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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测6 函数的奇偶性及周期性]


课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性

第Ⅰ组:全员必做题 1.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数 )

2.(2013· 湖南高考)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1) =4,

则 g(1)等于( A.4 C.2
2

) B.3 D.1 )

x +x+1 2 3.(2014· 长春调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( 3 x +1 2 A. 3 4 C. 3 2 B.- 3 4 D.- 3 )

4.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

5.(2013· 淄博一模)设定义在 R 上的奇函数 y=f(x),满足对任意 t∈R,都有 f(t)=f(1- 1? 2 ? 3? t),且 x∈? ?0,2?时,f(x)=-x ,则 f(3)+f?-2?的值等于( 1 A.- 2 1 C.- 4 1 B.- 3 1 D.- 5 )

6. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 1?x 7.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 8 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) = ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ,0≤x≤1, ? ? x+1

9.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(3)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积.

-x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

第Ⅱ组:重点选做题 1. 函数 f(x)是周期为 4 的偶函数, 当 x∈[0,2]时, f(x)=x-1, 则不等式 xf(x)>0 在[-1,3] 上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

2.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知 1?1-x 当 x∈[0,1]时,f(x)=? ?2? ,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1?x-3 ④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? . 其中所有正确命题的序号是________. 答 案

第Ⅰ组:全员必做题 1.选 D 如图,当 x∈[0,1)时,画出函数图像,

再左右扩展知 f(x)为周期函数.故选 D. 2.选 B 由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式相加解得,g(1)=3. x2+x+1 x x 3.选 C 根据题意,f(x)= 2 =1+ 2 ,而 h(x)= 2 是奇函数, x +1 x +1 x +1 2 4 故 f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2- = ,故选 C. 3 3
?x2-2x,x≥0, ? 4. 选 C 将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=? 2 画出 ? ?-x -2x,x<0,

函数 f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数 f(x)的图像关于原点对称,故函 数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. 5.选 C 由 f(t)=f(1-t)得 f(1+t)=f(-t)=-f(t),所以 f(2+t)=-f(1+t)=f(t), 所以 f(x)的周期为 2. 又 f(1)=f(1-1)=f(0)=0, 3? 1 ?1? ?1?2 所以 f(3)+f? ?-2?=f(1)+f?2?=0-?2? =-4. 6.解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)· (x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 1?x x 7.解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 2 x-2x 所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得 f(x)= ,g(x) 2


2 x+2x 3 5 =- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 2 4 4


答案:f(1)>g(0)>g(-1) 3? ? 1? 8. 解析: 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f? 且 f(-1)=f(1), ?2?=f?-2?,

1 b+2 2 1 1 1 ? ? ? ? 故 f?2?=f?-2?,从而 =- a+1,即 3a+2b=-2.① 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= , 2 即 b=-2a.② 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10 9.解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+ x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称.

又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心对称,则-1≤x≤0 时,f(x)=x, 则 f(x)的图像如图所示. 1 ? 当-4≤x≤4 时, 设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S, 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1? =4. 10.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ? ?a-2≤1,

所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 C f(x)的图像如图.

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0);当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 2.解析:由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1?1+x f(x)=f(-x)=? ?2? , 函数 y=f(x)的图像如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1?x-3 f(x)=f(x-4)=? ?2? ,因此②④正确,③不正确. 答案:①②④


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