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竞赛课件5:物系相关速度


? 研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体. 具有刚体的力学性质,刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.

? 刚体运动的速度法则

刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动

速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
v=rω,r是对基点的转动半径,ω是刚体转动角速度. 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关.

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是: 在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2 v0
θ

θ

v1

接触物系接触点速度的相关特征是: 沿接触面法向的分速度必定相 同,沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.

v1 vn

θ
v1 A C

vt v
vn

线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.

v1d α D O v Bv
2d

1d

v2 v2d

v0

如图所示,AB杆的A端以匀速v运动,在运动时杆恒与一 半圆周相切,半圆周的半径为R,当杆与水平线的交角为θ时,求杆的角速度ω及 杆上与半圆相切点C的速度.

专题5-例1

这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 静止,C点速度必沿杆! 杆A点速度必沿水平! B C R θ A v2 θ v

以C为基点分解v:
由杆约束相关关系: v c ? v 1 ? v c o s ? v2是A点对C点的转动速度,故

v s in ? ? ? ? R c o t ?
? ?
v s in ?
2

R cos ?

如图所示,合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3∶2∶1,顶点A3以速度v沿水平方向向右运动,求当构件所有角都为直角时,顶 点B2的速度vB2. B1 B2 这是杆约束相关速度问题 B3 v 分析顶点A2、A1的速度: A1 A2 A3 A
0

专题5-例2

v1 ?

2 2

v A1

v2 ?

2 2

v A2

由图示知
vB2 ?

顶点B2,既是A1B2杆上的点, 又是A2B2杆上的点,分别以A1、 A2为基点,分析B2点速度:
A1

v1 v ?
v1
? ? ? ?
2

2

B2
? v1

vB2 vA2 vA1 A2

? ? ? ?

2 2

v A1
v 2

? ? ? ?

2

? ? ? ? ?
5 6

2 2
v

v A2

由几何关系

v A1 ?

, v A2 ?

vB2 ?

17 6

如图所示,物体A置于水平面上,物A前固定有动滑轮B,D 为定滑轮,一根轻绳绕过D、B后固定在C点,BC段水平,当以速度v拉绳头时, 物体A沿水平面运动,若绳与水平面夹角为α,物体A 运动的速度是多大? v D

专题5-例3

这是绳约束相关速度问题

绳BD段上各点有与绳端D相同 的沿绳BD段方向的分速度v; A 设A右移速度为vx,即相对于 A,绳上B点是以速度vx从动 滑轮中抽出的,即 v BA ? v x

B

vx

?

C

引入中介参照系-物A ,在沿绳BD方向上,绳上B点速度v 是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度 vxcosθ的合成, 即

v ? v B A ? v x co s ?
vx ? v 1 ? cos ?

由上

如图所示,半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面 向右运动,带动从动杆AB沿竖直方向上升,O为凸轮圆心,P为其 顶点.求当∠AOP=α时,AB杆的速度.

专题5-例4

这是接触物系接触点相关速度问题 根据接触物系触点速度相关特 征,两者沿接触面法向的分速度相 同,即
vA
P

B

α A v0

v A co s ? ? v 0 sin ?

α v0

α
O

v A ? v 0 ta n ?

如图所示,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光 滑钉子A上,以恒定的速度v拉绳,当绳与竖直方向成α角时,求线 轴中心O的运动速度v0.线轴的外径为R、内径为r,线轴沿水平面做 无滑动的滚动.

专题5-例5

考察绳、轴接触的切点B速度 轴上B点具有与轴心相同的平动 速度v0与对轴心的转动速度rω: 绳上B点沿绳方向速度v和与轴 B点相同的法向速度vn: 由于绳、轴点点相切,有
线轴沿水平面做纯滚动

A α R r O α v

v0

C

v ? v 0 sin ? ? r ? v 0 ? R?
v0 ?

R

若线轴逆时针滚动,则

R s in ? ? r rω R v0 ? v r ? R s in ?

v O

B

α v0

vn

如图所示,线轴沿水平面做无滑动的滚动,并且 线端A点速度为v,方向水平.以铰链固定于B点的木板靠在线轴上, 线轴的内、外径分别为r和R.试确定木板的角速度ω与角α的关系.

专题5-例6

板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn, 且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 :

考察板、轴接触的切点C速度
?

C

vn

A

v

B 2 线轴上C点的速度:它应是C点对轴心 C vCn O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和,而vCn是沿C点切向的,则C C v0 α v 点法向速度vn应是 : vn v n ? v 0 sin ? r v0 线轴为刚体且做纯滚动,故以线轴 R 与水平面切点为基点,应有 1 ? cos ? v0 v R ? ? v ? D v0 ? v R?r R?r R R? r

vn ? ? ? B C ? ? ? R cot

α

如图所示,水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固 定圆圈上以匀速u竖直下落,试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑 环M的速度,设OM与竖直方向的夹角为φ.

专题5-例7

这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解: 滑环速度即交叉点速度,方向沿 圆圈切向; 根据交叉点速度是相交双方沿 对方切向运动分速度的矢量和, 滑环速度即为杆沿圆圈切向分速 度: u
M B
φ O

φ

u

v ?

s in ?

如图所示,直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转 动,使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动.已知OB=10 cm, 曲杆的角速度ω=0.5 rad/s,求φ=60°时,小环M的速度. C 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 C M O vMAA O A 由于刚性 曲杆 OBC以O为 60° 轴 转 动 , 故 BC 上 与 OA 直 vMB 30° 杆交叉点M的速度方向垂 vBCM B 直于转动半径OM、大小是: B

专题5-例8

v BCM ? ? ?

OB cos ?

? 1 0 c m /s

根据交叉点速度相关特征,该速度沿OA 方向的分量即为小环速度,故将vBCM 沿 MA、MB方向分解成两个分速度: 小环M的速度即为vMA:
?

v M ? v BCM cot 30 ? 10

3 c m /s

如图所示,一个半径为R的轴环O1立在水平面上, 另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过,试求两轴环上部交 叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系.轴环很薄且第二个 轴环紧傍第一个轴环.

专题5-例9

本题求线状交叉物系交叉点A速度
轴环O2速度为v,将此速度沿轴环 O1、O2的交叉点A处的切线方向 分解成v1、v2两个分量:
O2 O1

A
O2 d v

由线状相交物系交叉点相关 速度规律可知,交叉点A的速度 即为沿对方速度分量v1! 由图示几何关系可得:
vA ? v 2 s in ? ? v 2 R
2

v2 A v
R
O1

θ
v1 d
v

?

R ? d ? ? ? ? ? 2 ?
2

θ
R

O2

? 4R

2

? d

2

顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由凸轮M推 动.凸轮绕O轴以匀角速ω转动,在图示时刻,OA=r,凸轮轮缘与 A接触处法线n与OA之间的夹角为α,试求顶杆的速度.

杆与凸轮接触点有相同的法向速度! 根据接触物系触点速度相关特 征,两者沿接触面法向的分速度相 同,即

B

v杆K
α

r ? sin ? ? v 杆 co s ?

ωr

A


n

M

v 杆 ? r ? ? ta n ?

一人身高h ,在灯下以匀速率vA沿水平直线 行走.如图所示,设灯距地面高度为H,求人影的顶端M 点沿地面移动的速度 . 借用绳杆约束模型 设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影 分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度” 由一条光线上各点转动角速 度相同: r v An v 影 s in ? v A s in ?
? R r
H h α

vA
α

由几何关系
R r ? H H ? h v影 ?

R

M

v影 vn

H H ? h

vA

如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率 v0拉出,这时线轴沿水平面无滑动地滚动.求线轴中心O点的速度随 线与水平方向的夹角α的变化关系.线轴的内、外半径分别为R与r.

考察绳、轴接触的切点A速度 轴上A点具有对轴心的转动速度 V=Rω和与轴心相同的平动速度V0: 绳上A点具有沿绳方向速度v0和 与轴A点相同的法向速度vn: 由于绳、轴点点相切,有
A O C α v0 V α

B

v0
V0

vn

VA

V0

v 0 ? R ? ? V 0 co s ? 由于纯滚动,有 V 0 ? r?

? ?

v0 r cos ? ? R V0 ? r r cos ? ? R v0

图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、 B两固定轴在同一竖直面上转动,转动方向已在图上示出.小环M 套在两杆上,t=0时图中α=β=60°,试求而后任意时刻t(M未落地) M运动的速度大小.

本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同,∠AMB=60°不变 套在两杆交点的环M所在圆周半径为

D

C M R θβ B l

R ?

l 2 cos 30
?

?

l 3


60° O

杆D转过θ圆周角,M点转过同弧上2θ的圆心角 A

α

环M的角速度为2ω! 环M的线速度为 v M ? 2 ? ?
l 3 ? 2 3 3

?l

如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑 动的滚动.AB等效于球的瞬时转轴.试问球上哪些点的速度最大? 这最大速度为多少?

本题属刚体各点速度问题
球心速度为v, 则对瞬时转轴AB:
v ? 2 2 R?

则球角速度

? ?

2v R

A

O

R
45
?

B C

根据刚体运动的速度法则: 球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!
v m ax ? ? ? R ?1? ? ? 2 ? ? 2 ? ?

?

?

2 ?1 v

?

如图,由两个圆环所组成的滚珠轴承,其内环半径为R2,外 环半径为R1,在二环之间分布的小圆球(滚珠)半径为r,外环以线速度v1顺时针 方向转动,而内环则以线速度v2顺时针方向转动,试求小球中心围绕圆环的中心顺 时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω,设小球与圆环之间无滑动发生.

本题属刚体各点速度及接触点速度问题
已知滚珠球心速度为v,角速度为ω,

根据刚体运动的速度法则:
滚珠与内环接触处A速度 滚珠与外环接触处B速度

v A ? v ? r? ? v2 v B ? v ? r? ? v1

R1

r ω B ω A r R2 v ω v2

v1

v ?

v1 ? v 2 2 v1 ? v 2 2r

∵滚珠与两环无滑动,∴两环 与珠接触处A、B切向速度相同

? ?

一片胶合板从空中下落,发现在某个时刻板上a 点速度和b点 速度相同:va=vb=v,且方向均沿板面;同时还发现板上c点速度大小比速度v大一 倍,c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离.试问板上哪些点的速度等于3v?

本题属刚体各点速度问题
∵板上a、b两点速度相同,故a、 b连线即为板瞬时转动轴!
v
b

c

v

x a x

根据刚体运动的速度法则,C点 ? ? 速度为: ?
vC ? v ? vCn
? ? ? ?
2

同理,速度为3v的点满足

? 3 l? ? 2v ? ? v ? ? ? 2 ? 2v 板角速度? ? l
2 2

vcn=lω v

vn=xω

vc=2v V=3v

? 3v ?

2

? v

2

?

? x? ?

2

x ?

2l

如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、 B、C出发,以相同的速率v运动,运动中始终保持A朝着B,B朝着C,C朝着A.试 问经多少时间三人相聚?每个演员跑了多少路程?

由三位舞者运动的对称性可知, 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视做绕O转动的

vn

A

同时向O运动,
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
t ? AO v cos 30
?

O

vt C

?

2l 3v

由于舞者匀速率运动,则

s ? vt ?

2l 3

如图所示,一个圆台,上底半径为r,下底半径为R 其母线AB长为L,放置在水平地面上,推动它以后,它自身以角速 度ω旋转,整体绕O点做匀速圆周运动,若接触部分不打滑,求旋转 半径OA及旋转一周所需时间T.

设旋转半径为x,则由几何关系: r x ? L O R ? r 接触处不打滑,则A点(即接触 点)移动速度即为

r A

R

vA L

B

v A ? r?

T ? 2? x vA
? 2? l

?R

? r ? r?

如图所示,绳的一端固定,另一端缠在圆筒上,圆筒半径为 R,放在与水平面成α角的光滑斜面上,当绳变为竖直方向时,圆筒转动角速度 为ω(此时绳未松驰),试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的 速度.

圆筒与绳分离处A速度vA如图: 绳竖直时设圆筒中心速度为v0 以A为基点,由刚体速度法则,O点速度是
? ? ? vO ? v A ? vn
vn
A Cα

O vA vA
?

v A ? v n c o t ? ? R ? ? cot ?

考察圆筒与斜面切点C速度: 以O为基点,由刚体速度法则,C点速度是
? ? ? vC ? vO ? vn
即 vC ? vO ? R? ? R? s in ?
1 ? s in ? s in ?

vO

v vO n

? R? ?

R?

如图所示,长度l=10 cm的棒在光滑水平面上转动,同时, 以速度v=10 cm/s滑动,离棒的中心距离L=50 cm处有竖直的墙.要使棒平着与 墙相撞,试问棒的角速度ω应为多少?

棒要平着与竖墙相撞应满足
⑴棒中心完成L位移时,棒与墙平行; ⑵相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度 v (即棒上所有点速度方向均向墙). v
vn ? l 2

ω
?

棒在向墙移动时每半周与墙平行一次v
满足⑴应有:

L
n ? 1时

L v
满足⑵应有

? n

? ?

? ? ? n?

?
5

? ?
n ? 2时

?
5 2? 5 3? 5

?

l 2

? ?

? v ? 0

? ?

10 5

? 2

n ? 3时

? ?

一块坯料夹在两导板之间,导板水平运动.上板向右,速度 为v1,下板向左,速度为v2,若v1=2v2 ,某时刻切点1和2在同一条竖直线上, 如图所示.请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v1和 v2 的点的集合.

1(A)

以1∶2截分AB得瞬时转动中心O
刚体上与瞬时转动中心距离相 同的点对中心的转动速度相同 v2
A
O
v1 v2

2(B)

B

如图所示,两只小环O和O ? 分别套在静止不动的竖直杆AB 和CD上,一根不可伸长的绳子一端系在C点上,穿过环 O ?,另一端系在环O 上.若环 O 以恒定速度v1向下运动,当∠AO O ?=α时,求环O的速度. ?

以O′为参照绳抽出速度大 vO对 =v1+v2A 小为v1,方向如示:
O?

C

设环O的速度为v2 则环O对环O′的速度大小为 v1+v2,方向如示:

v2
α O

V绳对环O ? = v1
O?

出”速度和对O′转动速度 的合成 B 由绳约束特征:在同一时刻必具有相 同的沿绳方向的分速度.

这个速度是O对O′沿绳“抽

V绳对环O ?

v1
D

? v1

? v 2 ? co s ? ? v1

v2 ?

1 ? cos ? cos ?

v1

如图所示,有两条位于同一竖直平面内的水平轨道,相距为 h.轨道上有两个物体A和B,它们通过一根绕过定滑轮 O的不可伸长的轻绳相 连接.物体A在下面的轨道上以匀速率v运动.在轨道间的绳子与轨道成30°角 的瞬间,绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴 P与绳子分离,设绳长 BO远大于滑轮直径,求:小水滴P恰脱离绳子落地时速度的大小.

小水滴P刚与绳分离时应具有与 OB绳中点相同的速度,这个速度是 沿绳速度与绕O转动速度的合成:

vBn vPn 30° P h

vB

B

小水滴沿绳方向速度即为v 整个OB段绳有相同绕O转动 ? v Bn v ta n 3 0 角速度,故 v ?
Pn

vP O v
?
13 12 v

A

v


vP ? v ?
2

2
2 v pn ?

?

3 6

v

2
? 3 ? 2 v ? ? v? ? 6 ? ? ?
2

?

以此速度斜抛落地

v pt ?

v

2 p

? gh ?

13 12

v

2

? gh

如图所示,AB杆以角速度ω绕A点转动,并带动套在水平杆 OC上 的小环M运动.运动开始时,AB杆在铅垂位置,设OA=h,求:⑴小环M 沿OC杆滑动的速度;⑵小环M相对于AB杆运动的速度.

⑴ 经时间t,杆转过角ωt,杆 AB上 M点速度 :
v杆M ? ? ? h cos ? t

O h
? t

M

B

v M 对 AB
? t

C

由线状交叉物系交叉点相关速度特征
环M的速度等于vM沿杆OC 分量:
vM ? v杆M cos ? t

v杆M
ω

A
2

?

?h
cos ? t

⑵小环相对于AB杆的速度大小等于速度v杆M沿AB杆方向分量:
v M 对 A B ? v 杆 M ta n ? t ? ? h s i n ? t 2 cos ? t

方向如图!

如图所示,曲柄滑杆机构中,滑杆上有圆弧形滑槽,其半径 为R,圆心在导杆BC上,曲柄OA长R,以角速度ω转动,当机构在图示位置时, 曲柄与水平线交角θ=30°,求此时滑杆的速度.

曲柄与水平线交角θ=30°时, 曲柄滑杆机构上 A点速度 :

vA
A

vn

v A ? R?

ω
O
30
?

60

?

此时滑杆速度设为V,A在圆 形槽中的转动速度设为vn :

R

BV

C

由刚体运动的速度法则,有

? ? ? v A ? V ? vn
vn ? R?

其中

速度矢量三角形为正△

V ? R?


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