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广东省广州市2012届高三调研测试数学(文)试题


试卷类型:B

广州市 2012 届高三年级调研测试

数 学(文科)
参考公式:锥体体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高.
2

2011.12

球的表面积公式 S ? 4 ? R ,其中 R 为球的半径. 一.选择题:本大题

共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1, 2 ? , B ? ? ? 2,1, 2 ? ,则 A ? B 等于 A. ? ? 2 ? 2.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B. ?1?
?1 ? x , ?a ,
x

C. ?1, 2 ?
x ? 0, x ? 0.

D. ? ? 1,1, 2?

若 f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ,则实数 a 的值等于 C.3
z1 z2

B.2

D.4

3.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z 2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

在复平面内对应的点在 C.第三象限 D.第四象限

4.等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a 3 ? 3 , S 3 ? 6 ,则 a 1 0 的值是 A.1 B.3 C.10 D.55

1 ? 5.已知向量 a ? ? 2 , ? , b ? ? x, 2 ? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于

A. ? ? 2, ? 1 ?
2

B. ? 2 ,1 ?
2

C. ? 3, ? 1 ?

D. ? ? 3,1 ?

6.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是 A.相交 B.相切 3? ? ?
? 2

C.相离

D.与 k 的取值有关

7.已知函数 f ( x ) ? sin ? 2 x ?

? ( x ? R ) ,下面结论错误的是 .. ?

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ?
?
4

B.函数 f ( x ) 是偶函数
? ?

对称

D.函数 f ( x ) 在区间 ? 0,
S1 S2

? ?

上是增函数 2? ?

8.设一个球的表面积为 S 1 ,它的内接正方体的表面积为 S 2 ,则
2 ? 6 ? ? 6

的值等于
? ?

A.

B.

C.

D.

? x ? 0, ? 9.已知实数 x , y 满足 ? y ? 1, 若目标函数 z ? ax ? y ? a ? 0 ? 取得最小值时最优解有无数个, ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0. ?

则实数 a 的值为 A. ? 1 B. ?
1 2

C.

1 2

D.1

10. 定义: 若函数 f ( x ) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f ( x ) 的值域相同, 则称变换 T 是 f ( x ) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f ( x ) 的同值变换的是 A. f ( x ) ? ( x ? 1) , T 将函数 f ( x ) 的图像关于 y 轴 对称
2

B. f ( x ) ? 2

x ?1

? 1 , T 将函数 f ( x ) 的图像关于 x 轴对称

C. f ( x ) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f ( x ) 的图像关于点 ? ? 1,1 ? 对称 D. f ( x ) ? sin ? x ?
? ?

? ?

? , T 将函数 f ( x ) 的图像关于点 ? ? 1, 0 ? 对称 3 ?
开 始

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.在区间 ? 0,1 ? 内任取两个实数,则这两个实数之和小于 0.8 的概 率是 . 12.已知程序框图如右,则输出 的 i =


S ?1

i ? 3


输出i

S ? 100 ?

2 13.已知直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 与抛物线 y ? 8 x 相交于 A 、 B 两


S ? S *i

点, F 为抛物线的焦点,若 F A ? 2 F B ,则 k 的值为


结 束
i ? i?2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如右图, AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , A D ? C E 于 点 D ,若圆 O 的面积为 4 ? , ? A B C ? 30 ,则 A D 的长为 15. (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2 ,
? ?
?

B O

. C

A D E

?? ? ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 cos ? ,则 O A ( O 为极点)所 4?

在直线被曲线 C 所截弦的长度为



三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

如图,在 ? A B C 中,点 D 在 B C 边上, A D ? 3 3 , sin ? B A D ?
co s ? A D C ? 3 5

5 13



A



(1)求 sin ? A B D 的值; (2)求 B D 的长. B A D A C A

17. (本小题满分 12 分) 某城市为准备参加“全国文明城市”的评选,举办了“文明社区”评选的活动,在第一轮暗访评分 中,评委会对全市 50 个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分,每项评分均采用 5 分制,若设“社区服务”得分为 x 分, “居民素质”得分为 y 分,统计结果如下表:
y

社区数量
x

居民素质 1分 2分 3 0 1
b

3分 1 7 0 6 1

4分 0 5 9 0 1

5分 1 1 3 1 3

社 区 服 务

1分 2分 3分 4分 5分

1 1 2
a

0

0

(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 x ? 3 且 y ? 3 )的社区可以进入 第二轮评比,现从 50 个社区中随机选取一个社区,求这个社区能进入第二轮评比的概率; (2)若在 50 个社区中随机选取一个社区,这个社区的“居民素质”得 1 分的概率为
b 的值.

1 10

,求 a 、

18.(本小题满分 14 分)
2 2 各项均为正数的数列 { a n } ,满足 a1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? N ) .

*

(1)求数列 { a n } 的通项公式;
? an2 ? (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . ? 2 ?

19.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知正方形 A B C D 的边长为 2, A C ? B D ? O .将正方形 A B C D 沿对角线 B D 折起, 得到三棱锥 A ? B C D . (1)求证:平面 A O C ? 平面 B C D ;

(2)若三棱锥 A ? B C D 的体积为

6 3

,求 A C 的长.

A

B

O

D

C 20. (本小题满分 14 分) 设椭圆 M :
x a
2 2

?

y

2

?1

2

?

a ?

2 的 右 焦 点 为 F1 , 直 线 l : x ?

?

a a
2

2

与 x 轴交于点 A ,若
?2

???? ???? O F1 ? 2 A F1 ? 0 (其中 O 为坐标原点) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, E F 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直
2 2

径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?
1 3 x ?
3

a 2

x ? 2x ?a ? R ? .
2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f ? ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0 , ?
? ? 1? ? 可作函数 y ? f 3?

? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

广州市 2012 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C B D C A A C D A B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 0 .3 2 12.9 13. 2 2 14.1 15. 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 co s ? A D C ? 所以 sin ? A D C ? 因为 sin ? B A D ? 所以 co s ? B A D ?
2

3 5


4 5

1 ? co s ? A D C ? 5 13 1 ? sin ? B A D ?
2

.??????????????????????2 分


12 13

.??????????????????????4 分

因为 ? A B D ? ? A D C ? ? B A D , 所以 sin ? A B D ? sin ? ? A D C ? ? B A D ?
? sin ? A D C cos ? B A D ? cos ? A D C sin ? B A D ????????????6 分

?

4 5

?

12 13

?

3 5

?

5 13

?

33 65

.??????????????????????8 分
BD ? AD sin ? A B D

(2)在△ A B D 中,由正弦定理,得
33 ? ? 5

sin ? B A D

,????????????10 分

所以 B D ?

A D ? sin ? B A D sin ? A B D

13 ? 25 .????????????????????12 分 33 65

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从表中可以看出, “居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 x ? 3 且 y ? 3 ) 的社区数量为 2 4 个.??????????????? ????????????????2 分 设这个社区能进入第二轮评比为事件 A ,则 P ? A ? ? 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为
12 25 24 50 ? 12 25



.????????????????????4 分

(2)从表中可以看出, “居民素质”得 1 分的社区共有 ? 4 ? a ? 个,???????????6 分 因为“居民素质”得 1 分的概率为
1 10



所以

4?a 50

?

1 10

.????????? ??????????????????8 分

解得 a ? 1 . ?????????????? ?????????????????????10 分 因为社区总数为 50 个,所以 a ? b ? 47 ? 50 . 解得 b ? 2 . ???????????????????????????????????12 分 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a n ? 1 ? a n ? 2 , 所以数列 ? a n2 ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.???????????????????2 分
2 所以 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 .??????????????????????? ??4 分

2

2

因为 a n ? 0 ,所以 a n ? (2)由(1)知, a n ? 所以 S n ?
1 ? 3 ? 5

2n ? 1 ? n ? N 2 n ? 1 ,所以
2n ? 3

*

? .?????????????????????6 分
2 n

an

?

2n ? 1 2
n

.?????????????????7 分

? , ①????????????????8 分 n ?1 n 2 2 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 则 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? , ②????????????????9 分 n n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ????????????????11 分 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2

2

3

?? ?

2 2n ? 1

?

1

1 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? ? n ?1 2 2 2 2 ? 2 ?2

所以 S n ? 3 ?

1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 1 4? 2 ? 2n ? 1 ???????????????????12 分 ? ? 2? ? n ?1 1 2 2 1? 2 3 2n ? 3 ? ? .??????????????????????????13 分 n ?1 2 2 2n ? 3
2
n

.?????????? ????????????????????14 分 A

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 A B C D 是正方形, 所以 B D ? A O , B D ? C O .??????????1 分 在折叠后的△ A B D 和△ B C D 中, 仍有 B D ? A O , B D ? C O .??????????2 分 因为 A O ? C O ? O ,所以 B D ? 平面 A O C .???3 分 因为 B D ? 平面 B C D , 所以平面 A O C ? 平面 B C D .??????????4 分 (2)解:设三棱锥 A ? B C D 的高为 h , 由于三棱锥 A ? B C D 的体积为
6 3

B

O

D

C



所以 S ? B C D h ?
3

1

6 3

.????????????????? ?????????????5 分

因为 S ? B C D ?

1 2

BC ? CD ?

1 2

? 2 ? 2 ? 2 ,所以 h ?

6 2

.???????????????6 分

以下分两种情形求 A C 的长: ①当 ? A O C 为钝角时,如图,过点 A 作 C O 的垂线交 C O 的延长线于点 H , 由(1)知 B D ? 平面 A O C ,所以 B D ? A H . 又 C O ? A H ,且 C O ? B D ? O ,所以 A H ? 平面 B C D . 所以 A H 为三棱锥 A ? B C D 的高,即 A H ?
6 2

.??????????????????7 分 A

在 R t △ A O H 中,因为 A O ? 所以 O H ?
?

2,

AO ? AH
2

2

H

?

2

?

2

? 6 ? 2 ?? ? .??????8 分 ? 2 ? ? 2 ? ?

2

B

O

D

在 R t △ A C H 中,因为 C O ?
2 2

2,

C 则CH ? CO ? OH ?
2 ? ? 3 2 2

.?????9 分
? ? ? ? ?
2

所以 A C ?

AH

2

? CH

2

?

? 6 ? ?3 2 ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

6 .???????????10 分

②当 ? A O C 为锐角时,如图,过点 A 作 C O 的垂线交 C O 于点 H , 由(1)知 B D ? 平面 A O C ,所以 B D ? A H . 又 C O ? A H ,且 C O ? B D ? O ,所以 A H ? 平面 B C D . 所以 A H 为三棱锥 A ? B C D 的高,即 A H ?
6 2

.??????????????????11 分

在 R t △ A O H 中,因为 A O ? 所以 O H ?
?

2,

A

AO ? AH
2

2

?

2

?

2

? 6 ? 2 ?? ? .????12 分 ? 2 ? ? 2 ? ?

2

B H C

O

D

在 R t △ A C H 中,因为 C O ?
2 2

2,
2 2

则CH ? CO ? OH ?

2 ?

?

. ???????????????????????13 分

所以 A C ?

AH

2

? CH

2

?

? 6 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

2

2

2.

综上可知, A C 的长为 2 或 6 .?????????????????????????14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题设知, A ?
? ? ? , 0 ? , F1 2 a ?2 ? a
2

?
2

a ? 2 , 0 ,????????????????1 分
2

?

2 由 O F1 ? 2 A F1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2 ?

????

????

? ? ? a

a
2

? ?2

a

2

? ? 2 ? .??????????????3 分 ? ?

解得 a ? 6 .
2

所以椭圆 M 的方程为 M :

x

2

?

y

2

? 1 .??????????????????????4 分

6
2

2
2

(2)方法 1:设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

??

?

????????????????????????6 分

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? N F ? N P ? N F ? N P ???????????????????????7 分

?

??

?

??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? N P ? N F ? N P ? 1 .????????????????????????8 分

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. ??????????????????9 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x 0 , y 0 ? ,???????????????????10 分
x0 6
2

2

所以

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0
2

2

? 6 ? 3 y 0 .????????????????11 分
? x 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? ? 2 ? y 0 ? 1 ? ? 12 .???????????12 分
2 2 2

2

因为点 N ? 0 , 2 ? ,所以 NP
? ?

因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, NP 取得最大值 12.???????????13 分 所以 PE ? PF 的最大值为 11.???????????????????????????14 分 方法 2:设点 E ( x1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2 ) ,所以 ?
??? ??? ? ?

2

? x 2 ? ? x1 , ? y 2 ? 4 ? y1 .

??????????????????6 分

所以 P E ? P F ? ( x1 ? x 0 )( x 2 ? x 0 ) ? ( y1 ? y 0 )( y 2 ? y 0 ) ?????????????????7 分

? ( x1 ? x 0 )( ? x1 ? x 0 ) ? ( y1 ? y 0 )(4 ? y1 ? y 0 )
? x 0 ? x1 ? y 0 ? y 1 ? 4 y 1 ? 4 y 0
2 2 2 2

? x 0 ? y 0 ? 4 y 0 ? ( x1 ? y1 ? 4 y1 ) .???????????????????9 分
2 2 2 2

因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2 ) ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ? 3 .?????????10 分
2 2 2 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以
??? ??? ? ?

x0 6

2

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 .?????????????11 分
2 2

所以 P E ? P F ? ? 2 y 0 ? 4 y 0 ? 9 ? ? 2 ( y 0 ? 1) ? 1 1 .?????????????????12 分
2 2

因为 y 0 ? [ ? 2 ,

??? ??? ? ? 2 ] ,所以当 y 0 ? ? 1 时, P E ? P F

?

?

? 1 1 .????????????14 分
m in

方法 3:①若直线 E F 的斜率存在,设 E F 的方程为 y ? kx ? 2 ,????????????6 分 由?
? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2)
2 2

?1

,解得 x ? ?
k

1
2

.?????????????????????7 分
?1

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x 0 , y 0 ? ,
x0 6
2

所以

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0

2

? 6 ? 3 y 0 .??????????????????????8 分
??? ? ? ? ? 2 ? y0 ? , P F ? ? ? 2 k ?1 ? ? k ? ? 2 ? y0 ? 2 k ?1 ? k

2

所以 P E ? ?
?

??? ?

?

1 k ?1
2

? x0 ,

1 k ?1
2

? x0 , ?

????????????????????9 分 所以 PE ? PF ? x 0 ?
2

1 k
2

?1

? (2 ? y 0 ) ?
2

k k
2

2

?1

? x 0 ? ( 2 ? y 0 ) ? 1 ? ? 2 ( y 0 ? 1) ? 11 .
2 2

2

????????????????????10 分 因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, PE ? PF 取得最大值 11.??????????11 分
? ?

②若直线 E F 的斜率不存在,此时 E F 的方程为 x ? 0 , 由?
?x ? 0 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

不妨设, E ? 0, 3 ? , F ? 0,1 ? .???????????????????????????12 分 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x 0 , y 0 ? ,
x0 6
2

所以

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0

2

? 6 ? 3 y0 .

2

所以 P E ? ? ? x 0 , 3 ? y 0 ? , P F ? ? ? x 0 ,1 ? y 0 ? .

??? ?

??? ?

所以 P E ? P F ? x 0 ? y 0 ? 4 y 0 ? 3 ? ? 2 ( y 0 ? 1) ? 1 1 .
2 2 2

??? ??? ? ?

因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, PE ? PF 取得最大值 11.??????????13 分
? ?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.??????????????????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?
2

1 3

x ?
3

3 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 .???????1 分
2

2

因为 f ' ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 ? ? ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? , 所以当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ? ? ,1 ? 和 ? 2, ? ? ? .??????3 分 (2)方法 1 :由 f ? x ? ? ?
1 3 x ?
3

a 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? a x ? 2 ,
2

2

因为对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f '( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立, 即对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 ? x ? ax ? 2 ? 2( a ? 1) 成立,
2

即对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 x ? ax ? 2 a ? 0 成立,??????????????????4 分
2

令 h ? x ? ? x ? ax ? 2a ,
2

要使对任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 h ? x ? ? 0 成立,
? ? ? 0, ? ?a 必须满足 ? ? 0 或 ? ? 1, ????????????????????????????5 分 ?2 ? h ?1 ? ? 0 . ?

? a 2 ? 8 a ? 0, ? ?a 2 即 a ? 8 a ? 0 或 ? ? 1, ???????????????????????????6 分 2 ? ?1 ? a ? 0 . ?

所以实数 a 的取值范围为 ? ? 1, 8 ? .?????????????????????????7 分 方法 2:由 f ? x ? ? ?
1 3 x ?
3

a 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? a x ? 2 ,
2

2

因为对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f '( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立, 所以问题转化为,对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 ? f '( x ) ? m ax ? 2 ( a ? 1) .???????????4 分

因为 f ? ? x ? ? ? ? x ?
?

?

a a? a ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? . ? ? 2 2? 4

2

2

①当

a 2

? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? ? ? 上单调递减,

所以 f ' ? x ? m ax ? f ' ? 1 ? ? a ? 3 , 由 a ? 3 ? 2 ? a ? 1 ? ,得 a ? ? 1 ,此时 ? 1 ? a ? 2 .??????????????????5 分 ②当
a

? a? ?a ? ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 1, ? 2 ? 上单调递增,在 ? 2 , ? ? ? 上单调递减, 2 ? ? ? ?

所以 f ' ? x ? m ax ? f ' ?
2

?a? a ?2, ?? 4 ?2?

2



a

4

? 2 ? 2 ? a ? 1 ? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 .?????????????6 分

综上①②可得,实数 a 的取值范围为 ? ? 1, 8 ? .????????????????????7 分 (3)设点 P ? t , ?
? ? 1 3 t ?
3

a

? 2 t ? 2 t ? 是函数 y ? f 2 ?
2

? x ? 图象上的切点,

则过点 P 的切线的斜率为 k ? f ' ? t ? ? ? t ? a t ? 2 , ?????????????? ????8 分 所以过点 P 的切线方程为 y ?
? ? 1? ? 在切线上, 3?
t ?
3 2

1 3

t ?
3

a 2

t ? 2 t ? ? ? t ? a t ? 2 ? ? x ? t ? .??????????9 分
2 2

因为点 ? 0 , ? 所以 ? 即
2 3
3

1 3

? 1 2

1 3

a 2 1 3

t ? 2t ? ? ? t ? at ? 2 ? ? 0 ? t ? ,
2 2

t ?

at ?

? 0 .?????????????????????????????10 分

若过点 ? 0 , ?
?

?

1? ? 可作函数 y ? f 3?
1 2 at ?
2

? x ? 图象的三条不同切线,

则方程

2 3

t ?
3

1 3

? 0 有三个不同的实数解.??????????????????11 分 1 3

令 g ?t ? ?

2 3

t ?
3

1 2

at ?
2

,则函数 y ? g ? t ? 与 t 轴有三个不同的交点.
a 2

令 g ? ? t ? ? 2 t ? a t ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ?
2

.????????????????????12 分

因为 g ? 0 ? ?

1 3

,g ?

1 3 1 ?a? a ? , ?? ? 24 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? a ? ? 0 ,即 a ? 2 .??? ???????????13 分 ?? ? 24 3 ?2?

所以实数 a 的取值范围为 ? 2, ? ? ? .????????????????????????14 分


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