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2.2.1对数与对数运算1


2.2.1对数与对数运算
第一课时 对数

普通高中课程标准实验教科书数学必修一 2.2.1对数

根据国务院发展研究中心 2000年发表的《未来20年我国发展的 前景分析》,2000年我国GDP为a亿 元,如果每年平均增长率为7.3%,那 么经过多少年GDP是2000年的2倍? 分析:设经过X年,则有: a(1 ? 7.3%)

? 2a
x

问题

整理得: 1.073 ? 2 ? x ? ?
x

解 决

为了解决“已知底和幂,求指数”这类问题,引进对数.

一般地,如果 a x ? N ?a ? 0, a ? 1?,那么数x 叫做以a 为底N的对数,记作

x ? loga N , (a ? 0, a ? 1);
其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意:①底数的限制:a>0且a≠1

②对数的书写格式

log a N

强调:对数是一个数!

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系

a x ? N ? x ? loga N , (a ? 0, a ? 1);

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指数和对数的关系 (a>0,且a≠1)

指数
幂 真数

对数

a ? N ? log a N ? x
x
底数
底数 指数 幂 ← a → ← x → ← N → 底数 对数 真数

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系

a ? N ? x ? loga N , (a ? 0, a ? 1);
x

例如: 若42 ? 16, 则

2 ? log4 16
1 ?log4 2 2

若4 ? 2, 则
若10?2 ? 0.01 则
m

1 2

则 m ?log 2 18 若2 ? 18,

-2 ?log10 0.01

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思考 1.为什么限制 a ? 0, ? a ?1 x a 这是因为 ? N ?a ? 0, a ? 1? 2. N能小于零或等于零吗?
对 数 x ? loga N , (a ? 0; a ? 1);

(不能,这是因为a>0,ax=N>0)

结论:对数式中真数要大于零。 (也就是说零和负数没有对数!)

真数大于零

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两个重要对数:
1、常用对数: 以10为底的对数

log10 N

简记为

lg N
(e≈2.71828…)

2、自然对数: 以e为底的对数

loge N

简记为

ln N

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例1:将下列指数式写成对数式, 对数式写成指数式:
解: (1)

5 ? 625 ? 4= log5 625 1 1 ?6 ? (2) 2 ? ? -6= log 2 64 64 m ?1? ? m ?log 1 5.13 (3) ? ? ? 5.13 ? 3 ? 3?
4

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1 ?4 ? log 16 ? ? 4 ? ( ) ? 16 1 (4) 2 2
2.303 ? ln 10 ? 2 . 303 ? e ? 10 (5 )

? (6) lg 0.01 ? ?2 ?
方法小结:

10?2 ? 0.01

指对数的互化关键是抓住 对数式和指数式的关系,弄清楚各个 量在对应式子中扮演的角色。

1.把下列指数式写成对数式:
5 3= log 8 (2)2 ? 32 5= log2 32 (1)2 ? 8 2

3

1 ? 1 1 1 1 1 ?1 3 (3)2 ? -1= log 2 (4)27 ? ? = log 27 2 3 3 2 3 2.把下列对数式写成指数式: (1) log3 9 ? 2 32 ? 9

(2)log5 125 ? 3

5 ? 125
3

1 (3) log 2 ? ?2 4
1 (4) log 3 ? ?4 81

2

?2

3?4

1 ? 4 1 ? 81

例2:求下列各式中x的值 :

2 (1) log 64 x ? ? 3 (3) lg100 ? x

(2) log x 8 ? 6
2

(4) ? ln e ? x 2 (1)解: ∵ log 64 x ? ? 3 2 2 2 ?? 3 3 ? 64 3 =x ? x ? 64 3 ? ( ) 4
?

求真数

4

?2

1 ? 16

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(2) log x 8 ? 6

求底数

解: ∵ log x 8 ? 6, ∴ 又∵ x

x ?8
6

? 0 ∴ x ?8
x

1 6

? (2 ) ? 2

3

1 6

(3) lg100?

解: ∵ lg100? x



求对数
2

10 ? 100 ? 10

x

x?2

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对数的性质
探究活动1 求下列各式的值:

(1) log3 1 ??????????????????? (2) l o g 2 1 ? 0 0
0 (3) log0.5 1 ????????????????? (4) lg1 ? 0

思考:你发现了什么?

loga 1 ? 0 “1”的对数等于零,即

等价

a ?1
0

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四、对数的性质
探究活动2 求下列各式的值:

(1) log3 3 ??????????????????? 1 (2) l o g 2 2 ? 1
1 (4) lg10 ? (3) log0.5 0.5 ?????????????? 1

思考:你发现了什么?

底数的对数等于1,即

loga a ? 1 等价 a1 ? a

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1、负数和零没有对数

2、“1”的对数等于零,即 loga 1 ? 0

loga a ? 1 3、底数的对数等于“1”,即

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3.求下列各式的值:

(1)log 2 16? 4

?-3 (2)lg0.001

(3)log 15 15 ? 1 (4)log 0.4 1? 0 (5)log 7 343 ? 3

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? 1、知识小结

(1)对数的概念
叫做以 其中

一般地,如果 a x ? N ?a ? 0, a ? 1? ,那么数 x

a 叫做对数的底数,N 叫做真数 。
定 义 以10 为底的对数

a 为底N的对数,记作 x ? loga N ,(a ? 0, a ? 1)

(2)两类特殊对数
名称 常用对数 符 号

lg N
ln N

自然对数



e 为底的对数

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(3)对数与指数间的关系 x log a N ? x 当 a ? 0, a ? 1 时, a ? N ? (4)对数的基本性质
性质 1

零和负数 没有对数

性质 1的对数是 0 ,即log a 1 ? 0 ,(a ? 0, a ? 1) 2 (a ? 0, a ? 1) 性质 底数的对数是1 ,即 log a a ? 1 , 3


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