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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5


§2.5

等比数列的前 n 项和(二)

课时目标 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题. 2.能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn=

a1

-q 1-q

n



a1-anq ;当 q=1 1-q

时,Sn=na1. 2.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠-1 或 m 为 奇数) m (2)Sm+n=Sm+q Sn(q 为数列{an}的公比). (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则

S偶 =q. S奇

3. 解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题, 关键是在实际问题中建立等比数列模型.

一、选择题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5 等于 ) A.33 B.72 C.84 D.189 答案 C 2 2 解析 由 S3=a1(1+q+q )=21 且 a1=3,得 q+q -6=0.∵q>0,∴q=2.∴a3+a4+a5 2 2 =q (a1+a2+a3)=2 ·S3=84. 2.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内,该 厂的总产值为( ) 4 5 5 5 A.1.1 a B.1.1 a C.10a(1.1 -1) D.11a(1.1 -1) 答案 D 解 析 注 意 去 年 产 值 为 a , 今 年 起 5 年 内 各 年 的 产 值 分 别 为 2 3 4 5 1.1a,1.1 a,1.1 a,1.1 a,1.1 a. 2 3 4 5 5 ∴1.1a+1.1 a+1.1 a+1.1 a+1.1 a=11a(1.1 -1). 1 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 (

an

5 项和为( ) 15 31 31 A. 或 5 B. 或 5 C. 8 16 16 答案 C 解析 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1, 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1 -q3 a1 -q6 由 9S3=S6 得 9× = , 1-q 1-q 解得 q=2. n-1 n-1 故 an=a1q =2 , 1 1 n-1 =( ) . an 2

15 D. 8

1

1 1 所以数列{ }是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 项和为 an 2 1 5 1×[1- ] 2 31 S5= = . 1 16 1- 2 4.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则 第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300 米 B.299 米 C.199 米 D.166 米 答案 A 39 ?1? 8 解 析 小 球 10 次 着 地 共 经 过 的 路 程 为 100 + 100 + 50 + … + 100× ? ? = 299 64 ?2? ≈300(米). 5.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于( ) A.90 B.70 C.40 D.30 答案 C 解析 q≠1 (否则 S30=3S10), 由?
?S30=13S10 ? ? ?S10+S30=140

,∴? =10

?S10=10 ? ? ?S30=130



? ? ∴? a ? ?
10

a1
1

-q 1- q

10

-q 1- q

30

,∴q +q -12=0. =130

20

10

∴q =3,∴S20=

a1

-q 1-q

20

=S10(1+q )

10

=10×(1+3)=40. 6.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ ,从今年年末开始每年偿还一定金额, 预计五年内还清,则每年应偿还( ) 5 a +γ aγ +γ A. 万元 B. 万元 5 5 +γ -1 +γ -1 5 aγ +γ aγ C. 万元 D. 4 5万元 +γ -1 1+γ 答案 B 2 3 4 解析 设每年偿还 x 万元,则:x+x(1+γ )+x(1+γ ) +x(1+γ ) +x(1+γ ) =a(1 5 +γ ) , 5 aγ +γ ∴x= . 5 +γ -1 二、填空题 7. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 1 答案 3 解析 由已知 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). ∴a2=3a3, a3 1 ∴{an}的公比 q= = . a2 3 8.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12= ________________________________________________________________________. 答案 63
2

解析

方法一 ∵S8≠2S4,∴q≠1,

? ? 由已知得? a ? ?

a1
1

-q 1-q -q 1-q

4

=48
8



=60 ②

由②÷①得 5 1 4 4 1+q = ,∴q = 4 4 将③代入①得 =64, 1-q a1 -q12 1 ∴S12= =64(1- 3)=63. 1 -q 4 方法二 因为{an}为等比数列, 所以 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, 2 所以(S2n-Sn) =Sn(S3n-S2n), S2n-Sn 2 所以 S3n= +S2n,



a1

- +S8= +60=63. 48 9.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第 2 天,3 只蜜蜂飞 出去, 各自找回了 2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去, 第 6 天所有的蜜蜂都归巢 后,蜂巢中一共有________只蜜蜂. 答案 729 解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3,∴第 6 天所有蜜蜂归 6 巢后,蜜蜂总数为 a6=3 =729(只). 10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________. 12 答案 (1+q) -1 解析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1,公比为(1+q),该厂第一年的生产总值为 S1 2 11 =1+(1+q)+(1+q) +…+(1+q) . 12 则第 2 年第 1 个月的生产总值为(1+q) , 12 13 23 12 第 2 年全年生产总值 S2=(1+q) +(1+q) +…+(1+q) =(1+q) S1, S2-S1 S2 12 ∴该厂生产总值的平均增长率为 = -1=(1+q) -1.

Sn S8-S4 所以 S12= S4

2

2

S1

S1

三、解答题 11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨,该矿区计划 从 2010 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口,问 2010 年最多出口多 少吨?(保留一位小数) 10 参考数据:0.9 ≈0.35. 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比 q=1-10%=0.9, n-1 ∴an=a·0.9 (n≥1). a -0.910 10 (2)10 年的出口总量 S10= =10a(1-0.9 ). 1-0.9 10 ∵S10≤80,∴10a(1-0.9 )≤80, 8 即 a≤ 10,∴a≤12.3. 1-0.9 故 2010 年最多出口 12.3 吨. 12. 某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车, 有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型
3

公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车? 1 (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82, 3 lg 2=0.30,lg 3=0.48) 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}, 其中 a1=128, q=1.5, 6 6 则在 2015 年应该投入的电力型公交车为 a7=a1·q =128×1.5 =1 458(辆). (2)记 Sn=a1+a2+…+an, Sn 1 依据题意,得 > , 10 000+Sn 3 n -1.5 n 657 于是 Sn= >5 000(辆),即 1.5 > . 1-1.5 32 657 两边取常用对数,则 n·lg 1.5>lg , 32 lg 657-5lg 2 即 n> ≈7.3,又 n∈N+,因此 n≥8. lg 3-lg 2 1 所以到 2016 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 . 3 能力提升 13.有纯酒精 a L(a>1),从中取出 1 L,再用水加满,然后再取出 1 L,再用水加满, 如此反复进行,则第九次和第十次共倒出纯酒精________L. ? 1?8? 1? 答案 ?1- ? ?2- ?

?

a? ?

a?

解析

用{an}表示每次取出的纯酒精,a1=1,加水后浓度为

a-1 1 1 =1- ,a2=1- ,加 a a a

? 1??a-1?=?1-1?2,a =?1-1?2, 水后浓度为?1- ?? ? ? ? 3 ? ? ?
a?? a ? ? a?

?

a?

? 1?8 ? 1?9 依次类推:a9=?1- ? ,a10=?1- ? . ?
a?

?

a?

? 1?8 ? 1?9 ? 1?8? 1? ∴?1- ? +?1- ? =?1- ? ?2- ?. ?
a?

?

a?

?

a? ?

a?

14.现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年 便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可 获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元,两方案使用期都是 10 年,到期后一次性归还 本息,若银行贷款利息均按本息 10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更多?(精确到千 10 10 元,数据 1.1 ≈2.594,1.3 ≈13.79) 解 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1,公比为 1+30%的等比数列,其和为 10 1.3 -1 2 9 1+(1+30%)+(1+30%) +…+(1+30%) = ≈42.63(万元), 1.3-1 到期时银行贷款的本息为 10 10(1+0.1) ≈10×2.594=25.94(万元), ∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为 42.63-25.94≈16.7(万元). 乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列, 1+1.5+…+(1+9×0.5) + = 2 =32.50(万元), 而贷款本利和为 9 1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%) ]
4

1.1 -1 =1.1× 1.1-1 ≈17.53(万元). ∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为 32.50-17.53≈15.0(万元), 比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.

10

1.准确理解等比数列的性质,熟悉它们的推导过程是记忆的关键.用好其性质也会降 低解题的运算量,从而减少错误. 2.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定 a1 与项数 n 的实际 含义,同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题.

5


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