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第7讲 圆锥曲线的综合问题三


重庆大东方学校高三(寒假 理 重庆大东方学校高三 寒假)理科实验班数学讲座 7 寒假

2011.1.28

圆锥曲线的综合问题( 第 7 讲 圆锥曲线的综合问题(三)
圆锥曲线中的范围、 考点 5 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型: 题型:求某些变量的范围或最值 求范围和最值的方法: 几何方法:充分利用图形的几何特征及意义,考虑

几何性质解决问题 代数方法:建立目标函数,再求目标函数的最值.

x2 y 2 1.已知椭圆 + = 1 ,A(4,0) ,B(2,2)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点,求: 25 9
(1)求

5 | PA | + | PB | 的最小值; 4

(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值. [解析](1)最小值为

17 4
10 ;最小值为 10-|BC|= 10 ? 2 10 .
x2 y 2 ? = 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动 4 12


(2)最大值为 10+|BC|= 10 + 2

2.(2009 辽宁卷理)以知 F 是双曲线 点,则 PF + PA 的最小值为

【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 3.(2010 福建)11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 + = 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上 4 3

uuu uuu r r
的任意一点,则 OP FP 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 4. 已知 P 是椭圆 C:

x2 y 2 1 + = 1 的动点,点 A( ,0) 关于原点 O 的对称点是 B,若|PB|的 4 2 2

最小值为

3 ,求点 P 的横坐标的取值范围。 2
( x = ?2 或 0 ≤ x ≤ 2 5.)

1

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已知椭圆 C1 :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 与直线 x + y ? 1 = 0 相交于两点 A、B .当椭圆的离心 a 2 b2

率 e 满足

uuu uuu r r 3 2 ≤e≤ ,且 OA ? OB = 0 ( O 为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围. 3 2

[ 5, 6]

2 6. 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y = x 上移动,记线段 AB 的中点为 M,求点

M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标.

m2 7.(2010 浙江理)(21) (本题满分 15 分)已知 m>1,直线 l : x ? my ? = 0 ,椭圆 2 C: x2 + y 2 = 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m
(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,V AF1 F2 ,VBF1 F2 的 重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数

m 的取值范围.

8.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A,B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和线段 AB 的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

2

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9. ( 2009 重 庆 卷 文 、 理 ) 已 知 椭 圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a2 b2
a c = ,则该椭圆的离心率的 sin PF1 F2 sin PF2 F1
【答案】

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若椭圆上存在一点 P 使
取值范围为 .

(

2 ? 1,1

)

定点, 考点 6 定点,定值的问题 题型:论证曲线过定点及图形( 题型:论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量 定点与定值问题的处理一般有两种方法: (1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值) .

x2 y 2 6 + = 1 上的两个动点, M (1, ) 是椭圆上一定点, F 是其 10.已知 P、Q 是椭圆 C: 4 2 2
左焦点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A;

11.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上动点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交 于不同的两点 A, B ,证明 ∠AOB 的大小为定值.

12 已知抛物线 C 的方程为 y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R),则抛物线 C 恒过定点 (-1,0) 13 试证明双曲线 数.

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常 a2 b

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13.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 2 ? 2 = 1 ( b 为正常数)上任一 1 8b b
点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 1
P

y

P2

F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .
(1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

P 1
F1
O

A
F2

x

Q x1 , y1)y1 ≠ 0) ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点. ( (
求证:以 MN 为直径的圆过两定点. (1) 解 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y = ? ( 0),( b, y 0) A 令 x = 0 得 y = 9 y0 ,即 P2 (0, 9 y0 ) ,

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 = 2 x ? x= 2 x0 2 y0 2 4 x2 y2 ? ? 设 P x,y) ? ( ,则 ,即 ? = 1, y 代入 2 ? 2 = 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b 2 ? y = y0 + 9 y0 = 5 y ? y0 = 5 ? 0 ? ? 2

x2 y2 即 P 的轨迹 E 的方程为 2 ? = 1. 2b 25b 2
(2) 证明 在

x2 y2 ? = 1 中令 y = 0 得 x 2 = 2b 2 ,则不妨设 B - 2b, ( 0),D 2b, , ( 0) 2 2 2b 25b

于是直线 QB 的方程为: y =

y1 ( x + 2b) , x1 + 2b

直线 QD 的方程为: y =

y1 ( x- 2b) , x1 - 2b

则 M 0, (

2by1 - 2by1 ),N 0, ( ) , x1 + 2b x1 - 2b
2

则以 MN 为直径的圆的方程为: x + y (

2by1 2by1 = )(y + ) 0 , x1 + 2b x1 - 2b

令 y = 0 得: x =
2

2b 2 y12 x2 y2 2 2 ,而 Q x1 , y1) ( 在 2? = 1 上,则 x12 ? 2b 2 = y1 , 2 2 2 x1 ? 2b 2b 25b 25

于是 x = ±5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 ( ?5b, 0), (5b, 0) .
4


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