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1.11算法与程序框图


1.1.1 算法的概念

问题的提出
有一个农夫带一条狼狗、一只羊和 一筐白菜过河。如果没有农夫看管,则 狼狗要吃羊,羊要吃白菜。但是船很小, 只够农夫带一样东西过河。问农夫该如 何解此难题? 方法和过程: 1、带羊到对岸,返回; 2、带菜到对岸,并把羊带回; 3、带狼狗到对岸,返回; 4、带羊到对岸。

[问题]请你写出解

二元一次方程组的详细求解过 程. ? x ? 2 y ? ?1 ①

? ?2 x ? y ? 1



第一步:②-①×2得: 5y=3 ③ 3 第二步: 解③得: y ? 5 1 3 第三步: 将 y ? 代入①,解得 x ? . 5 5 ? a1 x ? b1 y ? c1 对于一般的二元一次方程组 ?a x ? b y ? c
?
2 2

2

其中 a1b2 ? a2b1 ? 0也可以按照上述步骤求解.

算法的概念与特征
算法(algorithm)这个词出现于12世纪, 指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程.

在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可 以用计算机来解决的某一类问题的程序或步 骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而 且能够在有限步之内完成.

算法学的发展
? 随着科学技术的日新月异,算法学也得 到了前所未有的发展,现在已经发展到了各 个领域.有遗传算法,排序算法,加密算法,蚁 群算法等,与生物学,计算机科学等有着很广 泛的联系,尤其是在现在的航空航天中,更是 有着更广泛的应用. 很多复杂的运算都是借助计算机和算 法来完成的,在高端科学技术中有着很重要 的地位.

例1 设计一算法:输入圆 的半径,输出圆的面积
算法分析:
第一步:输入圆的半径 第二步:利用公式“圆的面积= 圆周率×(半径的平方)”计算圆的 面积; 第三步:输出圆的面积。
说明:用语言描述一个算法,最便捷的方式就是按 解决问题的步骤进行描述.每一步做一件事情.

例2 设计房租收费的算法,其要求是: 住房面积80平方米以内,每平方米收费3 元,住房面积超过80平方米时,超过部分, 每平方米收费5元.输入住房面积数,输出 应付的房租. 算法分析:第一步:输入住房面积S 第二步:根据面积选择计费方式:如果S 小于或等于80,则租金为M=S×3,否则 为M=240+(S-80)×5

第三步:输出房租M的值。

例3:用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似根 的算法.精确度为0.005

算法分析:
第一步:令f(x)=x2-2. 因为f(1)<0,f(2)>0, 所以设a=1,b=2.
a?b 第二步:令 m ? 2 ,

判断f(m)是否为0. 若是,则m

为所求; 若否,则继续判断f(a) f(m)大于0还是小于0. 第三步:若f(a) (m)>0,则令a=m;否则,令b=m. 第四步:判断|a-b|<0.005,是否成立?若是,则a或b 为满足条件的近似根;若否,则返回第二步.

算法的基本特点
1、有穷性 一个算法应包括有限的操作步骤, 能在执行有穷的操作步骤之后结束。 2、确定性 算法的计算规则及相应的计算步骤 必须是唯一确定的,既不能含糊其词, 也不能有二义性。 3、可行性 算法中的每一个步骤都是可以在有 限的时间内完成的基本操作,并能得 到确定的结果 。

学习算法的目的:计算机解决任 何问题都要依赖于算法.只有将解 决问题的过程分解为若干个明确 的步骤,即算法,并用计算机能够接 受的“语言”准确地描述出来,计 算机才能够解决问题.

练习一:任意给定一个正实数,设计一个 算法求以这个数为半径的圆的面积. 算法分析: 第一步:输入任意一个正实数r; 第二步:计算以r为半径的圆的面积S=πr2; 第三步:输出圆的面积.

练习二:任意给定一个大于1的正整数n, 设计一个算法求出n的所有因数.
算法分析: 第一步:依次从2~(n-1)为除数去除n,判断 余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是, 则不是n的因数. 第二步:在n的因数中加入1和n; 第三步:输出n的所有因数.

y?? ( 当 x>7 时 ) 1.9 x ? 4.9 ? 求该函数值的算法分析: 第一步:输入每月用水量x;

2,每月用水量x,交纳的水费y ,y与x之间的函 数关系为: (当0≤x≤7时) ?1.2 x,

第二步:判断x是否不超过7.若是,则y=1.2x; 若否,进行第三步 第三步:则y=1.9x-4.9. 第四步:输出应交纳的水费y.

再 见


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