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高二预科——1.数列的概念和函数性质


北大版高中数学上课教案

个 性 化 教 学 设 计 教 案
年级: 上课时间:

新高二预科

课题名称: 数列的概念和和函数特征 课时: 授课教师:

1.知识与技能:通过实例,理解数列的概念以及他的表示方法; 教学目标 2. 过程与方法:引导童鞋们通过观察,推导,归纳抽象出数列常见的通

项公式求法; 3.情态与价值:培养观察、归纳的能力,培养学生的应用意识. 教学重点:理解数列的函数性质,探索并掌握数列简单的通项公式求法;

教学重点 与难点 教学难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
新课探究 一.等数列及其相关概念

一般地,按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的一般形式可以写成

a1, a2 , a3, ?, an ,?, 简记为数列 ?an ?,其中数列的第 1 项 a1 ,也称为首相, an 是数列的第 n 项,也叫做数列
的通项. 知识剖析: (1)数列和集合的区别 数列 各项必须是 数列中的数是有 例如:1,2,3 与 1,3,2 代表两个数列 同一个数可以在数列中重复出现 例如:1,1,1,1,1,1,1 ? (2) ?an ?和 an 是两个不同的概念 (3)数列的项和它的项数是两个不同的概念 例 1.下列说法中,正确的是( ) B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 D.数列 a, b, c 和数列 c, b, a 一定不是同一数列 ) B.数列 a, a, a, a, a, a, a 与数列是 a, a, a, a 相同的数列 D.数列的项和它的项数是两个不同的概念 元素可以是 集合中的元素具有 集合 也可以是 性

例如: ? 1,2,3?___?2,1,3? 集合中的元素具有 性

例如:由 1,1,1,1,1,1,1 ? 组成的集合只能写成

A.数列 1,3,5,7 可表示成 ? 1,3,5,7? C.数列的各个项可以相等 变式练习:下列说法中,正确的是( A.1,3,5,7 不可以表示成一个数列 C.数列中 ?an ?和 an 表示一个意思

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二.数列的分类 分类原则 按项数 类型 有穷数列 无穷数列 按项与项间 的大小关系 递增数列 递减数列 常数列 按其它标准 有界数列 无界数列 满足条件 项数 项数 (要写出末项) (末项无法写出用省略“ ? ”“”号结尾)

an ___ an?1 an ___ an?1 an ___ an?1
存在正数 M ,使 an ? M 从第二项起,有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列 其中 n ? N
*

例 2.下列各组元素,能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列还是无穷数列,说明理由. (1) ? 3,?1,1, x,5,7, y,11

(? 1 )的值排成的一列数. (2)当 n 分别取 1,2,3,4, ? 时,
n

三.数列的函数特征 (1)表示方法 ①通项公式法 如果数列 ?an ?的第 n 项与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an ? f (n) ,那么这个式子叫做数列的通 项公式,数列的通项公式就是相应的函数的解析式.如 1,2,3,4,5 的通项公式可以是 an ? n(n ? 5, n ? N*) 知识剖析: 1.已知一个数列的通项公式: (1)可求出数列中的每一项; (2)可以判断某个确定的数是否是这个数列中的项,若该数是数列中项可进一步判断出是数列中的第几项. 2.并不是所有的数列都有通向公式. 如: 2 的近似值精确到 1,0.1,0.01,0.001, ? 所构成的数列:1,1.4,1.41,1.414, ? 3.有些数列的通向公式在形式上不一定是唯一的 如:1,0,1,0,1,0, ? 它可以写成 an ?

1 ? (?1) n ?1 ,也可以写成 an 2

?

?

1( n为奇数 ) 0 (n为偶数)等等形式.

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②图像法 ③列表法 ④数列的递推公式 如果数列 ?an ?的第 1 项(或前几项),且从第 2 项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几 项)之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列的递推公式. 知识剖析: 1.数列的通项公式和数列的递推公式不相同 2.已知数列的递推公式可以确定该数列中的每一项,但在求项时计算量大,因此通过数列的递推公式求某通 项公式是一种很重要的题型. 3.不是所有的数列都有通项公式也不是所有的数列都有递推公式. 例 3.数列 1, 3 , 3 , 3 , ? , 3 是这个数列的第 例 4.已知数列的通项公式为 an ? 2n2 ? n (1)分别求这个数列的第 5 项,第 10 项; (2)试问:15 是不是数列 ?an ?中的项?3 是不是数列 ?an ?中的项?
7 14 21 28

项.

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(2)数列的单调性 一般地,数列 ?an ?中: 如果从第 2 项起,每一项都大于它前面的一项,即 an ?1 > an ,那么这个数列叫作递增数列; 如果从第 2 项起,每一项都小于它前面的一项,即 an ?1 < an ,那么这个数列叫作递减数列; 如果数列 ?an ?每一项相等,即 an ?1 = an ,那么这个数列叫作常数列; 从第 2 项起,有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列,那么这个数列叫作摆动数列. 例 6.已知数列 an ? a ? ( )

1 2

n

( a ? 0 的常数)是判断此数列的单调性.

例 7.已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? n2 ? kn ,若数列 ?an ?是递增数列,则求实数 k 的取值范围.

(3)数列中的最大项,最小项 ①通过比较 an ?1 与 an 的大小关系,得到 ?an ?的增减性,进而得到数列 ?an ?的最大项或者最小项; ②可以转化为常见的函数求数列的最大项或者最小项;

an?1 ?an an?1 ?an ③根据不等式 an?1 ?an 或者 an?1 ?an 来确定数列的最大项或者最小项.
例 8.已知数列 ?an ?的通项公式 an ? ( n ? 1) ? ( 项的项数,没有说明理由.

?

?

9 n ) (n ? N * ) ,试问:该数列 ?an ?有没有最大项?若有求出最大 10

例 9.已知数列 an ?

n ? 97 ( n ? N * )求数列 ?an ?的前 30 项中最大项和最小项分别是第几项? n ? 98

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(4)数列的周期 在数列 ?an ?中,如果存在正整数 T ,使得 an ? an ?T ,对于任意的正整数 n 都成立,那么就称数列 ?an ?为周期 数列,其中 T 就做数列 ?an ?的周期. 例 10.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,求 a2014 , a2017 的值.

例 9.已知函数 f ( x ) ?

1? x ,设数列 ?an ?满足:a1 ? a(a ? 0, a ? ?1) ,an?1 ? f (an ) ,Sn 是数列 ?an ?的前 n 1? x

项和.(1)若 a ? 2 ,求 a2 , a3 , a4 的值 (2)求证: ?an ?是周期数列; (3)探究:是否存在满足 1< a <4 的 a ,使得 S2016 ? 2016

(5)数列与函数的关系 函数 定义域 值域 解析式 图像 由函数的 和 确定 数列 集或者 没有值域之说 子集

y ? f ( x)

an ? f (n)

形式是多样的(可以是点,直线, 只能由顾里的店组成 曲线等组成)

性质

单调性, 奇偶性, 对称性, 周期性, 单调性,最值特使情况下有 最值

性和

例 11.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,数列 ?an ?满足 f (log2n ) ? ?2n .
x ?x a

(1)求数列通项公式 (2)讨论数列 ?an ?的单调性,并证明你的结论.

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四.求数列通项公式的常见求法 (1)观察分析法

(2)前 n 项和法

(3)递推公式法 ?迭代法

?累加法

?累乘法

五.课后作业

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