高三数学(理科竞)2015-2016第二次月考

2015-2016 学年第一学期高三年级第二次月考试题

A． x ?

?
9

B． x ?

?
6

C.

x?

?
3

D． x ?

?
2

r />
数

学（理科一类竞赛班）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）

7. 已知： 3 cos(2? ? ? ) ? 5 cos ? ? 0, 则 tan( ? ? ? ) tan? 的值为( A.±4 B.4 C.-4 D.1

)

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 设 z ?
2 2 ? ?1 ? i ? ，则 z =（ 1? i

8.如图，已知△ABC 中，点 M 在线段 AC 上，点 P 在线段 BM 上且满足 →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC＝120°，则→ |AB AP?→ BC的值为( )

AM MP ＝ ＝2，若 MC PB

） C． 2 ）
1 D. (0, ] ? [ 2,?? ) 2

A．－2 D． 2 2 C. 3 9.在△ABC 中，若 A．
1 3

B．2 D．－ 11 3

A． 3 2.函数 f ( x) ?

B． 1

1 (log2 x) ? 1
2

的定义域为（

1 A. (0, ) 2

B. (2,??)
e

1 C. (0, ) ? ( 2,?? ) 2

sin C 5 ? 3, b 2 ? a 2 ? ac ，则 cosB 的值为 sin A 2 1 1 B. C. 2 5

D.

1 4

1 3. 已知 a 为常数，则使得 a ? ? 1 dx 成立的一个充分而不必要条件是 ( x
A． a ? 0 B． a ? 0
?
4

10.如图，图 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆 上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP， 过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直 线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x) ， 则 y ? f ( x)在[0, ? ] 的

)

C． a ? e

D． a ? e ) D. ）
5 5

4.在△ABC 中, ?ABC ? , AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC = ( A.
10 10

B.

10 5

C.

3 10 10

图像大致为（

）

? x 2 ? 1, x ? 0 5.已知函数 f ?x ? ? ? 则下列结论正确的是（ ?cos x, x ? 0
A. f ?x ? 是偶函数 C. f ?x ? 是周期函数 6. 设函数 f ( x) ? sin(?x ? B. f ?x ? 是增函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,?? ?

?
6

) ? 1(? ? 0) 的导函数 f ?( x) 的最大值为 3，则 f ( x) 的图象

的一条对称轴的方程是

（

）

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方程 f(x)=0 在区间[0, π ]内的解为_____. 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ? ? ? ? ? ? ? 17. a , b 是两个向量， | a |? 1 ， | b |? 2 ，且 (a ? b) ? a ；

? ? （Ⅰ）求： a 与 b 的夹角

??? ? ? ??? ? ? （Ⅱ）设在三角形 ? ABC 中， AB ? a, AC ? b, 求三角形的边 AD 的中线 AD 的长。
11.函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图所示，则下列 结论成立的是( )

A.a>0，b<0，c>0，d>0 B.a>0，b<0，c<0，d>0 C.a<0，b<0，c>0，d>0 D.a>0，b>0，c>0，d<0 12.若关于 x 的方程
1 2 x ? ln x 2 ? 1 ? k 有四个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（ 2

? ? ?? ? 18.已知函数 f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? 的图像关于直线 x ? 对称， 3 2 2? ?
且图像上相邻两个对称轴之间的距离为 ? . （I）求 ? 和 ? 的值；

?

?

）

? ?? （II）求函数 f ? x ? 在 ?0, ? 的值域; ? 2?
3? ? 3 ?? 2? ? ? ?? ? （Ⅲ）若 f ? ? ? ? ?? ? ? ，求 cos?? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6

1 ? ? A． ? ? ?, ? ln 2 ? 2 ? ?

B. ?0,??? 第Ⅱ卷(非选择题

?1 ? C. ? ? ln 2,0? ?2 ?

?1 ? D. ? ? ln 2,0 ? ?2 ?

共 90 分) 19.设函数 f ? x ? ? x ?
a ? ln x, ? a ? R ? ； x

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上． 13. 已知 sin ? ? cos ? ? ?
7 π ， ? ? (? ,0) ，则 tan? ? 13 2

．

（I） 若 f ? x ? 有最值，求实数 a 的取值范围； （II）当 a ? 2 时，若存在 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ，使得曲线 y ? f ? x ? 在 x ? x1 和 x ? x2 处 的切线互相平行；求证： x1 ? x2 ? 8 .

14. 已知函数 f ( x) ? e x ? mx ? 1 的图像为曲线 C ，若曲线 C 存在与直线 y ? ex 垂直的 切线，则实数 m 的取值范围 ． ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 15. 已知 a ? (?1,1), OA ? a ? b, OB ? a ? b ，若 ?OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 三角形，则 ?OAB 的面积是_______ 16.已知 f(x)=asin2x+bcos2x(a,b 为常数)，若对任意 x∈R 都有 f(x)≥f(
5? )，则 12

高三数学（理一竞） 第二次月考试题 第 2 页，共 3 页

20.在 ?ABC 中，角 A、B、C 所对的边为 a、b、c

请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请 写清题号。

? ? 且满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos( ? A) cos( ? A) 6 6
（I）求角 B 的值；
1 （II）若 b ? 3 且 b ? a ，求 a ? c 的取值范围． 2

?－x ＋2x，x>0， 22.已知函数 f(x)＝?0，x＝0， ?x ＋mx，x<0
2

2

是奇函数．

(1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．

21. （本小题 12 分）设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ，其中 b ? 0 。
1 时，判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性； 2 1 （2）当 b ? 时，求函数 f ( x) 的极值点； 2 1 1 1 （3）证明对任意的正整数 n ，不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 都成立 n n n

23.已知 c ? 0, 且 c ? 0, 设：函数 y ? c x 在 R 上单调递减； q : 函数 f ? x ? ? x2 ? 2cx ? 1 在
?1 ? “ p ? q ”为真命题； ? , ?? ? 上为增函数，若“ p ? q ”为假命题， ?2 ?

（1）当 b ?

求： c 的取值范围。

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