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2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4


2015 年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟 4
一、填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1.若过点 P(1,3) 作圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线,则两切点所在的直线方程为_________________; 2.已知 f ( x) ? 5 x ?
2

1 ? 3x ,则 f ( x) 的值域为________________

_; 2


3、如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项的最小值是 4、已知 sin ? ? cos ? ?

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 2



5、将 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 这十个数排成一个数列,使得每相邻两项之和皆是质数,并且首尾两 项之和也是质数,你的填法是: 6、已知 P 是椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 上 一 点 , F1 是 其 左 焦 点 , Q 在 PF1 上 且 满 足 25 9


? ? 1? ? ? ? OQ ? ? OP ? OF1 ? , OQ ? 3 ,则点 P 到该椭圆左准线的距离为 2? ?

7、正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 1 ,侧棱长为 2 ,过点 A 作截面与侧棱 BD, CD 分别相交与 点 E , F ,当 ?AEF 的周长最小时, ?AEF 的面积为 .

8 、等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若对任意的正整数 n 都有

Sn 5n ? 3 ,则 ? Tn 2n ? 1

a20 = b7
9、已知 ?1 ? x ?
50



? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?

? a50 x 50 , 则a1 ? 2a2 ? 3a3 +

? 25a25 的值为

10 、将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 的每一个全排列皆看成一个八位数,则其中是 11 倍数的八位数的个数 为 .

1

二、解答题(每小题 20 分,共 100 分) 11.设数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? ? n ? N ? ? . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

12、设 a, b, c 为正数,证明:

? ab ? ? ab ?? ac ? ? ac ? a ? ab ? b ? a ? ac ? c ? 4 ? ? ?? ?? ??? ? . ? a ? b ? ? a ? b ?? a ? c ? ? a ? c ?
2 2 2 2

2

2

13、设椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , PQ 为它们 a 2 b2

的一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF .

14、 如图, C 为半圆弧 O 的中点, 点 P 为直径 BA 延长线上一点, 过点 P 作半圆的切线 PD ,D 为切点, ? DPB 的平分线分别交 AC 、 BC 于点 E、F ;

15 、若整数 a , b 既不互质,又不存在整除关系,则称 a , b 是一个“联盟”数对;设 A 是集

M ? ?1, 2,

, 2014 ? 的 n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,求 n 的最大值.

2

2015 年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟 4
1、 x ? 3 y ? 9 . 2、 ? 2 2, ??

参考答案

?

?

3、5

4、

7 8

5、 (1, 2,3,8,5,6,7,10,9, 4) , ?1,6,7,4,3,2,5,8,9,10?

6、5

7、

3 55 64

8、

64 9

9、 50 ? 2

48

10、3456

二、解答题(每小题 20 分,共 100 分) 11、(Ⅰ)解: a1 ? 1, S n ? ∴ S n ?1 ?

n 1 an ?1 ? n ? n ? 1?? n ? 2 ?? n ? N ? ? 2 6



n ?1 1 an ?1 ? n ? n ? 1?? n ? 1?? n ? 2 ? 2 6 n n ?1 n(n ? 1) an ? ∴ an ? S n ? S n ?1 ? an ?1 ? ② 2 2 2 a a 即 ? n ?1? an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,从而 n ?1 ? n ? 1 (n ? N? , n ? 2) n ?1 n 1 当 n ? 1 时,由②式得 a1 ? a2 ? 1 ,∵ a1 ? 1 , ∴ a2 ? 4 2 1 1 由①式得 a1 ? a2 ? ? 2 ? 3, ∵ a1 ? 1 , ∴ a2 ? 4 , 2 6 an ?1 an ? ? 1 对任意 n ? N? 都成立. 从而 n ?1 n
所以 ?

an ? an ? 2 ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,即 ? n ,所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? n . n n ? ?

(Ⅱ)证:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? an 2 3

?

1 1 1 1 ? 1? 2 ? ? ? 2 n 2 2 ? 3 3? 4

?

1 (n ? 1) ? n

?

5 ?1 1? ?1 1? ?? ? ??? ? ?? 4 ? 2 3? ?3 4?
2

1? 7 1 7 ? 1 ?? ? ?? ? ? ? n ?1 n ? 4 n 4
2

12、证:由于 (a ? b) ? 4ab, (a ? c) ? 4ac ,因此,

ab a?b ac a?c ? ? , 。 a?b 4 a?c 4
???5'
2

只要证, a ? ab ? b ? a ? ac ? c ?
2 2 2 2

? a ? b ? ? ? a ? b ?? a ? c ? ? ? a ? c ?
2

,?10'

2 2 2 2 2 两边平方,即要证 (a ? ab ? b )(a ? ac ? c ) ? a ? 2ab ? 2ac ? bc ,

????15’ ????20’
3

再平方 ,得 (a ? bc) ? 0 ,此为显然.
2

13、证:设 P ? x1 , y1 ? 在抛物线上, Q( x2 , y2 ) 在椭圆上,焦点 F ? 0,

? ?

p? ? ,则抛物线切线方程为 2?

x1x ? p ? y ? y1 ? ,椭圆切线方程为
?

y2 y x2 x ? 2 ? 1 它们为同一直线, a2 b
① ???? 4'

a 2 x2 b2 y2 a 2b2 ? ? ? y1 y2 ? ?a 2 , x1 x2 ? 2b2 . x1 ?p py
y1 ? p p 1 2 p y2 ? p ? ? y1 ? y2 ? ? a 2 2? 2 ?4 2 x1 x2 2b 2

? k FP ? k FQ ?



???? 8'

设公切线 PQ 方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程并由 ? ? 0 ? m ? ?

pk 2 , 2

? x1 ? pk pk 2 ? ? PQ : y ? kx ? , 与抛物线切线方程比较可得 ? 1 2 y1 ? pk 2 ? ? 2
将公切线方程代入椭圆方程,并令

p2k 4 ? ?0?m ?a ?k b ? ? a 2 ? k 2b2 ? p 2 k 4 ? 4b 2 k 2 ? a 2 ? 0 , 两曲线有相同焦点, 4
2 2 2 2

?c ?

p p 2 ? 4b 2 ? p 2 ? 4c 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) ,代入上式解得 k 2 ? ???? 12’ 2 p2

1 p 2 ? 4b2 p 2 ? 4b2 2a 2 a2 2 pa 2 2 pa 2 p ? y1 ? p ? ? ? , y2 ? ? ? ? 2 ?? 2 ?? , 2 2 2 2 2 p 2p p y1 p ? 4b 4a ? 4b ? 4b 2
???? 16’

? y1 +y2 ?

4a 2 ? p 2 2b2 ,代入②式,得 ? 2p p
1 2 p 2b 2 p ? ? ? a2 a 2 ? b2 ? b2 ? a 2 4 2 p ? ? ? ?1 2b 2 2b 2
????20'

? k FP ? k FQ

? PF ? QF .
14、证:连接 OD 、 DE ,

OD ? PD, CO ? PO,
4

??DPB ? ?DOP ? ?DOP ? ?DOC ???? 4' ??DPB ? ?DOC ? 2?DAC ? 2?DBC ? 2?DPF .


?DAC ? ?DPE, ?DPF ? ?DBF ???? 8'

? P、A、E、D; P、B、F、D 分别四点共圆。 ??DEC ? ?DPA, ?DFC ? ?DPA,??DEC ? ?DFC
? D、E、F、C 四点共圆, ??CDF ? ?CEF ? ?PEA ? ?PDA.
???? 16' ???? 20' ????12'

15、 解: 称这种子集 A 为 “联盟子集” ; 首先, 我们可构造一个联盟子集, 其中具有 504 个元素. 为 此,取 A ? 2k k ? 504,505,

?

,1007? , 以下证, 504 就是 n 的最大值.
???4’

今设 A 是元素个数最多的一个联盟子集, A ? ?a1, a2 ,

, an ? ,若 a j 是集 A 中的最小数,显

然 a j ? 1 ,如果 a j ? 1007 ,则得 2a j ? 2014 ,即 2a j ? M ,显然 2a j ? A , (因 2a j 与 a j 有整 除关系) . ????8’

今在 A 中用 2a j 替代 a j ,其它元素不变,成为子集 A? ,则 A? 仍然是联盟子集,这是由于对 于 A 中异于 a j 的任一元素 ai ,因 a j 与 ai 不互质,故 2a j 与 ai 也不互质;再说明 2a j 与 ai 没有整 除关系:因 a j ? ai ,则 2a j ? ai ;又若 ai 2a j

,设 2a j ? kai ,

(显然 k ? 1, 2 ,否则 ai , a j 有整除关系) ,则 k ? 2 ,于是 ai ? a j ,这与 a j 的最小性矛盾! ????16’ 因此 A? 仍然是联盟子集,并且仍是 n 元集;重复以上做法,直至子集中的元素皆大于 1007 为止, 于是得到 n 元联盟子集 B ? ?b1 , b2 , 即 B ? ?1008,1009,

, bn ? ,其中 1007 ? bj ? 2014 .

,2014? ,因任两个相邻整数必互质,故在这 1007 个连续正整数中至多能
????20’

取到 504 个互不相邻的数,即 n ? 504 . 又据前面所述的构造可知, n 的最大值即为 504 .

5


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