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椭圆的弦中点问题 -解析版


东光一中 高二 年级 数学 学科课时练
出题人: 许淑霞 出题时间:2015.1.22

椭圆的中点弦问题学案
学习目标:会求与椭圆的中点弦有关的问题 掌握一种思想:设而不求,整体代换的思想 体会两种方法:判别式法与点差法 学习重点:能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程:

一、方法总结:
1、与椭圆的弦的中点有关的问题,我们称之为椭圆的中点弦问题。 2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是: (1)判别式法:联立直线和椭圆的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、 根与系数的关系、中点坐标公式求解。 (2) 点差法: 若设直线与椭圆的交点 (弦的端点) 坐标为 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) , 将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关 的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。 3、设直线的技巧: (1)直线过定点时引入参数斜率,利用点斜式设方程,注意讨论斜率存在与 不存在两种情况。 (2)直线斜率一定时引入参数截距,利用斜截式设方程。 (3)已知一般直线可设直线的斜截式方程,利用条件寻找 k 与 b 的关系。 3、直线与椭圆相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高 考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型: (1)求过中点的弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题; (3)求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

二、题型复习:
(一) 、求过中点的弦所在直线方程问题
1 1 x2 ? y 2 ? 1 ,求过点 p( , )且被点 p 平分的弦所在直线方程 例 1、已知椭圆 2 2 2

注意:解决过中点的弦的问题时判断点 M

位置非常重要。

(1)若中点 M 在圆锥曲线内,则被点 M 平分的弦一般存在;
1

(2)若中点 M 在圆锥曲线外 ,则被点 M 平分的弦可能不存在。 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 结论: ( 1 ) 设椭圆 a 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,则

k AB

b 2 x0 ?? 2 ? b2 a y0 , k AB kop ? ? 2

a

b 2 x0 x2 y2 k AB ? 2 ? ? 2 ?1 2 a y0 。 b (2) 设双曲线 a 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) 则

(3)设抛物线 y ? 2 px 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) 则
2

k AB ?

p y0 。

x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分, 16 4 求这条弦所在的直线方程。 解法一:设所求直线方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0 又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根, 于是 8(2k 2 ? k ) x1 ? x 2 ? , 4k 2 ? 1 x ? x2 4(2k 2 ? k ) ? ? 2, 又 M 为 AB 的中点,所以 1 2 4k 2 ? 1 1 解得 k ? ? , 2 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,M(2,1)为 AB 的 中点, 所以 x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y2 ? 2 , 又 A、B 两点在椭圆上,则

练习 1、过椭圆

x1 ? 4 y1 ? 16 , x2 ? 4 y2 ? 16 ,
两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , y ? y2 x ? x2 1 1 ?? 1 ? ? ,即 k AB ? ? , 所以 1 2 x1 ? x2 4( y1 ? y 2 ) 2 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。
2 2 2 2
2 2

2

2

(二)过定点的弦和平行弦的中点轨迹
例 2:已知椭圆
x2 ? y2 ? 1, 2
2

(1) 过点 P?2,0? 引椭圆的割线,求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。 (2) 求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程。

? y ? k ( x ? 2) ? 解法一: 设过点 P?2,0? 的直线方程为 y ? k ( x ? 2) , 联立方程 ? x 2 , 消去 y , 2 ? ? y ?1 ?2
?1 ? 整理得 ? ? k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 1 ? 0 ,设弦的两个端点为 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? ,中 ?2 ?

点 M ?x, y ? , 则x ?
x1 ? x2 x 4k 2 ? ,k2 ? ,代入 y ? k ( x ? 2) 2 4 ? 2x 2 1 ? 2k
x 1 ( x ? 2) 2 ? ? x?x ? 2? ,即 ( x ? 1) 2 ? 2 y 2 ? 1 4 ? 2x 2

得 y 2 ? k 2 ( x ? 2) 2 ?

又过点 P?2,0? 的直线与椭圆相交,所以 ? ? ? 4k 2 解得 0 ? k 2 ?

?

?

2

?1 ? ? 4? ? k 2 ? 4k 2 ? 1 ? 0 ?2 ?

?

?

1 x 1 ? ,解得 0 ? x ? 1 。 ,即 0 ? 2 4 ? 2x 2 当 k 不存在时,不满足题设要求,舍去。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是 ( x ? 1) 2 ? 2 y 2 ? 1( 0 ? x ? 1 )

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 解法二:设弦的两个端点为 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? ,中点 M ?x, y ? ,则 ? 22 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?2
两式相减得
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y 2 ? 0 ,整理得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , 2

由题意知 x1 ? x 2 ,所以
y x ? , x ? 2 ? 2y

y1 ? y 2 x1 ? x2 y x ,所以 ? ? ? k AB ,又 k AB ? x?2 x1 ? x2 ? 2? y1 ? y 2 ? ? 2 y

整理得 ( x ? 1) 2 ? 2 y 2 ? 1 。又过点 P?2,0? 的直线与椭圆相交,与解法一同理可得
0 ? x ? 1。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是 ( x ? 1) 2 ? 2 y 2 ? 1( 0 ? x ? 1 )

3

注意:⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件
? ? 0 ,并求出 x (或 y )的取值范围;⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。

练习 1、 过椭圆 中点的轨迹方程。

x2 y2 ? ? 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 64 36

解法一:设弦 PQ 中点 M( x, y ),弦端点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),
? 9 x1 2 ? 16 y1 2 ? 576 2 2 2 2 则有 ? 2 ,两式相减得 9( x1 ? x2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 0 , 2 ?9 x 2 ? 16 y 2 ? 576

又因为 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y ,所以 9 ? 2 x( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 y( y1 ? y2 ) ? 0 , 所以

y1 ? y 2 9 x y 9x y?0 ? ? ,而 k PQ ? ,故 。 x ? (?8) 16 y x ? 8 x1 ? x2 16y

化简可得 9x 2 ? 72x ? 16y 2 ? 0 ( x ? ?8 )。 解法二: 设弦中点 M ( x, y ) , Q ( x1 , y1 ) , 由x ?
x1 ? 8 y ,y ? 1 可得 x1 ? 2 x ? 8 , 2 2

y1 ? 2 y ,
x y 4( x ? 4) 2 4 y 2 ? ? 1, 又因为 Q 在椭圆上,所以 1 ? 1 ? 1 ,即 64 36 64 36
( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?8 )。 所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 16 9
1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为 2 75 25
1 2
2 2

练习 2、已知椭圆

这条弦的中点 M ,求点 M 的坐标。 解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0

y x y1 x ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 75 25 75 25
2 2 2 2

两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0

4

即 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 0

?

y1 ? y 2 3 ?? x1 ? x2 2 y0

? k?

y1 ? y 2 ?3 x1 ? x2

? ?

1 3 ? 3 ,即 y 0 ? ? [来源:学.科.网] 2 2 y0

1 1 ? 点 M 的坐标为 ( ,? ) 。 2 2 (三) 、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例 3、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的 中点的横坐标为 解:设椭圆的方程为
1 ,求椭圆的方程。 2

y2 x2 ? ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 50 ┅┅① a 2 b2

设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? 1 1 , y0 ? 3 x0 ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 2 2
2 2 2 2

y x y x 又 12 ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 a b a b

两式相减得 b2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a 2 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 即 ? b2 ( y1 ? y2 ) ? a 2 ( x1 ? x2 ) ? 0

?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2

?

a2 ? 3 ┅┅② b2

联立①②解得 a 2 ? 75 , b2 ? 25

? 所求椭圆的方程是

y2 x2 ? ?1 75 25

x2 y2 练习 3、平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:a2+b2=1(a>b>0)右焦点的直线 1 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为2. (1)求 M 的方程; 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), y2-y1 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 则a2+b2=1,a2+b2=1, =-1, x2-x1

5

b2(x1+x2) y2-y1 由此可得 2 =- =1. a (y1+y2) x2-x1 y0 1 ∵x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,x =2, 0 2 2 ∴a =2b .① 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),∴a2-b2=3.② 由①②得 a2=6,b2=3. x2 y2 ∴M 的方程为 6 + 3 =1.

6


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