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湖北省黄冈市武穴中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(文科)


湖北省黄冈市武穴中学 2015 届高三上学期 11 月月考数 学试卷(文科)
一、选择题(5 分×10=50 分) 1.设全集为 R,函数 f(x)= 为 N,则 M∩N=( A.[﹣2,0) ) B. (﹣∞,﹣2] 的定义域为 M,函数 f(x)=ln(x ﹣4x)的定义域
2

C. (4,+∞)

D. (﹣∞, 0]∪ (4, +∞)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:由偶次根号下被开方数大于等于零、对数的真数大于零,分别求出函数的定义域 M、 N,再由交集的运算求出 M∩N. 2 解答: 解:由 4﹣x ≥0 得,﹣2≤x≤2, 则函数 f(x)=
2

的定义域为 M=[﹣2,2],

由 x ﹣4x>0 得,x>4 或 x<0, 2 则函数 f(x)=ln(x ﹣4x)的定义域为 N=(﹣∞,0)∪(4,+∞) , 所以 M∩N=[﹣2,0) , 故选:A. 点评:本题考查交集及其运算,以及函数的定义域的求法,属于基础题.

2.函数 f(x)的图象由函数 g(x)=4sinxcosx 的图象向左平移 =( A.﹣1 ) B.1 C.﹣

个单位得到,则

D.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由倍角公式化简函数 g(x) ,然后利用函数图象的平移得到函数 f(x) ,然后直接求 得 .

解答: 解:g(x)=4sinxcosx=2sin2x, f(x)=g(x+ 则 故选:A. = )=2sin2(x+ )=2sin(2x+ =2cos ) , =2×( )=﹣1.

点评:本题考查了三角函数的图象变换,考查了三角函数的求值,是基础题. 3.“x>0,y>0”是“xy>0”成立的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由 x>0,y>0 能推出 xy>0,是充分条件, 由 xy>0,推不出 x>0,y>0,不是必要条件, 故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件,是一道基础题. 4.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx≥cosx”发生的概率为( A. B. C. D.1 )

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:先化简不等式,确定满足 sinx≥cosx 即 根据几何概型利用长度之比可得结论. 解答: 解:∵sinx≥cosx,x∈[0,π], ∴ ≤x≤π, sin(x﹣ )≥0 在区间[0,π]内 x 的范围,

∴事件“sinx≥cosx”发生的概率为

= .

故选 C. 点评:本题考查几何概型,考查三角函数的化简,考查学生的计算能力,属于中档题. 5.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( A.y= B.y=e ﹣e
x
﹣x

)

C.y=xsinx

D.y=lg

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案. 解答: 解:A 中,∵y= 的定义域为[0,+∞) ,不关于原点对称,∴y= 数,故排除 A; B 中,∵e ﹣e =e ﹣e =﹣(e ﹣e ) ,∴y=e ﹣e 是奇函数, ﹣x ﹣x x x 又 e 递增,﹣e 递增,∴y=e ﹣e 是(0,1)内的增函数; C 中,∵﹣xsin(﹣x)=xsinx,∴y=xsinx 为定义域上的偶函数,故排除 B;
﹣x ﹣(﹣x) ﹣x

为非奇非偶函

x

x

﹣x

x

﹣x

D 中,y=lg

=lg(﹣1+

) , 在(0,1)上递减,故排除 D;

∵lgt 递增,t=﹣1+

在(0,1)上递减,∴y=lg

故选 B. 点评: 本题考查函数的奇偶性、 单调性的判断, 属基础题, 定义是解决该类题目的基本方法.

6.如图,在半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5,则

?

=(

)

A.

B.

C. R

D.

R

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据 AC 为半径,C 圆心,AB 为弦,可得 ? = | |?| |,计算求得结果. 在 上的投影为 | |, 在 上的投影为 | |,再根据

解答: 解:由于 AC 为半径,C 圆心,AB 为弦,故 ∴ ? = | |?| |= ×5×5= ,

故选:B. 点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属 于中档题. 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.π

C.

D.2π

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球,且圆柱的高与底面圆的直径都是 2,挖去半球的直径为 2,再根据球与圆柱的体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球,且圆柱的高与底面圆的直径 都是 2, 挖去半球的直径为 2, ∴几何体的体积 V=π×1 ×2﹣ π×1 =
2 3



故选 A. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几 何量是解答此类问题的关键.

8.双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30° )

的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定义 求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评:本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题. 9.设 f(x)是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数,且当 x>0 时有 f′(x)g(x)<f(x)g′(x) .若 f(1)=0,则不等式 f(x)>0 的解集是( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) B. (﹣1,0)∪(0,1) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ (0, 1) D. (﹣1,0)∪(1,+∞)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析:首先,因为 g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数,所以 f(x)>0 式的解集等价 于 >0 的解集.由当 x>0 时有 f′(x)g(x)<f(x)g′(x) ,可以证明 的

单调性,从而使问题得解. 解答: 解:首先,因为 g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数,所以 f(x)>0 式的解 集等价于 >0 的解集. 的函数特性.因为当 x>0,f'(x)g(x)<f(x)g'(x) ,所以

下面我们重点研究

当 x>0, 由 f(1)=0 得

.也就是

,当 x>0 时,是递减的. 0. >0 不等 f(x)>0

=0.所以有递减性质, (0,1)有

由 f(x)是奇函数,f(﹣1)=0,x<﹣1 时,

式的解集是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) , 故选 C. 点评:解答本题的关键是根据已知条件,结合奇函数的性质,找出函数的零点,并以零点为 端点将定义域分为几个不同的区间, 然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论, 这是分 类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现, 分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简 单化,是高中阶段必须要掌握的一种方法.

10.定义域为 R 的函数

,若关于 x 的函数 有 5 个不同的零点 x1, x2, x3, x4, x5, 则 x1 +x2 +x3 +x4 +x5
2 2 2 2 2

等于( A.

) B.16 C .5 D.15

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:作出 f(x)的图象,由图知,只有当 f(x)=1 时有两解,欲使关于 x 的方程 有 5 个不同的实数解 x1,x2,x3,x4,x5,则必有 f(x) =1 这个等式,由根与系数的关系得另一个根是 f(x)= ,从而可得 5 个根的平方和,问题 得到解决. 解答: 解:作出 f(x)的图象:

由图知,只有当 f(x)=1 时有两解; ∵关于 x 的方程 f (x)+bf(x)
2

=0 有 5 个不同的实数解:

x1,x2,x3,x4,x5, ∴必有 f(x)=1,从而 x1=1,x2=2,x3=0. 由根与系数的关系得另一个根是 f(x)= , 从而得 x4=3,x5=﹣1. ∴原方程的五个根分别为:﹣1,0,1,2,3, 2 2 2 2 2 故可得 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 =15. 故选 D.

点评:本题考查复合函数的零点问题,复合函数的零点的问题,必须要将 f(x)看成整体, 利用整体思想解决.数形结合也是解决此题的关键,利用函数的图象可以加强直观性,同时 也便于问题的理解. 二、填空题(5×7=35 分)

11.设函数 f(x)=

,则 f(f(4) )的值为



考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知得 f(4)= ,由此能求出 f(f(4) )=f( )=1﹣ = .

解答: 解:∵f(x)=



∴f(4)= , f(f(4) )=f( )=1﹣ = .

故答案为:



点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用. 12. 已知 A 是角 α 终边上一点, 且 A 点的坐标为 ( , ) , 则 = .

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:利用三角函数的定义可求得 sinα= ,cosα= ,代入所求关系式计算即可. 解答: 解:∵sinα= ,cosα= , ∴ = = ,

故答案为:



点评:本题考查三角函数的定义,考查运算求解能力,属于基础题. 13.已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=5 考点:等比数列的性质. 专题:计算题. 分析:由数列{an}是等比数列,则有 a1a2a3=5=5?a2 =5;a7a8a9=10?a8 =10. 解答: 解: 由等比数列的性质知, a1a2a3, a4a5a6, a7a8a9 成等比数列, 所以 .
3 3



故答案为 点评:本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重 考查了转化与化归的数学思想.

14.已知函数

,若 f(x)在(0,+∞)上单调递减,则

实数的取值范围为



考点:函数单调性的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:计算题. 分析:利用分段函数单调性的性质,要使函数在(0,+∞)上单调递减,需满足三个条件, 两段函数分别为减函数,且 x=1 时,对数值不小于一次函数值,解不等式即可 解答: 解:若 f(x)在(0,+∞)上单调递减



解得 a∈ 故答案为 点评:本题主要考查了一次函数、对数函数的单调性,分段函数单调性的应用,把握基本初 等函数的单调性,注意分段函数单调性的特殊性是解决本题的关键 15.已知 A(x1,yl) ,B(x2,y2)是圆 O:x +y =2 上两点,且∠AOB=120°,则 x1x2+y1y2= ﹣1. 考点:直线与圆相交的性质. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由题意,x1x2+y1y2= 解答: 解:由题意,x1x2+y1y2= ∵A(x1,yl) ,B(x2,y2)是圆 O:x +y =2 上两点,且∠AOB=120°, ∴ = = =﹣1
2 2 2 2

,利用向量的数量积公式,即可得到结论.

故答案为:﹣1. 点评:本题考查向量知识的运用,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于基础 题.

16.点 P(x,y)为不等式组

表示的平面区域上一点,则 x+2y 取值范围为[﹣

2,

].

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,设 z=x+2y,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=x+2y,则 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣ , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 A(0,﹣1)时,

的截距最小,此时 z 最小,为 z=﹣2,

当直线 y=﹣

在第一象限内和圆相切时,此时 z 最大. ,

则圆心到直线 x+2y﹣z=0 的距离 d= 解得 z= , ∴z 的最大值为 . ﹣2 , 故 x+2y 取值范围是[﹣2, 故答案为:[﹣2, ].

],

点评:本题主要考查线性规划的应用,作出平面区域,利用数形结合以及直线和圆的位置关 系是解决本题的关键. 17.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f 2 x (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=x ;②y=e +1; ③y=2x﹣sinx;④ .以上函数是“H 函数”的所有序号为②③.

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 2 ①函数 y=x 在定义域上不单调.不满足条件. x ②y=e +1 为增函数,满足条件. ③y=2x﹣sinx,y′=2﹣cosx>0,函数单调递增,满足条件. ④f(x)= 不满足条件. .当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,

综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用, 将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关 键. 三、解答题(65 分) 18.已知函数 f(x)=2cos x+2 (Ⅰ)当 x∈[0,
2

sinxcosx(x∈R) .

]时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c=3,f(C)=2,若向量 = (1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值.

考点:正弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算. 专题:解三角形. 分析: (I)利用三角函数的恒等变换化简 f(x)的解析式为 ,k∈z,求得 x 的范围,结合 的递增区间. (Ⅱ)由 f(C)=2,求得 sinA)与向量 =(2,sinB)共线,可得 ﹣ab ②,由①②求得 a、b 的值. 解答: 解: (I) ∵ 令 解得 ∵ (Ⅱ)由 而 C∈(0,π) ,∴ ,即 ,∴f(x)的递增区间为 ,得 ,∴ . . ,可得 , . = , , = . ,结合 C 的范围求得 C 的值.根据向量 =(1, ,故有 = ①,再由余弦定理得 9=a +b
2 2

.令 ,可得 f(x)

∵向量向量 =(1,sinA)与向量 =(2,sinB)共线,∴ 由正弦定理得: =
2 2

①.
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2ab?cosC,即 9=a +b ﹣ab ②,

由①、②解得 . 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换, 正弦函数的增区间, 正弦定理、 余弦定理的应用, 两个向量共线的性质,属于中档题.

19.在数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,都有 (Ⅰ)证明:数列{bn}为等差数列,并求出 an; (Ⅱ)设数列{an?an+1}的前 n 项和为 Tn,求证: .

*



考点:数列递推式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 bn+1﹣bn= 为 1,公差为 2 的等差数列,从而求出 an= (Ⅱ)由 an?an+1= = = =2,由此能证明数列{bn}是首项 . ,利用裂项求和法能证明 .

解答: (Ⅰ)证明:∵在数列{an}中,a1=1, 对任意 n∈N ,都有
*



bn+1﹣bn= 又 =1,

=

=2,

∴数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴bn=2n﹣1, ∴ =2n﹣1, . = + …+ ) , ) ,

∴an=

(Ⅱ)解:∵an?an+1= ∴Tn= (1﹣ = (1﹣ = ﹣





点评:本题考查等差数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时 要认真审题,注意裂项求和法的合理运用. 20.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆, 年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1) ,则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计 年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=(出厂价﹣投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 考点:函数模型的选择与应用. 专题:应用题;压轴题. 分析: (1)根据若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1) ,则出厂价相应的提高比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x 和年利润= (出厂价﹣投入成本) ×年销售量. 建 立利润模型,要注意定义域. (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,只需今年的利润减去的利润大于零即可,解 不等式可求得结果,要注意比例的范围. 解答: 解: (1)由题意得 y=[1.2×(1+0.75x)﹣1×(1+x)]×1000×(1+0.6x) (0<x<1) 2 整理得 y=﹣60x +20x+200(0<x<1) . (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当



解不等式得



答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0<x<0.33. 点评:本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容,考查运用数学知识解决 实际问题的能力. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+1. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 4x+3y﹣3=0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln(n+1)> + +…+ (n∈N ) .
*

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)求出函数的定义域,求出原函数的导函数,得到 f′(1) ,由 y=f(x)在点 A(1, f(1) )处的切线 l 与直线 4x+3y﹣3=0 垂直列式求得 a 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)求出的导函数可知,当 a≤0 时不合题意,当 a>0 时求出函数的单调区间, 进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于 0 求解 a 的范围; (Ⅲ)由(Ⅱ)可得 lnx<x﹣1 在 x∈(0,1]上恒成立.令 得到 ,

然后分别取 n=1,2,3,…,累加后证得答案. 解答: (Ⅰ)解:函数 f(x)=lnx﹣ax+1 的定义域为(0,+∞) , . ∴f′(1)=1﹣a. 又切线 l 与直线 4x+3y﹣3=0 垂直, ∴ ,解得 ; ,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(Ⅱ)解:若 a≤0,则

而 f(1)=1﹣a,f(x)≤0 不成立,故 a>0. 若 a>0,则当 当 ∴f(x)在 ∴f(x)的最大值为 时, 上是增函数,在 . 时, . 上是减函数. ;

要使 f(x)≤0 恒成立,只需﹣lna≤0,解得 a≥1; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a=1 时,有 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,且 f(x)在(0,1]上 是增函数, 又 f(1)=0, ∴lnx<x﹣1 在 x∈(0,1]上恒成立. 令 ,则 ,

令 n=1,2,3…n, 则有 以上各式两边分别相加,得 即 故 . , . .

点评:本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,体 现了数学转化思想方法,训练了利用放缩法和累加法证明不等式,是压轴题.

22.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,右焦点 F2 到直线 + =0 的距离为

1. (1)求椭圆的 C 方程; (2)已知直线 y=k(x﹣2) (k≠0)与椭圆 C 相交于 M、N 两点,在轴 x 上是否存在定点 E, 使 ? 为定值?若存在,求出 E 点的坐标和定值;若不存在,说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意得 e= , ,由此能求出椭圆的方程.

(2)由

,得(1+3k )x ﹣12k x+12k ﹣6=0.设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

2

2

2

2

由此利用韦达定理结合已知条件能求出 解答: 解: (1)由 e= ,得 c= ,① 的距离为 d=1,

为定值时, 定点为 E (

) .

又在右焦点 F2(c,0)到直线 得 ,②
2 2

由①②,得 a =6,b =2, ∴椭圆的方程为 .

(2)由

,得(1+3k )x ﹣12k x+12k ﹣6=0.

2

2

2

2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,∴





根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0) ,使得 则有
2

为定值,

?(x2﹣m,y2)=(x1﹣m) (x2﹣m)+y1y2

=(x1﹣m) (x2﹣m)+k (x1﹣2) (x2﹣2) = +(4k +m )
2 2

=(k +1)?

2

﹣(2k +m)?

2

=


2 2

更使上式为定值,即与 k 无关,则应使 3m ﹣12m+10=3(m ﹣6) , 解得 m= ,此时 为定值,定点为 E( ) .

点评: 本题考查椭圆方程的求法, 考查使向量的数量积为定值的 x 轴上的定点是否存在的判 断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.


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