; 扇形面积公式: ; 圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ; 圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: 。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ ) : 十一、比例的几个性质 1、比例基本性质: 2、反比定理: 3、更比定理: 5、 合比定理; 6、 分比定理: 7、 合分比定理: 8、 分合比定理:

高中数学公式

诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA 两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α )sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b)) 三角函数和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a) 半角公式 sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 其它公式 a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 双曲函数 sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)


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