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1.3.2直线的极坐标方程


§1.3.2直线的极坐标方程

复习引入:
怎样求曲线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 ? / 4,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

思考: 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ? ? ? ( ? ? 0)

? 4 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4 ? 5 坐标方程。 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不 方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

? ? ? ( ? ? 0)表示极角为?的一条射线。 ?=? ( ? ? R)表示极角为?的一条直线。

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直 线l 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, 在?MOA 中有
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴

3、过某个定点,且与极轴成一定
的角度

解:在直线l上任意取点M ( ? , ? ) ? A(2, ) 4 ? MH ? 2 ? sin

练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4 ?
A

?

?

(2, ) 4

M

?
?
? 2
?

4 O 在Rt ?OMH中, MH = OM sin ? ,

H

即? sin ? ? 2 所以,过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为? sin ? ? 2

?

2、求过A(?2,3)且斜率为 2的直线的极坐标方程。
解:由题意可知,在直 角坐标系内直线方程为 2x ? y ? 7 ? 0 设M ( ? ,? )为直线上的任意一点, 将x ? ? cos? , y ? ? sin ?代入直线方程 2 x ? y ? 7 ? 0得 2 ? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0这就是所求的极坐标方 程

1 3、极坐标方程 sin ? ? ( ? ? R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线

C、一条直线

D、一条射线

1 2 2 解:由已知sin ? ? 可得 cos? ? ? 3 3 2 y 2 所以得 tan? ? ? 即 ?? 4 x 4 两条直线l1 : 2 x ? 4 y ? 0, l2 : 2 x ? 4 y ? 0 所以是两条相交直线

4、直线? cos ? ? 2关于直线?= 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、? cos ? ? ?2, B、? sin ? ? 2 C、? sin ? ? ?2, D、?=2sin ?
解:此题可以变成求直 线x ? 2关于y ? x 的对称直线的问题 即y ? 2化为极坐标方程为 ? sin ? ? 2

?

5、在极坐标系中,已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C

?=12 ? sin(? ? ),则过圆心与极轴垂直 的
)

?

A、? sin ? ? 3 3B、? sin ? ? ?3 3 C、? cos? ? ?3D、? cos? ? 3

6、在极坐标系中,与圆 ?=4 sin ?相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、? sin ? ? 2, B、? cos? ? 2 C、? cos? ? 4, D、? cos? ? ?4

解:圆?=4 sin ?的化为直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0即x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x ? 2化为极坐标方程为 ? cos? ? 2

7、曲线?=0,?= ( ? ? 0)和?=4所围成的 3 面积 _________ .

?

解:由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8? 即S ? ? 4 ? 6 3
A

O

B

X


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