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高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法课件2 新人教A版必修5


数列的概念

有人说,大自然是懂数学的。

海棠 (2)

剑兰(3)

黃禅 (5)

波斯菊(8)

(13) 雏菊

1,1,2,3,5,8,13, ?

斐波那契
(Fibonacci;1170 ?

1250 )

《算盘书》
1202.

曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16
庄子

我国奥运健儿从84年洛杉矶奥运会到 08年北京奥运会共获得了163枚金牌
金牌数

15,

5,

16, 16,

28,

32,

51

6个正方形面积分别为10,9,8,7,6,5.这六 个正方形的边长依次为

10,3,2 2 , 7 , 6 , 5

通常情况下,从地面到10km高空, 高度每增加1km,气温就下降6.5摄氏 度,现1km高度气温是8.5摄氏度,则从 1km高度到10km高度的气温依次是
? 50 8.5, 2, ? 4.5, ? 11,?, ?

数列
数列的概念 与简单表示法

(1) 1,1,2,3,5,8,13,? 1 1 1 1 (2) 1, , , , ,? 2 4 8 16 (3) 15,5,16,16,28,32,51 (4) 10,3,2 2 , 7 , 6 , 5 (5) 8.5, 2, ? 4.5, ? 11,?,?50

数列的基本概念

数列 数列的项

按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数

首项
第2项 第n项

你能按照合适的标准对下列数列进行分类吗?
⑴全体自然数构成数列:
无穷数列 递增数列 0,1,2,3, … . ⑵1996~2002年某市普通高中生人数(单位:万人) 构成数列

82,93,105,119,129,130,132. ⑶无穷多个3构成数列 3,3,3,3,3, … .
无穷数列

有穷数列 递增数列

常数列

⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列(单位:元) 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1, 有穷数列 递减数列 0.05,0.02,0.01. ⑸-1的1次幂, 2次幂, 3次幂, 4次幂 ……构成数列 -1,1,-1,1, … .
无穷数列 摆动数列

数列2,5,8,11,1 4与数列2,5,8,11,1 4,? 有何不同?
数列2,5,8,11,1 4与数列2,5,8,11,1 4,? 中序号n与项an之间有怎样的对应关系 呢?

数列可看成一列函数值

n
f ( n)

1 a1

2 a2

3 a3

… …

n an

… …

数列可以看成以 N * (或它的有限子集 {1, 2, ?,n}) 为定义域的函数 an ? f (n)当自变量按照从小到大 的顺序依次取值时所对 应的一列函数值

思考: 你能从函数的角度来说明数列10, 20,30与数列30,20,10不是相同的 数列吗?

如果数列 {a n }的项an与序号n之间的关系 函数 f ( x ) ? 3 x ? 1 中 x 取哪些值时 , 可得到 可以用一个式子来表示 , 这个公式叫做

一个相应的数列呢 ? 写出这个数列 . 该数列的通项公式 .
1、通项公式法 你能用一个项 an与序号 n的式子来 2、列表法 数列的表示法: 3、图象法 表示数列 2,5,8,11,1 4, ?吗?



数列的图象是一系列孤立的点

数列的通项公式
练习:根据题目所给信息填表:

n

1
21

2
33




10

… …

n
9 ? 12 n

an

129

2011是否为该数列的项呢? 根据该数列通项公式你还能得到该数列的什么特征呢?

数列的通项公式
例1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分 别是下列各数:

(1)1,4,9,16;

1 1 1 (2)1, , , ; 2 3 4

1 1 1 变式 : 1,? , ,? ; 2 3 4
1 4 9 16

小结

1
2 3 4

生活中处处有数列 数列的概念 数列的分类 数列可看成一列函数值 数列的简单表示法

5

等差数列
? 50 8.5, 2, ? 4.5, ? 11,?, ?

an ? ?6.5n ? 15
1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

1 n ?1 an ? ( ) 2
等比数列

作业:
1、课本:P33习题1,2, 3 2、知识拓展: 从函数的角度思考数列的通项公式不唯一 3、阅读课本32页 ——阅读与思考《斐波那契数列》

思考: 如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案, 是由一串直角 三角形演化而成的,其中 OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 , 记 OA1 , OA2 , OA3 ,?, OA8 的长度组成数列 {an }(n ? N ,1 ? n ? 8)

探究: 若按上述方式一直继续 下去, 你能得出OA2011的长吗?
A4

A5 A6

A3
A2 A1

A7 A8

O

补充题:
题型二 通项公式的简单应用
【例 2】 已知数列 an 的通项为 an=n2-5n+4,
? ? ? ? ? ?

(1)数列中有多少项为负数?(2)n 为何值时,an 有最小 值?并求此最小值.

解:(1)由n2-5n+4<0得1<n<4,n∈N*, ∴n=2或3. 所以数列中有2项为负数;

(2)∵an=n

2

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? - ,∵n∈N*, 4 ? ?

∴n=2 或 3 时,an 有最小值-2.

方法点评:数列是一种特殊的函数,函数问 题的解决方法同样适用于数列问题, 不过要注意 n ∈N*,否则易出现错误,此题也可以用不等式法
? ?an≤ an- 1 ? ? ?an≤ an+ 1

,求 an 取得最小值时的 n.

2 ? ?9n - 9n+ 2? ? ?; 2.已知数列? 2 ? ? 9n - 1 ? ?

(1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101

(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;

?1 2? (4)在区间? , ?内有无数列中的项?若有, 有几项? ?3 3?

若没有,说明理由. 9n2- 9n+ 2 解:设 a(n)= 9n2-1

? 3n- 1??3n-2? 3n- 2 = = ? 3n- 1??3n+1? 3n+ 1. 28 (1)令 n=10,得第 10 项 a10= . 31 3n- 2 98 (2)令 = ,得 9n=300. 101 3n+ 1

98 此方程无正整数解,所以 不是该数列中的 101 项. 3n- 2 3n+ 1- 3 3 (3)证明:∵ an= = = 1- , 3n+ 1 3n+ 1 3n+ 1 3 又 n∈ N ∴ 0< < 1,∴ 0< an< 1. 3n+ 1
*,

即数列中的各项都在区间(0,1)内.

3n- 2 2 1 (4)令 < an= < , 3 3n+ 1 3
? ?3n+ 1< 9n- 6, ∴? ? ?9n- 6< 6n+ 2.

7 ? ?n> 6 ∴? ?n< 8 ? 3

7 8 .∴ < n< . 6 3

又∵ n∈ N* ∴当且仅当
?1 2? n= 2 时,上式成立,故区间? , ?上 ?3 3?

4 有数列中的项,且只有一项为 a2= . 7

题型三 由数列的递推公式求数列的指定项
【例 3】 已知数列 an 对任意的 p,q∈N*满足 ap+q
? ? ? ? ? ?

=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10=

(

)

A.-165

B.-33

C.-30

D.-21

解析:解法一:由已知得a4=a2+a2=-12, a8=a4+a4=-24,a10=a8+a2=-24-6=-30. 解法二:∵a2=a1+a1=-6,∴a1=-3, a3=a1+a2=-9,a5=a2+a3=-15,a10=a5+a5= -30. 答案:C

?a1=1, ? 3.设数列 an 满足? 1 an=1+ ? n>1?. ? an-1 ?
? ? ? ? ? ?

写出这个数列的前 5 项.
解:由题意可知 a1= 1, 1 1 a2= 1+ =1+ =2, a1 1

1 1 3 a3= 1+ = 1+ = , a2 2 2 1 2 5 a4= 1+ = 1+ = , a3 3 3 1 3 8 a5= 1+ = 1+ = . a4 5 5

误区解密 忽略细节(数列中n的取值范围) 致误
【例 4】 已知数列 an 的通项公式为 an=- n2
? ? ? ? ? ?

1 + 3n- ,求数列 an 中的最大项. 4 ? 1 3?2 2 错解:an=-n +3n- =-?n- ? +2, 4 2? ?
? ? ? ? ? ?

3 ∴当 n= 时,an 最大为 2. 2 错因分析:在数列 an 中,项数 n 必为正整数.
? ? ? ? ? ?

7 正解:当 n=1 或 n=2 时,an 最大为 . 4


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