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2005年全国高中数学联赛试卷


2005 年全国高中数学联赛试卷
(2005 年 10 月 16 日上午 8∶00-9∶40) 一、选择题: 1.使关于 x 的不等式 x-3+ 6-x?k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6- 3 B. 3 C. 6+ 3 ( D. 6 ) )

→ → → → → → 2.空间四点 A、B、C、D 满足| AB |=3,| BC |=7,| C

D|=11,| DA|=9.则 AC · BD的取值(

A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个 3.△ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 、B1 、C1 ,则 A B C AA1· +BB1· +CC1· cos cos cos 2 2 2 的值为 sinA+sinB+sinC

(

)

A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图,ABCD-A?B?C?D?为正方体,任作平面 α 与对角线 AC?垂直,使得 α 与正方体的每个面都有公 共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则 ( ) D' C' B' A' A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 2 2 x y D C 5.方程 + =1 表示的曲线是 ( ) sin 2-sin 3 cos 2-cos 3 A B A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

a1 a2 a3 a4 6.记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M={ + 2+ 3+ 4| ai∈T,i=1,2,3,4},将 M 中的元素按 7 7 7 7 从大到小排列,则第 2005 个数是 5 5 6 3 A. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 5 5 6 2 B. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 ( ) 1 1 0 3 D. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7

二、填空题: 7.将关于 x 的多项式 f(x)=1-x+x2 -x3+?-x19 +x20 表为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y2+? +a19y19+a20y20,其中 y=x-4,则 a0+a1+?+a20= ; 2 8.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a +a+1)<f(3a2 -4a+1)成立,则 a 的取值范围 是 ; 9.设 α、β、γ 满足 0<α<β<γ<2π,若对于任意 x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0,则 γ-α = ; 1 AC D 10.如图,四面体 DABC 的体积为 ,且满足∠ACB=45?,AD+BC+ 6 2 =3,则 CD= ; 11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上, 另外两个顶点在抛 物线 y=x2 上,则该正方形面积的最小值为 ; 12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” .将 所有“吉祥数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2005,则 a5n = .
C
45°

A B

三、解答题: 7an+ 45a2-36 n 13.数列{an}满足 a0=1,an+1= ,n∈N, 2 证明:⑴ 对任意 n∈N,an 为正整数; ⑵ 对任意 n∈N,anan+1-1 为完全平方数.

14.将编号为 1,2,3,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各放一个小 球,设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 S,求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某 种放法,经旋转或镜面反射后与另一种放法重合,则认为是相同的放法)

15.过抛物线 y=x2 上一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 B,点 C 在抛物 AE BF 线上,点 E 在线段 AC 上,满足 =λ1;点 F 在线段 BC 上,满足 =λ2,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交 EC FC 于点 P,当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

加试卷
一、如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过点 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又 以点 A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段 AB 于点 D;交直线 l 于点 E、F. 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心.
F A E C D l

B

x2 y2 z2 二、设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数 f(x,y,z)= + + 的 1+x 1+y 1+z 最小值.

? ? 0,当n为完全平方数, 三、 对每个正整数 n, 定义函数 f(n)=? 1 (其中[x]表示不超过 x 的最大整数, ?[{ n}],当n不为完全平方数. ?
{x}=x-[x]).试求

∑f(k)的值.
k=1

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2005 年全国高中数学联赛试卷
(2005 年 10 月 16 日上午 8∶00-9∶40) 一、选择题: 1.使关于 x 的不等式 x-3+ 6-x?k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6- 3 B. 3 C. 6+ 3 选 D. ( D. 6 )

π 解:3?x?6,令 x-3= 3sinα(0?α? ),则 x=3+3sin2α, 6-x= 3cosα. 2 故 6? 3(sinα+cosα)? 3.故选 D. → → → → → → 2.空间四点 A、B、C、D 满足| AB |=3,| BC |=7,| CD|=11,| DA|=9.则 AC · BD的取值( A.只有一个 选 A. B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个 )

→ → → → → 解: AB + BC + CD+ DA= 0 . → → → → → → → → → → DA2= DA 2=( AB + BC + CD)2=AB2+BC2+CD2+2( AB · BC + AB · CD+ BC · CD) → → → → → → → → → → → =AB2+BC2+CD2+2( AB · BD+ BC· BD- BC 2),(其中 BC + CD= BD, CD= BD- BC ) → → =AB2+BC2+CD2-2BC2+2( AC · BD). → → → → 故 2 AC · BD=DA2+BC2-AB2-CD2=92+72-32-112=0? AC · BD=0.选 A. 3.△ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 、B1 、C1 ,则 A B C AA1· +BB1· +CC1· cos cos cos 2 2 2 的值为 sinA+sinB+sinC A.2 选 A. B.4 C.6 D.8
C1 A B1 I B A1 C

(

)

A A A 解:AA1· =2sin(B+ )cos =sin(A+B)+sinB=sinC+sinB. cos 2 2 2 A B C AA1· +BB1· +CC1· =2(sinA+sinB+sinC).故原式=2.选 A. cos cos cos 2 2 2 4.如图,ABCD-A?B?C?D?为正方体,任作平面 α 与对角线 AC?垂直,使得 α 与正方 体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则 ( ) A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 选 B. 1 解:设截面在底面内的射影为 EFBGHD,设 AB=1,AE=x(0?x? ),则 2 l=3[ 2x+ 2(1-x)]=3 2为定值; 1 1 1 而 S=[1- x2- (1-x)2]secθ=( -x-x2)secθ(θ 为平面 α 与底面的所成角)不为定 2 2 2 值.故选 B.
E A D A' D'

C' B'

H F B G

C

x2 y2 5.方程 + =1 表示的曲线是 sin 2-sin 3 cos 2-cos 3 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 选 C.

(

)

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

π π π π π 解:由于 3+ 2>π? > 3- > - 2>0?cos( 3- )<cos( - 2)?sin 2-sin 3>0; 2 2 2 2 2 又,0< 2< 3c<π?cos 2-cos 3>0,?曲线为椭圆. π π π π π sin 2-sin 3-(cos 2-cos 3)= 2[sin( 2- )-sin( 3- )].而 0< 2- < 3- < ? 4 4 4 4 2 sin 2-sin 3<cos 2-cos 3?焦点在 y 轴上.故选 C. a1 a2 a3 a4 6.记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M={ + 2+ 3+ 4| ai∈T,i=1,2,3,4},将 M 中的元素按 7 7 7 7 从大到小排列,则第 2005 个数是 5 5 6 3 A. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 选 C. 1 解:M={ 4(a1×73+a2×72+a3×7+a4)| ai∈T,i=1,2,3,4},a1×73+a2×72+a3×7+a4 可以看成是 7 7 进制数,(a1a2a3a4)7,其最大的数为(6666)7=74-1=2400. 从而从大到小排列的第 2005 个数是 2400-2004=396,即从 1 起从小到大排的第 396 个数, 1 1 0 4 396=73+72+4?(1104)7,故原数为 + 2+ 3+ 4.故选 C. 7 7 7 7 二、填空题: 7.将关于 x 的多项式 f(x)=1-x+x2 -x3+?-x19 +x20 表为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y2+? +a19y19+a20y20,其中 y=x-4,则 a0+a1+?+a20= ; 填 521+1 6
2 2 20 2 3 19 20

( 1 1 0 4 C. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7

)

5 5 6 2 B. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7

1 1 0 3 D. + 2+ 3+ 4 7 7 7 7

(-5)21-1 解:f(x)=a0+a1(x-4) +a2(x-4) +?+a20(x-4) .令 x=5 得 f(5)=1-5+5 -5 +?-5 +5 = (-5)-1 = 521+1 =a0+a1+?+a20. 6 8.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a2+a+1)<f(3a2 -4a+1)成立,则 a 的取值范围 ; 1 填(0, )∪(1,5). 3
? 2a2+a+1>0, 1 解:? 2 ?a∈(-∞, )∪(1,+∞). 3 3a -4a+1>0. ?



2a2+a+1>3a2-4a+1?a2-5a<0?0<a<5. 1 故所求取值范围为(0, )∪(1,5). 3 = 9.设 α、β、γ 满足 0<α<β<γ<2π,若对于任意 x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0,则 γ-α ;

4 填 π. 3 解:由 f(x)≡0,得 f(-α)=f(-β)=f(-γ)=0: cos (β-α)+cos(γ-α)=cos(β-α)+cos(γ-β)=cos(γ-α)+cos(γ-β)=-1. 1 故 cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=- , 2 2 4 4 由于 0<α<β<γ<2π,故 β-α,γ-β,γ-α∈{ π, π}.从而 γ-α= π. 3 3 3 1 AC 10.如图,四面体 DABC 的体积为 ,且满足∠ACB=45?,AD+BC+ =3, 6 2 则 CD= 填 3. 1 1 1 解:V= × AC×BCsin45?×h? AC×BC×ADsin45?. 3 2 6 AC 即 AC×BC×ADsin45??1? ×BC×AD?1. 2 AC 而 3=AD+BC+ ?3 2
3

D


C
45°

A B

AD AC AD· BC· =3,等号当且仅当 AD=BC= =1 时成立, 2 2

故 AC= 2,且 AD=BC=1,AD⊥面 ABC.?CD= 3. 11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两个顶点在抛物线 y=x2 上,则该正方形面积 的最小值为 ; 填 80. y 解:设正方形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上,C、D 在直线上. A D 设直线 AB 方程为 y=2x+b, B 2 2 C ⑴ 求 AB 交抛物线 y=x 的弦长:以 y=2x+b 代入 y=x ,得 x O 2 x -2x-b=0. △=4+4b?l=2 5(b+1). |b+17| ⑵ 两直线的距离= . 5 |b+17| ⑶ 由 ABCD 为正方形得,2 5(b+1)= ?100(b+1)=b2+34b+289?b2-66b+189=0. 5 解得 b=3,b=63. 正方形边长=4 5或 16 5?正方形面积最小值=80. 12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” .将所有“吉祥数”从小到大排成一 列 a1,a2,a3,?,若 an=2005,则 a5n= . 填 52000. 解:一位的吉祥数有 7,共 1 个; 二位的吉祥数有 16,25,34,43,52,61,70,共 7 个; 三位的吉祥数为 x1+x2+x3=7 的满足 x1?1 的非负整数解数,有 C2=28 个(也可枚举计数). 8 一般的,k 位的吉祥数为 x1+x2+?+xk=7 的满足 x1?1 的非负整数解数,令 xi?=xi+1(i=2,3,?,k), 有 x1+x2?+?+xk?=7+k-1.共有解 Ck-1=C6 组. k+5 k+5 4 位吉祥数中首位为 1 的有 28 个, 2005 是 4 位吉祥数中的第 29 个. n=1+7+28+28+1=65. 故 5n=325. 6 6 6 6 6 C6+C7+C8+C9+C10=1+7+28+84+210=330.即是 5 位吉祥数的倒数第 6 个: 5 位吉祥数从大到小排列:70000,61000,60100,60010,60001,52000,?.

三、解答题: 7an+ 45a2-36 n 13.数列{an}满足 a0=1,an+1= ,n∈N, 2 证明:⑴ 对任意 n∈N,an 为正整数; ⑵ 对任意 n∈N,anan+1-1 为完全平方数. 证明:⑴ a1=5,且 an 单调递增. 2 所给式即 (2an+1-7an)2=45a2-36?an+1-7an+1an+a2+9=0. n n 2 2 下标加 1: an+2-7an+2an+1+an+1+9=0.

① ②

相减得: (an+2-an)(an+2-7an+1+an)=0. 由 an 单调增,故 an+2-7an+1+an=0?an+2=7an+1-an. ③ 因 a0、a1 为正整数,且 a1>a0,故 a2 为正整数,由数学归纳法,可知,对任意 n∈N,an 为正整数. an+an+1 2 2 ⑵ 由①:an+1+2an+1an+a2=9(an+1an-1)?an+1an-1=( ) n 3 ④

an+an+1 2 an+an+1 由于 an 为正整数, an+1an-1 为正整数, 故 从而( ) 为正整数. an、 n+1 均为正整数, 但 a 于是 3 3 an+an+1 必为有理数,而有理数的平方为整数时,该有理数必为整数,从而 是整数.即 an+1an-1 是整数的平 3 方,即为完全平方数.故证. an+an+1 2 记 f(n)=an+1an-( ), 3 1 1 则 f(n)-f(n-1)=(an+1an-anan-1)- (2an+an+1+an-1)(an+1-an-1)= (an-1-an+1)(an+1-7an+an-1)=0.即 9 9 f(n)=f(n-1)=?=f(0)=1,故④式成立. 故 anan+1-1 为完全平方数. 又证:由上证,得③式后:an+2-7an+1+an=0. 特征方程为 x2-7x+1=0. 解得: 令 7±3 5 ?3± 5?2 ? 5±1?4 ? ? ? x= =? 2 ? 2 ? =? 2 ? . an=α α= 得 注意到 有,

? 5+1?4n+β? 5-1?4n.由 a =1,a =5 解得 0 1 ? 2 ? ? 2 ? ? ?

5-1 5+1 ,β= ; 2 5 2 5 1 ? 5+1?4n+1 ? 5-1?4n+1 ? [ +? ? 2 ? ] 5? 2 ? ⑤

an=

5-1 5+1 5+1 5-1 · =1, + = 5. 2 2 2 2 1 ? 5-1?4n+1 ? 5+1?4n+1 5+1 4n+5 ? 5-1?4n+5 ? +? 2 ? ]·[? 2 ? +? 2 ? ]-1 anan+1-1= [? 5? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 5+1?8n+6 ? 5-1?8n+6 ? 5+1?4 ? 5+1?4 ? = [ +? 5? 2 ? ? 2 ? +? 2 ? +? 2 ? -5] 1 ? 5+1?4n+3 ? 5-1?4n+3 2 ? = [ +? 5? 2 ? ? 2 ? ]

由二项式定理或数学归纳法知

? 5+1?4n+3+? 5-1?4n+3为 k 5型数(k∈N*),故 a a -1 为完全平方数. ? 2 ? n n+1 ? 2 ? ? ? ? 5+1?3+? 5-1?3=2 5. ? 2 ? ? 2 ? ? ?

(用数学归纳法证明:n=0 时,

设当 n?m(m∈N*)时,

? 5+1?4n+3+? 5-1?4n+3=k 5(k ∈N*),且 k <k <?<k . ? 2 ? n n 1 2 m ? 2 ? ? ?

? 5+1?4(m+1)+3+? 5-1?4(m+1)+3=[? 5+1?4m+3+? 5-1?4m+3]·? 5+1?4+? 5-1?4]-[? 5+1?4m-1+? 5-1?4m-1]. ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? [ ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
=7km 5-km-1 5=(7km-km-1) 5.由归纳假设知 km+1=7km-km-1∈N*,且 km<km+1 成立. 得证. 14.将编号为 1,2,3,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各放一个小 球,设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 S,求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某 种放法,经旋转或镜面反射后与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 8! 解:9 个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上,考虑镜面反射的因素,共有 种放法; 2 为使 S 取得最小值,从 1 到 9 之间应按增序排列: 设从 1 到 9 之间放了 k 个球,其上的数字为 x1,x2,?,xk,则|1-x1|+|x1-x2|+?+|xk-9|?|1-x1+x1- x2+?+xk-9|=8.当且仅当 1-x1、x1-x2、?、xk-9 全部同号时其和取得最小值,即 1,x1,x2,?,xk, 9 递增排列时其和最小.故 S?2×8=16. 当 S 取得最小值时,把除 1、9 外的 7 个元素分成两个子集,各有 k 及 7-k 个元素,分放 1 到 9 的两 段弧上,分法总数为 C0+C1+?+C6种,考虑镜面因素,共有 64 种方法. 7 7 7 64×2 1 所求概率 P= = . 8! 315 15.过抛物线 y=x2 上一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 B,点 C 在抛物 AE BF 线上,点 E 在线段 AC 上,满足 =λ1;点 F 在线段 BC 上,满足 =λ2,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交 EC FC 于点 P,当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 解:过点 A 的切线方程为 y=2x-1.交 y 轴于点 B(0,-1).AB 与 x 1 CD 轴交于点 D( ,0).设点 C 坐标为 C(x0,y0), =λ,点 P 坐标为(x,y). 2 CP AE AC CB 由 =λ1? =1+λ1,同理, =1+λ2; EC CE CF 而 CA CD CB 、 、 成等差数列(过 A、B 作 CD 的平行线可证). CE CP CF
C(x0 ,y0 )

y
E A(1,1) P F

O D
B(0,-1)

x

3 得 2λ=1+λ1+1+λ2=3,即 λ= .从而点 P 为△ABC 的重心. 2 1+(-1)+y0 1+0+x0 x= ,y= .y0=x2. 0 3 3 1 解得 x0=3x-1,y0=3y,代入 y0=x2得,y= (3x-1)2. 0 3 2 1 2 由于 x0≠1,故 x≠ .所求轨迹方程为 y= (3x-1)2(x≠ ). 3 3 3

1 又解:过点 A 的切线方程为 y=2x-1.交 y 轴于点 B(0,-1).AB 与 x 轴交于点 D( ,0).设点 C 坐 2 标为 C(t,t2), 1 x- 2 y t2 CD 方程为 = 2,即 y= (2x-1). 1 t 2t-1 t- 2

2 1+λ1t 1+λ1t2 λ2t λ2t -1 点 E、F 坐标为 E( , );F( , ).从而得 EF 的方程为: 1+λ1 1+λ1 1+λ2 1+λ2

1+λ1t2 1+λ1t y- x- 1+λ1 1+λ1 . 2 2= λ2t 1+λ1t λ2t -1 1+λ1t - - 1+λ2 1+λ1 1+λ2 1+λ1 化简得:[(λ2-λ1)t-(1+λ2)]y=[(λ2-λ1)t2-3]x+1+t-λ2t2. 2t x-t 1 当 t≠ 时,直线 CD 方程为: y= 2 2t-1 t+1
2 2 2

① ②

? x= 3 , 1 联立①、②解得? t 消去 t,得点 P 的轨迹方程为 y= (3x-1) . 3 ?y=3 .
2

1 3 1 1 3 1 1 1 1 当 t= 时,EF 方程为:- y=( λ2- λ1-3)x+ - λ2,CD 方程为:x= ,联立解得点( , ),此点在 2 2 4 4 2 4 2 2 12 上述点 P 的轨迹上, 2 因 C 与 A 不能重合,故 t≠1,x≠ . 3 故所求轨迹为 1 y= (3x-1)2 3 2 (x≠ ). 3

加试卷
一、如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过点 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以点 A 为圆心,AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于点 D;交直线 l 于点 E、F. 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心. 证明:连 DC、DE,作∠BAC 的平分线交 DE 于点 I,交 CD 于 G. 由 AD=AC,∠DAI=∠CAI,AI=AI?△ADI≌△ACI. 故∠ADI=∠ACI, 但∠FAD=∠ACB(弦切角);∠FAD=2∠ADE(等腰三角形顶角的外角) 所以∠FAD=2∠ACI?∠ACB=2∠ACI,即 CI 是∠ACB 的平分线. F A E 故点 I 是△ABC 的内心. l C 连 FD 并延长交 AI 延长线于点 I?,连 CI?. I G 由于 AD=AE=AF?∠EDF=90??∠IDI?=90?. D 而由△ADI≌△ACI 知,∠AID=∠AIC?∠DII?=∠CII?,又 ID=IC,II? 为公共边.故△IDI?≌△ICI?,?∠ICI?=90?.由于 CI 是∠ACB 的平分线,故 CI?是其外角的平分线,从而 I?为△ABC 的一个旁心. B 又证:⑴ 连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DE 于 I,DC 于 G,连 IC,则由 AD=AC,得 AG⊥DC,ID=IC.
I‘

1 又 D、C、E 在⊙A 上,故∠IAC= ∠DAC=∠IEC.故 A、I、C、E 四点 2 共圆. 1 所以∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD,故∠ICD= ∠ABC. 2 1 1 所以,∠AIC=∠IGC+∠ICG=90?+ ∠ABC,所以∠ACI= ∠ACB.故 I 为△ABC 的内心. 2 2

⑵ 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1,BI1、BI,则由⑴知,I 为△ABC 的内心,故∠IBI1 =90?=∠EDI1.故 D、B、I1、I 四点共圆. 1 1 故∠BII1=∠BDI1=90?-∠ADI=( ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG, A、I、I1 共线.所以, 故 2 2 I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心. x2 y2 z2 二、设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数 f(x,y,z)= + + 的 1+x 1+y 1+z 最小值. b2+c2-a2 x= , 2bc 2 2 2 2 2 2 ? ? ?a2+b2 >c2, ?a+b>c, c +a -b y= ,由于 x、y、z 为正数,故?b +c >a ,??b+c>a,即 2ac ?c2+a2=b2. ?c+a=b. ? ? 2 a +b2-c2 z= . 2ab

? ?cy+bz=a, 解:解方程组:?az+cx=b,得, ?bx+ay=c. ?

? ? ? ? ?

以 a、b、c 为边可以构成锐角三角形.记边 a、b、c 的对角分别为∠A、∠B、∠C. 则 cosA=x,cosB=y,cosC=z.(A、B、C 为锐角) cos2A cos2B cos2C f(x,y,z)=f(cosA,cosB,cosC)= + + . 1+cosA 1+cosB 1+cosC 令 u=cotA,v=cotB,w=cotC,则 u,v,w∈R+,且 uv+vw+wu=1. 于是,(u+v)(u+w)=u2+uv+uw+vw=u2+1.同理,v2+1=(v+u)(v+w),w2+1=(w+u)(w+v). u2 1+u2 u2( 1+u2-u) cot A u cos A u2 cos2A=sin2Acot2A= = = = 2 = 2,所以, 1+cot A 1+u 1+cosA u 1+u2( 1+u2+u) 1+u2 1+ 2 1+u
2 2 2

=u2-

u3 u3 u3 1 1 2 ?u2- ( + ). 2=u - 2 u+v u+w 1+u (u+v)(u+w)

cos2B v3 1 1 cos2C w3 1 1 同理 ?v2- ( + ), ?w2- ( + ). 1+cosB 2 v+u v+w 1+cosC 2 w+u w+v 1 u3+v3 v3+w3 w3+u3 于是 f?u2+v2+w2- ( + + ) 2 u+v v+w w+u 1 =u2+v2+w2- (u2-uv+v2+v2-vw+w2+w2-wu+u2) 2 1 1 1 = (uv+vw+wu)= (等号当且仅当 u=v=w,即 a=b=c,x=y=z= 时成立.) 2 2 2 1 故知[f(x,y,z)]min= . 2
又证:由约束条件可知

? ? ? ? ?

b2+c2-a2 x= , 2bc a2+c2-b2 y= , 2ac 2 2 2 a +b -c z= . 2ab

? ? 故? ? ?

(a+b+c)(-a+b+c) 1+x= , 2bc (a+b+c)(a-b+c) 1+y= , 2ac (a+b+c)(a+b-c) 1+z= . 2ab ⑴

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ?(b +c -a ) +(c +a -b ) +(a +b -c ) ?. 得,f(x,y,z)= ? bc(b+c-a) ac(c+a-b) ab(a+b-c) ? 2(a+b+c)? ?

显然有 a+b-c>0,a-b+c>0,-a+b+c>0.由 Cauchy 不等式有,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?(b +c -a ) +(c +a -b ) +(a +b -c ) ?· ? bc(b+c-a) ac(c+a-b) ab(a+b-c) ? [bc(b+c-a)+ca(c+a-b)+ab(a+b-c)]?(a2+b2+c2)2. ? ?

(a2+b2+c2)2 故 f(x,y,z)? 2 2(a+b+c)(b c+bc2+ac2+a2c+a2b+ab2-3abc) 1 a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2 = · 2 2 . 2 2 2 2a b +2b c +2c2a2+b3c+b3c+a3b+a3c+c3a+c3b-abc(a+b+c) 下面证明 a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2 ?1.即证 2a b +2b c +2c2a2+b3c+b3c+a3b+a3c+c3a+c3b-abc(a+b+c)
2 2 2 2

a4+b4+c4?a3b+a3c+b3c+b3a+c3a+c3b-(a+b+c)abc. ⑵ 4 3 3 2 2 2 2 由于,a -a b-a c+a bc=a (a -ab-ac-bc)=a (a-b)(a-c).故⑵式即 a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)?0. 不妨设 a?b?c.则 a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)?a2(a-b)(b-c)-b2(a-b)(b-c)=(a2-b2)(a-b)(b-c)?0, 又,c2(c-a)(c-b)?0 于是 a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+ c2(c-a)(c-b)?0 成立.等号当且仅当 a=b=c 时成立. 1 1 1 1 1 所以,f(x,y,z)? ,且 f( , , )= . 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (b +c -a ) (c +a -b ) (a +b -c ) ? 又证:令 p= (a+b+c),⑴式即 f(x,y,z)= ? ? bc(p-a) + ac(p-b) + ab(p-c) ?(由 Cauchy 不等式) 2 8p? ?

1 (a2+b2+c2)2 1 (a2+b2+c2)2 ? · = · . 8p bc(p-a)+ca(p-b)+ab(p-c) 8p p(ab+bc+ca)-3abc 而 a2+b2+c2=2(p2-4Rr-r2),ab+bc+ca=p2+4Rr+r2,abc=4Rrp.(*)
2 2 2 (p2-4Rr-r2)2 1 1 (p -4Rr-r ) 故,f(x,y,z)? · 2 = 2· 2 . 2p p(p +4Rr+r2)-12pRr 2p p -8Rr+r2



(p2-4Rr-r2)2 ?p2?p4+16R2r2+r4-8p2Rr-2p2r2+8Rr3?p4-8p2Rr+p2r2 p2-8Rr+r2 (**)

?16R2+8Rr+r2?3p2?4R+r? 3p. 最后一式成立.故得结论. 关于(*)式:由△=rp,得 r2=

△2 p(p-a)(p-b)(p-c) (p-a)(p-b)(p-c) = = p2 p2 p ①

p3-(a+b+c)p2+(ab+bc+ca)p-abc -p3+(ab+bc+ca)p-abc = = ; p p abc abc 又由△= ,得 4Rr= .故 4Rr+r2=-p2+(ab+bc+ca). 4R p 就是

ab+bc+ca=p2+4Rr+r2; a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=4p2-2p2-8Rr-2r2=2(p2-4Rr-r2); abc=4R△=4Rrp.

A B C 关于(**)式:由 r=4Rsin sin sin ,故 2 2 2 A B C 4R+r=4R+4Rsin sin sin =4R+4R(cosA+cosB+cosC-1)=R(3+ cosA+cosB+cosC) 2 2 2 A B C =2R(cos2 +cos2 +cos2 ). 2 2 2 A B C 而 p=RsinA+RsinB+RsinC=4R cos cos cos . 2 2 2

A B C A B C 故 4R+r? 3p?cos2 +cos2 +cos2 ?2 3cos cos cos . 2 2 2 2 2 2 A B C 又 cos2 +cos2 +cos2 ?3 2 2 2 ? 3 ? 2
3 3

A B C cos2 cos2 cos2 ,而 3 2 2 2

3

A B C A B C cos2 cos2 cos2 ?2 3cos cos cos 2 2 2 2 2 2

A B C A B C 3 3 ? cos cos cos ? cos cos cos ? ? sinA+sinB+sinC?3sin .(由琴生不等式可证) 2 2 2 2 2 2 8 3

? 0,当n为完全平方数, ? 三、 对每个正整数 n, 定义函数 f(n)=? 1 (其中[x]表示不超过 x 的最大整数, ],当n不为完全平方数. ?[ ? { n}
{x}=x-[x]).试求

∑f(k)的值.
k=1

240

解:对于任意 n(n 不是完全平方数),存在 k,满足 k2<n<(k+1)2,则 1?n-k2?2k.此时 n=k+{ n}. n} ? 1 ?=? 1 ?=? n+k2 ?=?2k+{ 2 ?. ? n-k? ? n-k ? ? n-k ? ? ? ? ?{ n}? ? ? ? 2k 2k+{ n} 2k+1 2k 2k+1 ?2k+{ n}? 由于 2k<2k+{ n}<2k+1. 故 从而在 即 ? 2< 2 < 2. 2与 2之间没有整数. ? n-k n-k n-k n-k n-k ? n-k2 ? 2k ? =? .若记 n-k2=i(i=1,2,?,2k),又 240=152+15. ?n-k2? 2×15? 2k ?2k? 于是,∑f(k)=∑∑? ?+∑? ∑ ?2k? ? i ? i=1 ? i ?.由于 k<i?2k 时? i ?=1 故i=k+1? i ?=k.于是 k=1 k=1 i=1
240 14 2k 15 2k

∑f(k)=∑∑?2k?+∑k=(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105=768. ?i?
k=1 k=1 i=1 k=1

240

15

k

14

即所求值为 768. 又解:为计算
2k

∑?2k?,画一 2k×2k 的表格,在第 i 行中,凡 i 的倍数处填写*号,则这行的*号共有?2k? ?i? ?i?
i=1

2k

个,全表共有
2k

∑?2k?个.另一方面,第 j 列中的*号个数等于 j 的约数的个数 T(j),从而全表中的*号个数等 ?i?
i=1 2k 2k j=1



∑T(j).故∑?2k?=∑T(j).以 2k=6 为例: ?i?
j=1 i=1

j i 1 2 3 4 5 6
( +1)2

1 *

2 * *

3 * *

4 * * *

5 *

6 * * *

* * ③

n



∑ f(a)=∑∑T(j)=n[T(1)+T(2)]+(n-1)[T(3)+T(4)]+?+[T(2n-1)+T(2n)].
a=1 k=1 j=1

n

2k

由此,

∑f(k)=∑(16-k)[T(2k-1)+T(2k)]
k=1 k=1

162

16



记 an=T(2k-1)+T(2k).可得 ak 的取值如下表(k=1,2,?15): k ak 1 3
162

2 5
16

3 6

4 6

5 7

6 8

7 6

8 9

9 8

10 8

11 8

12 10

13 7

14 10

15 10 ⑤

∑f(k)=∑(16-k)a =783.
k
k=1 k=1

又当 k∈{241,242,?,255}时,设 k=152+r(r=16,17,?30).则 r r r r 30 1 31 k-15= 152+r-15= ,从而 < < ,于是 1? < < <2. 2 2 31 30 r { k} r 15 +r+15 15 +r+15 故,? 1 ? =1,k∈{241,242,?,255},又 f(256)=0, ?{ k}?

所以

∑f(k)=783-15=768.
k=1

240


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