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正四面体的外接球半径的求法


正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体, 而球又是高中教材中唯一保 留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。现把求四 面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义,希 望它对高三备考的师生能有启发作用。 如右图:已知正四面体 A ? BCD ,H 为底面的中心,O 为外接球的 球心,设棱长为 a,外接球半径为 R,内切球半径为 r,试求 R. 方法一:易知 R+r=AH=
6 a ,由等积法得: 3

VA?BCD ? VO? ABC ? VO?BCD ? VO?CDA ? VO?DAB

所以:
1 1 AH ? S?BCD ? 4 ? r ? S ?BCD 3 3

故 r ? AH , R ? AH

1 4

3 4

所以

R?

6 a. 4

方法二:如图 ?AHM ? ?BNM 所 可得
R? 6 a. 4

HM ON 1 r 6 ? ,即 ? ,又由 R+r=AH= a AM OA 3 R 3

方法三:

如图设延长 AH 交球面上一点 K,则 AK=2R,在直角三角形 ABK 中由射影 定理得 AB 2 ? AH ? AK 即 a 2 ?
6 6 a ? 2 R 故得 R ? a. 3 4 2 显然正方体 a 的正方体, 2 2 6 a) ? 2 R 故可得 R ? a. 2 4

方法四: 如图正四面体可补成一个边长为 的外接球即为正四面体的外接球,而 3(

小结:此四种方法立体交叉,思想性、艺术性各有千秋,对培养学生 的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。


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