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函数图像与方程


【练习 4】
1、 函数 f ( x) ?| tan x | , 则函数 y ? f ( x) ? log4 x ?1 与 x 轴的交点个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 ) ww-2-1-cnjy-com

? x, x ? [?1,0) ? ? 1 2、已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两

个实数根,则 k 的取 ? 1, x ? [0,1) ? ? f ( x ? 1)

值范围是(
1? A. ? ? ?1, ? ? ? 2?

) B. ? ? , 0 ? ? 2 ?
? 1 ?

C. ? ?1, ?? ? )A.4 )

1 ? D. ? ? ? , ?? ? ? 2 ?

3、 f (x) ? 2sin ? x ? x ? 1 的零点个数为( 4、函数 y ?
x ln | x | 的图像可能是( | x|

B.5

C .6

D.7

5、已知函数 f ( x) ? x ? ln(x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________. 6、对于实数 a 和 b ,定义运算“*”:
??a 2 ? 2ab ? 1, a ? b ? a ?b ? ? 2 设 f ? x ? ? ? 2x ?1? ? ? x ?1? , 且关于 x 的方程为 f ? x ? ? m ? m ? R? 恰有 a ?b ? ?b ? ab,

三个互不相等的实数根 x1 、 x2 、 x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
? 1 ? A. ? ? , 0 ? ? 32 ? ? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 16 ?
? 1 ? C. ? 0, ? ? 32 ?


? 1 ? D. ? 0, ? ? 16 ?

?3? x , x ? 0, 7、设 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? x ? a 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范围是 ? f ( x ? 1), x ? 0.
A. [1,2] B.(-∞,2) C.[1,+∞) D.(-∞,1) .

?2 x ( x ? 0) 8、设函数 f ( x) ? ? ,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为 ?log 2 x (x ? 0)
9、方程 2a ? 9sin x ? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围( A、 a ? 0 或 a ? ? 8 B、 a ? 0 C、 0 ? a ?
8 31

) D、
8 72 ?a? 31 23

1 1 10、已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当x ?[1,3], f ( x) ? ln x ,若在区间[ , 3] 内,函数 3 x

g ( x) ? f ( x) ? ax 与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是(
1 A、 (0, ) e



B、 (0,

1 ) 2e

C、 [

ln 3 1 , ) 3 e

D、 [

ln 3 1 , ) 3 2e

1 x 11、给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中: 2

① 该方程没有小于 0 的实数解;② 该方程有无数个实数解;③ 该方程在(–∞,0)内有且只有一个 实数解; ④ 若 x0 是该方程的实数解,则 x0 ? –1.则正确命题是 . )

12、已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 ,g( x) ? x ? 2x ,h( x) ? x ? ln x 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则( A. x1 ? x2 ? x3 B. x2 ? x1 ? x3 C. x3 ? x1 ? x2 ) D. x2 ? x3 ? x1

13、函数 f ( x) ? 2 x ? lg( x ? 1) ? 2 的零点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

14、函数 f ? x ? ? lg ? x ? 1? 的大致图象是

?log ?x ? 1? , x ? 0 , 15、已知函数 f ?x ? ? ? 2 若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取值 2 ?? x ? 2x , x ? 0 .
范围是 .www.21-cn-jy.com .

16、函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的所有零点之和为 17、已知函数

? 1? | x ? 1|, x ?[?2,0] ,若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个不等实根,则 f ( x) ? ? ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)
实数 a 的取值范围是
A. {a | ?2 ? a ? 0}

{a | ?2 ? a ? 0} B.
D. {a | ?2 ? a ? 0 或 a ? 1}

C .{a | ?2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2}

18 、 已 知 函 数 f ( x) ? x ? [ x] , 其 中 [ x ] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 . 若 关 于 x 的 方 程
f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根 ,则实数 k 的取值范围是



.2·1·c·n·j·y

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? c、 b、 d, 19、 已知函数 f ? x ? ? ? 1 2 , 若存在实数 a 、 满足 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? x ? 5 x ? 12, x ? 2 ? ? 2

? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是
A. (16, 21) 20 、 已 知 B. ?16,24? C. (17, 21)

. D. (18, 24)

1 ? k ? 1 , 函 数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? k 的 零 点 分 别 为 x1 , x2 ? ? x 1 5

?x2,

函 数 )

g ? x ? ? 2x ? 1 ?

k 的零点分别为 x3 , x4 ? x3 ? x4 ? ,则 ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? 的最小值为( 2k ? 1

A. log2 3

B.2 )

C. log2 6

D.1

1 f (x) ? 2 cos ? x ? x ? 1 的零点个数为( 2 21、

A.6

B.7

C.8

D.9

22、已知函数 f ? x ?=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2 ,若 f ? x1 ?=x1<x2 ,则关于 x 的方程
3 ? f ? x ? ? +2af ? x ?+b=0 的不同实根个数为(
2

)

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】
1、函数 f ( x) ?| tan x | ,则函数 y ? f ( x) ? log 4 x ? 1 与 x 轴的交点个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

? x, x ? [?1,0) ? ? 1 2、已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则 k 的取值范围 ? 1, x ? [0,1) ? ? f ( x ? 1)
是( )
? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ?

1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?

C. ? ?1, ?? ?

? 1 ? D. ? ? , ?? ? ? 2 ?

【答案】B 【解析】要使方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则函数 y ? f ( x) 和 y ? k ( x ? 1) 的图象有两个交点,

?? x, x ? [?1, 0) ?? x, x ? [?1, 0) ? ? 而 f ( x) ? ? ,画出图象,由于 y ? k ( x ? 1) 过定点 (1, 0) ,要使 ?? 1 1 ? 1, x ? [0.1) ? 1, x ? [0,1) ? f ( x ? 1) ? ?1 ? x ?
函数 y ? f ( x) 和 y ? k ( x ? 1) 的图象有两个交点,由上图可知 k AB ? ?

1 ? k ? 0 ,选 B. 2

3、 f (x) ? 2sin ? x ? x ? 1 的零点个数为( 【答案】B

)A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】∵ 2sin ? x ? x ? 1 ? 0 ,∴ 2sin ? x ? x ? 1 ,图像如图所示,由图像看出 y ? 2sin ? x 与 y ? x ? 1 有 5 个交点,∴ f (x) ? 2sin ? x ? x ? 1 的零点个数为 5 个.

4、函数 y ?

x ln | x | 的图像可能是( | x|



【答案】B 【解析】显然这是一个奇函数,图象关于原点对称.当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x .所以选 D. 5、已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________. 【答案】2 【解析】

6、对于实数 a 和 b ,定义运算“*”:
2 ? ??a ? 2ab ? 1, a ? b 设 f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ? ? x ? 1? ,且关于 x 的方程为 f ? x ? ? m ? m ? R ? 恰有三 a ?b ? ? 2 b ? ab , a ? b ? ?

个互不相等的实数根 x1 、 x 2 、 x 3 ,则 x1 ? x 2 ? x 3 的取值范围是( A. ? ?



? 1 ? ,0? ? 32 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 32 ?

D. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

【答案】A 【解析】

?3? x , x ? 0, f ( x ) ? 7、设 若 f ( x) ? x ? a 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范围是 21 世纪教育网版权所有 ? f ( x ? 1), x ? 0. ?

A. [1,2] 【答案】B

B.(-∞,2)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1)

【解析】此题可采用数形结合法,首先来作函数 f ? x ? 的图象,由题设得,当 x? 0 , f ? x ? ? 3? x ? ? ? , 则此时 f ? x ? 在 ? ??, 0? 上为单调递减,且值域为 ?1, ?? ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? x ? 1? ,则有

?1? ?3?

x

f ? x ? 1? ? f ? x ? ,此时函数 f ? x ? 是以 1 为周期的周期函数,并且当 0 ? x? 1 ,即

8、设函数 f ( x) ? ?

?2 x

( x ? 0) ,函数 y ? f [ f ( x )] ? 1 的零点个数为 ?log 2 x (x ? 0)



9、方程 2a ? 9 sin x ? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围( A、 a ? 0 或 a ? ?8 B、 a ? 0 C、 0 ? a ?

) D、

8 31

8 72 ?a? 31 23

1 1 10、已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当x ?[1,3] , f ( x) ? ln x ,若在区间[ ,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 3 x
与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( A、 (0, ) )

1 e

B、 (0,

1 ) 2e

C、 [

ln 3 1 , ) 3 e

D、 [

ln 3 1 , ) 3 2e

11、给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:
x

1 2

① 该方程没有小于 0 的实数解;② 该方程有无数个实数解;③ 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解; ④ 若 x0 是该方程的实数解,则 x0 ? –1.则正确命题是 .

12、已知函数 f ( x) ? x ? A. x1 ? x2 ? x3

x ? 1 , g( x) ? x ? 2 x , h( x) ? x ? ln x 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则(
C. x3 ? x1 ? x2 D. x2 ? x3 ? x1



B. x2 ? x1 ? x3

13、函数 f ( x) ? 2 x ? lg( x ? 1) ? 2 的零点的个数为( A.0 B.1 C.2

) D.3

14、函数 f ? x ? ? lg x ? 1 的大致图象是

?

?

【答案】B 【解析】易知 f ( x) 为偶函数,故只考虑 x ? 0 时 f ( x) ? lg( x ? 1) 的图象,将函数 y ? lg x 图象向 x 轴正方 向平移一个单位得到 f ( x) ? lg( x ? 1) 的图象,再根据偶函数性质得到 f ( x) 的图象.21· cn· jy· com 15、已知函数 f ? x ? ? ? 是 .2-1-c-n-j-y

?log 2 ? x ? 1? , x ? 0 , 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围 2 ?? x ? 2x , x ? 0 .

16、函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的所有零点之和为



17、已知函数

? 1? | x ? 1|, x ? [?2, 0] ,若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个不等实根,则 f ( x) ? ? ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)
实数 a 的取值范围是

A. {a | ?2 ? a ? 0}

B. {a | ?2 ? a ? 0} D. {a | ?2 ? a ? 0 或 a ? 1}

C.{a | ?2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2}
【答案】D

?1? | x ? 1|, x ? [? 2, 0] ? f ( x) ? ?2 ? 2 x ? 1 , x ? (0, 2) 【 解 析 】 当 ?2 ? x ? 4 时 , 函 数 ?4 ? 4 x ? 3 , x ? [2, 4] , 做 出 函 数 f ( x) 的 图 象 如 图 ?

设 y ? x ? a ,由图象可知要使方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个不等实根,则直线经过点 B, C 或

E , F 时,有 3 个交点。过 H , G 时,有 2 个交点。所以实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 ,即选 D.
18、已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三 个不同的实根 ,则实数 k 的取值范围是 ▲ .21·世纪*教育网

【入选理由】本题考查函数图象和方程的根等基础知识,能从解析式里辨认出函数 f ( x) ? x ? [ x] 是周期 函数, 并正确作图, 把方程方程 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根的问题转化为图象有三个不同交点是本 题新颖之处.
21*cnjy*com

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? 19、已知函数 f ? x ? ? ? 1 2 ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d ,满足 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? x ? 5 x ? 12, x ? 2 ? ? 2

? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是
A. (16, 21) B. ?16, 24 ? C. (17, 21)

.【来源:21cnj*y.co*m】 D. (18, 24)

【入选理由】本题融函数图象、二次函数值域、方程于一体,综合考察学生数形结合思想、等价转化的数 学思想和能力,首先画出分段函数图象,根据二次函数的对象性和对数函数的运算性质,得 ab ? 1 以及

c?d 【出处:21 教育名师】 ? 5 ,进而转化为关于一个变量的二次函数,进而转化为求二次函数值域. 2 1 k 20、已知 ? k ? 1 ,函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? k 的零点分别为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,函数 g ? x ? ? 2 x ? 1 ? 的 5 2k ? 1
零点分别为 x3 , x4 ? x3 ? x4 ? ,则 ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? 的最小值为( A. log 2 3 B.2 C. log 2 6 ) D.1

21、 f (x) ? 2 cos ? x ? A.6 B.7 【答案】C 【解析】∵ 2 cos ? x ? C.8

1 x ? 1 的零点个数为( 2
D.9



1 1 x ? 1 ? 0 ,∴ 2 cos ? x ? x ? 1 ,图像如图所示,由图像看出 y ? 2 cos ? x 与 2 2 1 1 y ? x ? 1 有 5 个交点,∴ f (x) ? 2 cos ? x ? x ? 1 的零点个数为 8 个. 2 2

【入选理由】本题考查函数的图象,首先在同一平面直角坐标系中画出 y ? 2 cos ? x 和 y ? 画图时要注意函数 y ? 2 cos ? x 的周期为 2,且直线 y ?

1 x ? 1 的图象, 2

1 x ? 1 过 (6, 2) 和 (?2, ?2) 两点,同时直线递增的 2

特点,不难画出正确图象,从而观察交点个数,通过本题说明,画图时特殊点的作用是很大的. 22、已知函数 f ? x ?=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2 ,若 f ? x1 ?=x1<x2 ,则关于 x 的方程
3 2

3 ? f ? x ? ? +2af ? x ?+b=0 的不同实根个数为( )
2

A .3

B.4

C.5

D.6


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